解析直導體在變化的磁場中有無感應電動勢問題

摘 要：討論靜止在變化磁場中的直導體是否存在感應電動勢問題.

關鍵詞：感應電動勢；感生電動勢；直導體；變化的磁場；渦旋電場

作者簡介：蔣純（1993-），女，湖南永州人，在讀碩士研究生，研究方向：物理學科教學.

1 問題的提出

高中物理教學中關于感應電動勢介紹了兩種類型：一種是閉合回路中磁通量發生變化，這種情況下產生的電動勢被稱為感生電動勢；另一種是由于導體切割磁感線產生的感應電動勢，這種電動勢被稱為動生電動勢.通過對這兩種感應電動勢的學習，有學生提出疑問：如果無閉合回路，一段直導體靜止在變化的磁場中是否會產生感應電動勢？

2 問題的解決

2.1 關于提問的兩種觀點

對于這個提問，一種觀點認為直導體中不存在感應電動勢，其原因是高中物理教材中只提到了閉合回路磁通量變化和導體切割磁感線這兩種情況下產生的感應電動勢，對于既無閉合回路中磁通量的變化，又無導體切割磁感線的運動，因而是不會產生感應電動勢的；另一種觀點認為，感生電動勢產生的原因是磁場變化在空間激發了感生電場，感生電場對電荷的作用導致感生電動勢的存在，直導體雖然靜止在變化的磁場中，但是導體中的自由電荷會在感生電場的作用下運動，從而導體中存在感生電動勢.

對于上述兩種觀點，持觀點一的學生很明顯只是對知識點的被動掌握和使用，沒有對感應電動勢產生原因進行思考；而持觀點二的學生則是通過對兩種感應電動勢產生原因的理解，從而得出結論認為直導體在變化的磁場中也會產生感應電動勢.事實上，確是第二個觀點正確.普通物理學教程《電磁學》（第三版）中提到，“由時變磁場激發的電場，稱為感生電場，作用于單位電荷上的感生電場力的功就是感生電動勢” [1].人教版普通高中課程標準實驗教科書《物理》選修3-2第四章第5節中對感生電場和感生電動勢也做了介紹.感生電動勢產生的原因就是，磁場變化在空間激發感生電場，導體中自由電荷在感生電場作用下運動，導體中產生了感生電動勢.因此，直導體靜止在變化的磁場中會產生感應電動勢.

2.2 理論解釋

英國物理學家詹姆斯·麥克斯韋在19世紀建立的麥克斯韋方程組中，其中一個方程就是描述變化的磁場是如何產生電場的法拉第電磁感應定律：

上式表明，變化的磁場激發的感生電場不是勢場，而是渦旋場.當閉合回路中磁場隨時間變化時，變化的磁場激發感生電場，單位電荷在閉合回路中移動一周，感生電場力的功等于電動勢，即感生電場沿某一閉合曲線L積分一周等于感生電動勢，該感生電動勢也等于以該閉合曲線L為邊線的任一曲面S的磁通量的變化率.

因此，求解閉合回路中磁場隨時間發生變化時產生的感應電動勢問題，既可以利用上式左邊ε=∮LE·dl求解，也可利用上式右邊ε=-SBt·dS求解.由于感生電場的分布受磁場邊界條件的影響，沿L積分路徑上各點的感生電場只有在少數情況下易于求得，因此通常通過使用上式右邊求解閉合回路中磁通量變化率來求解感應電動勢，這也就是高中物理中介紹的法拉第電磁感應定律.對于計算無閉合回路的一段導體在變化磁場中的感生電動勢，因無閉合回路，所以需使用ε=∫LE感·dl直接求解，由計算公式可以看出，只要不是導體棒的每一段dl元都與感生電場方向垂直，導體棒中感生電動勢就不為零.因此，除了導體棒處處與感生電場方向垂直這種特殊情況，一般情況下直導體靜止在變化的磁場中會產生感應電動勢.

2.3 舉例說明

例 如圖1所示，一長為L的直導體MN垂直放在半徑為R的圓形磁場中，磁場方向垂直紙面向里，磁場強度隨時間的變化率為k，MN在磁場中靜止不動，圓心O到MN的距離為h，求直導體MN的感應電動勢.

但是由于感生電場的分布受磁場邊界條件的影響，沿L積分路徑上各點的感生電場只有在少數情況下易于求得，一般感生電場線是同心圓的情況需要磁場區域滿足嚴格的對稱性才行.對于任意形狀的磁場區域，或者即使是規則的矩形磁場區域，感生電場的電場線一定不是圓，所以很難求解出不是閉合回路的導體中感生電動勢的具體數值.但求解閉合回路中的感生電動勢卻容易很多，因此高中物理中只考查閉合回路中磁場變化產生的感生電動勢.

3 結論

在平常的學習中我們都會使用磁通量變化來判斷感生電動勢是否存在，但磁通量發生變化只是感生電動勢存在的一個充分條件，而非必要條件.對于不是閉合回路，磁通量就失去了意義，但是感生電動勢仍可能存在.只要置于變化磁場中的導體不是處處與感生電場的方向垂直，感生電場力的功就不為零，導體中感生電動勢就不為零.由于無閉合回路的直導體在變化磁場中產生的感生電動勢較難求解，因此高中物理只考查閉合回路磁通量變化和導體切割磁感線兩種情況下的感應電動勢，但是這并不代表直導體在變化磁場中不會產生感應電動勢.所以在對感應電動勢的學習中，我們要充分理解感應電動勢產生的原因，然后才能正確分析出各種情況下是否存在感應電動勢.

參考文獻：

[1]梁燦彬，秦光戎，梁竹健. 電磁學[M]. 北京：高等教育出版社，2012：234-242.

[2]普通高中課程標準實驗教科書物理選修3-2（第3版）[M]. 北京：人民教育出版社，2010：15-21.

[3]蔣從元. 也談“從麥克斯韋理論看電磁學的一個問題”[J]. 川北教育學院學報，2001，11（4）：50-51.

[4]王福謙. 用“補成回路法”計算感應電動勢[J]. 運城高等專科學校學報，2002，20（3）：52-54.endprint