2018年全國高考數學考綱關鍵詞解讀及預測分析（2）
———統計與概率、解析幾何

■北京市第十二中學高中部 高慧明

本刊特邀欄目專家簡介:

高慧明首屆全國十佳班主任,全國著名數學特級教師,國家教育部課程改革“全國先進工作者”,全國著名高考數學命題與考試研究專家,國家教育部“國培計劃”全國中小學教師培訓、班主任培訓、校長培訓特邀主講專家,受邀在全國各地做有關高考科學備考、班級管理等多場專題報告。現任教于北京市第十二中學高中部。

一、統計與概率中的關鍵詞——隨機抽樣、隨機變量、分布列、期望

1.隨機抽樣。

(1)理解隨機抽樣的必要性和重要性。

(2)會用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本;了解分層抽樣和系統抽樣方法。

2.用樣本估計總體。

(1)理解樣本數據標準差的意義和作用,會計算數據標準差。

(2)能從樣本數據中提取基本的數字特征(如平均數、標準差),并作出合理的解釋。

(3)會用樣本的頻率分布估計總體分布,會用樣本的基本數字特征估計總體的基本數字特征,理解用樣本估計總體的思想。

(4)會用隨機抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題。

3.變量的相關性。

(1)會作兩個有關聯變量的數據的散點圖,并利用散點圖認識變量間的相關關系。

(2)能根據給出的線性回歸方程系數公式建立線性回歸方程(線性回歸方程系數公式不要求記憶)。

4.古典概型。

(1)理解古典概型及其概率計算公式。

(2)會計算一些隨機事件所含的基本事件數及事件發生的概率。

5.計數原理。

(1)理解分類加法計數原理和分步乘法計數原理,能正確區分“類”和“步”,并能利用兩個原理解決一些簡單的實際問題。

(2)理解排列的概念及排列數公式,并能利用公式解決一些簡單的實際問題。

(3)理解組合的概念及組合數公式,并能利用公式解決一些簡單的實際問題。

(4)會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題。

6.概率與統計。

(1)理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念,認識分布列刻畫隨機現象的重要性,會求某些取有限個值的離散型隨機變量的分布列。

(2)理解n次獨立重復試驗模型及二項分布,并能解決一些簡單問題。

(3)理解取有限個值的離散型隨機變量的均值、方差的概念,會求簡單離散型隨機變量的均值、方差,并能利用離散型隨機變量的均值、方差的概念解決一些簡單問題。

解讀:分層抽樣和系統抽樣雖為“了解”的內容,但卻是高考命題的重點,傷不起呀。唯有試題的難度與“了解”對應,考題遵循考綱但不唯考綱。三圖中的頻率分布直方圖與莖葉圖的要求雖低,但為考查重點。尤其是頻率分布直方圖中相關數據的求解是考查的熱點。“提取基本的數字特征”,平均數與方差的計算,要熟記公式喲。“理解用樣本估計總體的思想”,即樣本與總體的數字特征相同。樣本數據的中心點是我們求解線性回歸方程的“抓手”。考綱明確提出:“線性回歸方程系數公式不要求記憶”!“互斥事件的概率加法公式”雖為“了解”的內容,但屬高考的重點,滲透在概率的每一個問題中——不唯考綱的又一例證。

對古典概型的要求比較高,屬于命題的重點。幾何概型屬“了解”的內容,但高考常考,要定準衡量的依據!是長度或角度?還是面積或體積?計數原理的四條要求都不低,兩個基本原理是我們解決排列組合問題的主要依據,要記住“先組后排”,實際上就是先分類后分步的體現。對于二項式定理要將通項公式記準。

“會求某些取有限個值的離散型隨機變量的分布列”提示我們考查的分布列中隨機變量的取值是有限的。相互獨立事件的概率要求雖為“了解”,但卻是高考命題的重點,自己提點高要求吧!對于二項分布要記準公式,記住規律,命題有兩個重點:公式求項、賦值求系數。回歸直線方程的求解與獨立性檢驗要求為“了解”,所以考題也是簡單的!

命題預測:全國卷對統計與概率的命題:2個小題和1個大題,小題一般主要考查頻率分布直方圖、莖葉圖、樣本的數字特征、獨立性檢驗、幾何概型和古典概型、抽樣(特別是分層抽樣)、排列組合、二項式定理。解答題一般考查離散型隨機變量的分布列、數學期望和方差,仍然側重于考查與現實生活聯系緊密的應用題,體現數學的應用性。

2 0 1 7年高考以實際問題為背景,考查了正態分布和二項分布,考查用概率統計的基本方法和基本思想解決實際問題的能力,考查對非連續文本閱讀的能力,要求快速從文本中提取、整理、分析數據并做出判斷,預計2 0 1 8年概率與統計繼續保持較新的題型。注意高考數學命題在逐步淡化數學的解題技巧,對運算能力的要求卻有所提高。

例1 微信已成為人們常用的社交軟件,微信里的“微信運動”是由騰訊開發的一個類似計步數據庫的公眾賬號。手機用戶可以通過關注“微信運動”公眾號查看自己每天行走的步數,同時也可以和好友進行運動量的比較或點贊。現從小明的微信朋友圈內隨機選取了4 0人(男、女各2 0人),記錄了他們某一天的走路步數,并將數據整理如表1:

表1

(1)利用樣本估計總體的思想,試估計小明的所有微信好友中每日走路步數超過1 00 0 0步的概率。

(2)若某人一天的走路步數超過80 0 0步被系統評定為“積極型”,否則評定為“懈怠型”,根據題意完成表2所示的列聯表,并據此判斷能否有9 0%的把握認為“評定類型”與“性別”有關?

表2

表3

解析:(1)根據表1中的數據可知,4 0位好友中走路步數超過1 00 0 0步的有8人,所以利用樣本估計總體的思想,估計小明的所有微信好友中每日走路步數超過1 00 0 0步的概率

(2)根據題意完成列聯表,如表4。

表4

例2 某學校為了豐富學生的業余生活,以班級為單位組織學生開展古詩詞背誦比賽,隨機抽取題目,背誦正確加1 0分,背誦錯誤減1 0分,背誦結果只有“正確”和“錯誤”兩種。其中某班級背誦正確的概率為p=,背誦錯誤的概率為,現記“該班級完成n首背誦后總得分”為Sn。

(1)求S6=2 0且Si≥0(i=1,2,3)的概率。

(2)記ξ=|S5|,求ξ的分布列及數學期望。

解析:(1)當S6=2 0時,即背誦6首后,正確為4首,錯誤為2首。

由Si≥0(i=1,2,3)可得,若第1首和第2首背誦正確,則其余4首可任意背誦對2首;若第1首正確,第2首背誦錯誤,第3首背誦正確,則其余3首可任意背誦對2首。

(2)因為ξ=|S5|的取值為1 0,3 0,5 0,又,則

所以ξ的分布列如表5所示。

表5

二、解析幾何中的關鍵詞——直線、圓、橢圓、拋物線、雙曲線

1.直線與方程。

(1)理解直線的傾斜角和斜率的概念,掌握過兩點的直線的斜率的計算公式。

(2)能根據兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直。

(3)掌握確定直線位置的幾何要素,掌握直線方程的三種表示形式(點斜式、兩點式及一般式)。

(4)能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標。

(5)掌握兩點間的距離公式和點到直線的距離公式,會求兩平行直線間的距離。

2.圓與方程。

(1)掌握確定圓的幾何要素,掌握圓的標準方程與一般方程。

(2)能根據給定的直線與圓的方程,判斷直線與圓的位置關系;能根據給定的兩個圓的方程判斷圓與圓的位置關系。

(3)能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題。

3.圓錐曲線與方程。

(1)掌握橢圓、雙曲線與拋物線的定義、幾何圖形、標準方程及簡單性質(范圍、對稱性、頂點、離心率)。

(2)理解數形結合的思想。

4.坐標系與參數方程。

(1)會在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置,能進行極坐標和直角坐標的互化。

(2)能在極坐標系中畫出極坐標方程表示的圖形。

(3)能選擇適當的參數寫出直線、圓和橢圓的參數方程。

解讀:每條直線都有傾斜角,但不一定有斜率。在解決過定點的直線問題時,要根據斜率是否存在進行分類討論。當直線的斜率存在時,我們才能用直線方程的點斜式或斜截式進行求解,而用截距式方程解決直線與坐標軸圍成三角形的面積問題則最為方便。兩條直線垂直或平行的條件往往與充要條件的判斷相結合綜合命題。

在直線和圓的位置關系中,位置關系的判斷、弦長的求解、切線問題是命題的重點。圓具有很好的幾何性質,在解決與切線、弦長等相關問題的時候,充分利用點到直線的距離公式可以將問題順利地解決。

一個“掌握”泄露了高考命題的重點——橢圓與拋物線,橢圓又成為重中之重,若有雙曲線的考題,也是比較簡單的。“理解數形結合的思想”——既要重視坐標法,還要注意圓錐曲線形的特征,兩者結合求解相關問題。

坐標系與參數方程的基本要求均為“了解”,但“能進行極坐標和直角坐標的互化”暴露了命題的重點,多為直線和圓的兩種形式方程的有關問題。當然也不要忽視參數方程與普通方程的互化問題。

命題預測:全國卷對解析幾何的命題:2個小題和1個大題,小題主要以考查直線、圓及圓錐曲線的性質為主,一般結合定義,借助于圖形可容易求解。大題一般以直線與圓錐曲線的位置關系為命題背景,并結合函數、方程、數列、不等式、導數、平面向量等知識,考查求軌跡方程問題,探求有關曲線性質,求參數范圍,求最值與定值,探求存在性等問題。另外,要注意對二次曲線之間結合的考查,比如橢圓與拋物線,橢圓與圓等。坐標系與參數方程主要考查極坐標系與直角坐標系的坐標和方程的互化,在極坐標系下的點與線、線與圓的位置關系;就參數方程而言,主要考查參數方程與普通方程的互化,圓、橢圓、直線參數方程的幾何意義,直線的參數方程在直線與圓錐曲線的位置關系中,弦長、割線長等的計算問題。坐標系與參數方程輪換考或結合起來考。

解析幾何的考查近幾年趨于常規,選取的方法非常基礎,考查同學們的運算能力。全國卷非常注重適度的、最基本的幾何分析,以及圍繞“代數化、基本幾何分析、結論”進行考查。很多題目背后都有一般性的結論,高考命題中不排斥結論,甚至多次考查結論,最重要的是掌握其方法。加強對教材知識的挖掘,充分注意課本的基礎作用和示范作用;提高認識,通過典型例題分析明確解決圓錐曲線問題的基本思路。

加強用函數和方程的思想解決幾何問題的研究;掌握常用的解題策略方法,拓寬簡化運算的渠道;加強思維優化的培養,強調思維的簡捷性和解法的最優化;重視積累,豐富同學們自身的解題工具(知識點、二級結論、方法);加強計算能力的培養,尤其是加強多變量的計算能力的培養;提升同學們的化簡變形能力;加強意志品質的培養,加強幾何直觀的說明和證明。特別要注意:重視非標準方程向標準方程的轉化,避免非標準方程下基本量的求解出錯;不要受思維定勢的影響,圓錐曲線的焦點位置,特征量的表示及幾何意義;考慮直線斜率不存在的情況;求動點的軌跡方程后注意變量的范圍;直線與圓錐曲線聯立后考慮二次項系數是否為0以及有根條件;求最值的過程中進行換元注意新變量的取值范圍。

例3 已知點C為圓(x+1)2+y2=8的圓心,P是圓上的動點,點Q在圓的半徑C P上,且有點A(1,0)和A P上的點M,滿足

(1)當點P在圓上運動時,求點Q的軌跡方程。

(2)若斜率為k的直線l與圓x2+y2=1相切,與(1)中所求點Q的軌跡交于不同的兩點F,H,O是坐標原點,當時,求k的取值范圍。

解析:(1)由題意知MQ是線段A P的垂直平分線,所以|C P|=|Q C|+|Q P|=,故點Q的軌跡是以C,A為焦點,焦距為2,長軸為的橢圓,所以故點Q的軌跡方程是

(2)設直線l:y=k x+b,F(x1,y1),H(x2,y2)。直線l與圓x2+y2=1相切?

(1)求橢圓C的標準方程;

(2)設直線l:y=k x+m與橢圓C交于M,N兩點,O為坐標原點,若kOM·kON=,求原點O到直線l的距離的取值范圍。

(2)設 M(x1,y1),N(x2,y2),聯立y=k x+m,得(4k2+1)x2+8k m x+4m2-4=0,依題意,Δ=(8k m)2-4(4k2+1)·(4m2-4)＞0,化簡得

【同步練習】

1.某居民小區有兩個相互獨立的安全防范系統(簡稱系統)A和B,系統A和B在任意時刻發生故障的概率分別為和P。

(2)設系統A在3次相互獨立的檢測中不發生故障的次數為隨機變量ξ,求ξ的分布列及數學期望E(ξ)。

(1)求橢圓C的標準方程。

(2)已知O為坐標原點,直線l:y=k x+m與y軸交于點P,與橢圓C交于A,B兩個不同的點。若存在實數λ,使,求實數m的取值范圍。

圖1

(1)求橢圓E的方程。

(2)若A,B分別是橢圓E的左右頂點,直線l經過點B且垂直于x軸,P是橢圓上異于A,B的任意一點,直線A P交l于點M。

①設直線OM的斜率為k1,直線B P的斜率為k2,求證:k1k2為定值;

②設過點M垂直于P B的直線為m,求證:直線m過定點,并求出定點的坐標。

【參考答案】

(2)由題意知,ξ的取值為0,1,2,3。

所以ξ的分布列如表6所示。

表6

(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),聯立方程組消去y并整理得(4+k2)x2+2k m x+m2-4=0,依題意可得:

(2)①設P(x0,y0)(y0≠0),則直線A P的方程為,令x=2,得所以

所以直線m過定點(-1,0)。