基于V型諧振腔的熱穩(wěn)定性分析

范一鳴， 魏 勇*， 張 戈， 李宏民， 陶家友， 周岳平

(1.湖南理工學(xué)院 物理與電子學(xué)院， 岳陽 414006； 2.中國科學(xué)院 福建物質(zhì)結(jié)構(gòu)研究所 光電材料化學(xué)與物理重點實驗室， 福州 350002; 3.岳陽大陸激光技術(shù)有限公司， 岳陽 414000)

引 言

熱透鏡效應(yīng)是影響激光器穩(wěn)定性的重要因素之一，當(dāng)激光晶體在介質(zhì)高耗散功率下工作時，一般諧振腔(如F-P腔、平-凹腔等)的熱適應(yīng)能力差，受熱效應(yīng)的影響十分嚴(yán)重。為了消除熱效應(yīng)對固體激光器的影響，國內(nèi)外雖做了很多研究，如：腔內(nèi)加入補(bǔ)償鏡[1-2]、改變晶體摻雜濃度[3-4]、改變抽運(yùn)和散熱方式[3-4]等，提高了激光器的熱穩(wěn)定性，但沒有從腔型結(jié)構(gòu)設(shè)計的角度找到解決問題的關(guān)鍵因素。比如V型腔是一種熱效應(yīng)不靈敏的諧振腔[5-6]，通過適當(dāng)?shù)膮⒘空{(diào)整，可以獲得很寬的熱穩(wěn)定范圍,但需要進(jìn)行調(diào)整的參量有很多，如總腔長、折疊角、激光晶體的位置等。其中哪些參量的改變對激光輸出穩(wěn)定性比較敏感，這是目前如何更好地優(yōu)化激光輸出性能需要考慮的重要問題。作者采用多元件光學(xué)諧振腔等價分析理論，對熱透鏡效應(yīng)下的Nd∶YAG激光V型諧振腔的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析仿真，對V型腔中的各參量采用控制變量法進(jìn)行分析比較，找到了V型腔中擴(kuò)大諧振腔熱穩(wěn)定范圍和增強(qiáng)諧振腔熱適應(yīng)能力的關(guān)鍵控制因素，對激光器腔型穩(wěn)定性的優(yōu)化設(shè)計具有重要的指導(dǎo)意義。

1 V型諧振腔的等價分析

1.1 理想狀況下的等價分析

V型諧振腔結(jié)構(gòu)如圖1所示。球面折疊鏡M13的曲率半徑為R13，端面反射鏡M11和M12的曲率半徑分別為R11，R12，折疊角為θ。 Nd∶YAG激光晶體置于其中一臂[7]。

Fig.1 Schematic diagram of V-type resonant cavity

在不考慮熱透鏡效應(yīng)(理想狀況)并忽略像散的條件下，將折疊鏡等效為一個薄透鏡[8]，如圖2所示。

Fig.2 Schematic diagram ofg′ andg″ equivalent cavity of V-type resonant cavity

為了簡化分析，僅將折疊鏡等效為子午面上的薄透鏡M13，等效帶來的像散可加入一定厚度的布儒斯特片消除[9]，等效透鏡的焦距F為：

F=R13cosθ/2(1)

對于這類諧振腔，采用KOGELNIK提出的g*參量等價腔分析法，即按照透鏡成像原理，將含有透鏡的共軸球面腔等價為不含透鏡的空腔[10]，如圖2所示。

薄透鏡M13將諧振腔分割為兩個子腔，左側(cè)子腔長為L11，右側(cè)子腔長為L12，總腔長為L1。當(dāng)左側(cè)端面鏡通過透鏡在右側(cè)成像時，像與右側(cè)端面鏡構(gòu)成等價空腔，設(shè)像M11′的曲率半徑為R11′，像方子腔長為L11′，根據(jù)透鏡成像原理解得：

(2)

式中，L1′為等效空腔腔長。此處引入g*參量，其定義與共軸球面腔的g參量[11-12]一致，即等效空腔的g1*參量和穩(wěn)定性條件為：

(3)

(3)式僅表示右側(cè)子腔的穩(wěn)定條件，不能用來求解左側(cè)子腔穩(wěn)定性[13]，但對應(yīng)的左側(cè)子腔等效參量和穩(wěn)定性條件同樣可通過上述成像原理解得。如圖2所示，右側(cè)端面鏡通過透鏡在左側(cè)成像，像與左側(cè)端面鏡構(gòu)成的g2*參量等價空腔的腔長為L1″，等價腔右端面鏡M12′的曲率半徑為R12′。

1.2 熱透鏡效應(yīng)下的等價分析

熱透鏡效應(yīng)下的V型諧振腔，等效于V型等價腔內(nèi)增加一個焦距動態(tài)變化的薄透鏡，形成腔內(nèi)透鏡組，如圖3所示。圖中,M23為等效熱透鏡，M24為折疊鏡等效透鏡。對于這類諧振腔，采用多元件光學(xué)諧振腔等價腔分析法[14-15]，即引入光學(xué)間隔參量Δ，利用牛頓公式和高斯公式依次對兩透鏡的成像關(guān)系進(jìn)行分析，將含有透鏡組的共軸球面腔按照成像原理等價為不含透鏡的空腔。

Fig.3 Schematic diagram ofg′ andg″ equivalent cavity in V-type resonant cavity under thermal effect

圖3所示為熱效應(yīng)下V型腔的g′,g″等價空腔。圖中端面反射鏡M21,M22的曲率半徑分別為R21,R22，透鏡M23,M24的焦距分別為f1,f2，透鏡組將諧振腔分割為兩個子腔，左側(cè)子腔腔長為L21，右側(cè)腔長為L22，兩透鏡間距為d，光學(xué)間隔為Δ。

當(dāng)左側(cè)端面鏡通過透鏡組在右側(cè)成像時，其像與右側(cè)端面鏡構(gòu)成等價共軸球面空腔，如圖3所示。設(shè)像M21′的曲率半徑為R21′，像方子腔長為L21′，根據(jù)光學(xué)系統(tǒng)成像原理可解得曲率半徑R21′和等價空腔的腔長L2′為：

(4)

式中，光學(xué)間隔Δ=f1+f2-d。則根據(jù)共軸球面腔的穩(wěn)定性條件可知：

(5)

當(dāng)滿足上述條件時，圖3所示B線往右的子腔穩(wěn)定，但不能表示A線往左的子腔穩(wěn)定性。對應(yīng)的左側(cè)子腔等效參量和穩(wěn)定性條件可按照相同的透鏡組成像原理解得，如圖3所示，右側(cè)端面鏡通過透鏡組在左側(cè)成像，像與左側(cè)端面鏡構(gòu)成的g″參量等價腔的腔長為L2″，右端面鏡M32″的曲率半徑為R22″。

2 諧振腔參量與穩(wěn)定性分析

為確定參量調(diào)整對諧振腔穩(wěn)定性的影響，在不產(chǎn)生熱效應(yīng)的前提下，對折疊角θ和總腔長L1(或子腔長L11，注：L12=L1-L11)采用控制變量法，端面鏡曲率半徑R11,R12和折疊鏡曲率半徑R13用常量表示。

為了便于分析，先按照經(jīng)驗取值如下：令折疊角θ取值范圍為0～0.5π，暫令諧振腔總腔長L1=75mm，左側(cè)子腔長L11取值范圍為0mm～75mm，設(shè)各反射鏡曲率半徑為R11=60mm,R13=45mm,R12=1m(相當(dāng)于平面反射鏡)，對相應(yīng)的右側(cè)子腔穩(wěn)定性進(jìn)行求解，結(jié)果如圖4所示。

圖4所示為不同折疊角下右側(cè)子腔的穩(wěn)定性。若以滿足穩(wěn)定條件的左側(cè)子腔腔長的取值范圍大小來表征右側(cè)子腔穩(wěn)定范圍，圖4b所示當(dāng)折疊角θ=0.15π時，對應(yīng)的穩(wěn)定范圍大致為19mm～75mm，g1*參量積雖小于0.5，但如果折疊角繼續(xù)增大，穩(wěn)定范圍內(nèi)部分區(qū)域g1*參量積將大于0.5；圖4c所示增大至0.3π時，穩(wěn)定范圍不再連續(xù)。由此可見，隨著折疊角的繼續(xù)增大，曲線繼續(xù)變陡，間斷范圍繼續(xù)增大，諧振腔趨于不穩(wěn)定。

結(jié)合圖4b中θ=0.15π時出現(xiàn)的臨界值，并考慮到諧振腔腔長應(yīng)有盡可能大的變化范圍去適應(yīng)晶體熱效應(yīng)，對折疊角與總腔長之間的關(guān)系進(jìn)行仿真分析，結(jié)果顯示：(1)當(dāng)θ=0.15π時，使右側(cè)子腔內(nèi)光束形成穩(wěn)定振蕩的子腔長范圍不出現(xiàn)間斷，并保證足夠大的g1*參量積變化范圍的總腔長L1的最大取值為80mm，若大于該臨界值，將出現(xiàn)間斷，且間斷范圍大小呈遞增的趨勢；(2)當(dāng)折疊角θ=0.3π時，總腔長L1的最大取值為52mm；(3)當(dāng)折疊角θ=0.1π時，總腔長L1的最大取值為85mm。

Fig.4 Relationship between product ofg1*and cavity length of left sub cavityL11under different folding anglesθ

由此可見，要確定合適的諧振腔總腔長，使得諧振腔有較寬的穩(wěn)定范圍，就必須考慮折疊角的大小。

此外如圖4d所示，當(dāng)折疊角較大時，不管總腔長如何調(diào)整，均難以得到連續(xù)的穩(wěn)定范圍。綜上所述，在V型折疊腔中，對諧振腔穩(wěn)定性起決定性的因素是折疊角θ。

在實際應(yīng)用中，只有保證諧振腔的穩(wěn)定范圍連續(xù)，才能使諧振腔更好的去適應(yīng)動態(tài)變化的工作狀態(tài)。因此，在理想狀況下，設(shè)V型諧振腔總腔長為75mm，折疊角為0.15π，則V型諧振腔整體的穩(wěn)定范圍如圖5所示。

Fig.5 Schematic diagram of the overall stability of V-type resonant cavity

從圖5中可以看出，V型諧振腔的穩(wěn)定范圍為19.63mm～55.37mm，且即使兩側(cè)端面鏡曲率半徑相差很大，兩子腔的穩(wěn)定性變化曲線也呈明顯的對稱性，相同子腔長，即L11=L12，對應(yīng)的g*參量積近似相等，這正是前面只對一側(cè)子腔進(jìn)行穩(wěn)定性分析的原因。

此外，上述曲線說明端面鏡曲率半徑對諧振腔穩(wěn)定性的影響不大，又因為端面鏡的曲率半徑不會隨晶體熱效應(yīng)而發(fā)生變化，故不對曲率半徑進(jìn)行變量分析。

上述分析忽略了Nd∶YAG晶體的影響，在本文討論的激光器中，激光晶體采用側(cè)面抽運(yùn)，抽運(yùn)會使激光晶體產(chǎn)生熱透鏡效應(yīng)。Nd∶YAG晶體具有良好的熱導(dǎo)性，其等效熱透鏡焦距與介質(zhì)耗散功率[16-17]之間的存在一定的數(shù)量關(guān)系。為了簡化問題的分析，作者僅僅考慮激光晶體熱透鏡焦距大小對諧振腔穩(wěn)定性的影響。如熱透鏡焦距大于1m時，熱透鏡效應(yīng)不明顯；熱透鏡焦距小于200mm時，熱透鏡效應(yīng)十分嚴(yán)重。

由(4)式和(5)式可知，熱效應(yīng)下諧振腔穩(wěn)定性分析需要考慮的變量如下：左側(cè)子腔長L21(或右側(cè)子腔長L22)、熱透鏡焦距f1和V型腔等效透鏡間距d，都是實際應(yīng)用中需要考慮的重要參量。

為了確定V型腔的熱穩(wěn)定范圍，暫設(shè)透鏡間距d=28mm(保證Δ不為負(fù))，對右側(cè)子腔的熱穩(wěn)定性進(jìn)行分析比較，結(jié)果如圖6所示。

以滿足穩(wěn)定條件的左側(cè)子腔腔長的取值范圍大小來表征右側(cè)子腔穩(wěn)定范圍，如圖6b所示,f1∈(12,92)mm時，右側(cè)子腔有最寬的穩(wěn)定范圍，g′參量積在0～1之間有很寬的變化范圍；如圖6c和圖6d所示，若熱焦距增加，在L21取值較大處，g′等價參量積不再滿足穩(wěn)定條件，即穩(wěn)定范圍略有減小，但仍存在較寬的穩(wěn)定范圍；若減小，如圖6a所示，當(dāng)熱焦距較小時，不管腔長如何調(diào)整，均難以使諧振腔穩(wěn)定。

由此可見，當(dāng)透鏡間距d確定時，諧振腔能適應(yīng)的最小熱透鏡焦距f1隨之確定。為了驗證該結(jié)論，本文中對透鏡間距與諧振腔熱效應(yīng)適應(yīng)能力之間的關(guān)系做進(jìn)一步分析，結(jié)果如圖7所示。

Fig.6 Relationship of product ofg′, thermal lens focal lengthf1and cavity length of left sub cavityL21

如圖7b所示,當(dāng)d=38mm時，使右側(cè)子腔具有最理想穩(wěn)定范圍的熱透鏡焦距f1∈(18,98)mm。由此可見，透鏡間距d越小，諧振腔能適應(yīng)的熱透鏡焦距f1越小，激光器工作時允許的最大介質(zhì)耗散功率越大。相反，間距越大，相同情況下的最小熱透鏡焦距就難以適應(yīng)，對應(yīng)的最大介質(zhì)耗散功率將導(dǎo)致激光器難以正常運(yùn)行。

而針對于Δ的取值，當(dāng)f1+f2≥d時，Δ≥0，對應(yīng)于上述分析；當(dāng)f1+f2

Fig.7 Relationship of product ofg′, thermal lens focal lengthf1and cavity length of left sub cavityL21under differentd

當(dāng)Nd∶YAG晶體產(chǎn)生嚴(yán)重的熱透鏡效應(yīng)，即熱透鏡焦距f1∈(12,92)mm時，與諧振腔理想狀況下穩(wěn)定范圍(即：L21∈(19.63,55.37)mm)對應(yīng)的諧振腔整體的穩(wěn)定性如圖8所示。

由圖8可知，與理想狀況相比較，諧振腔雖穩(wěn)定，但g參量積已趨于臨界值1。說明雖然V型腔有很好的熱適應(yīng)能力，但仍然會受到晶體熱效應(yīng)的影響，只是這一類腔型或V型腔的復(fù)合腔相對于一般的諧振腔而言[18-19]，晶體熱效應(yīng)對V型腔穩(wěn)定性的影響已得到很大的削減。

Fig.8 Schematic diagram of the overall stability of V-type resonant cavity under thermal effect

3 結(jié) 論

V型腔對折疊角θ的變化十分敏感，受熱透鏡效應(yīng)的影響很大，熱效應(yīng)適應(yīng)能力差，通過調(diào)整等效透鏡間距d，能夠有效地削弱熱透鏡效應(yīng)對諧振腔穩(wěn)定性的影響，且間距越小，諧振腔能夠適應(yīng)最大介質(zhì)耗散功率越大，而這正是V型腔具有良好的熱適應(yīng)能力的關(guān)鍵所在。

相應(yīng)地，針對于一般諧振腔的優(yōu)化，可在腔內(nèi)加入補(bǔ)償鏡，以獲得透鏡間距d，再經(jīng)過適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，增強(qiáng)諧振腔的熱適應(yīng)能力；而針對于V型折疊腔，則可直接對激光晶體與折疊鏡的間距進(jìn)行調(diào)整，從而提高腔的熱適應(yīng)能力。

總之，通過多元件光學(xué)諧振腔的等價腔理論計算和仿真分析，找到了擴(kuò)大V型諧振腔熱穩(wěn)定范圍和增強(qiáng)諧振腔熱適應(yīng)能力的關(guān)鍵控制因素，對激光器腔型穩(wěn)定性的優(yōu)化設(shè)計具有重要的指導(dǎo)意義。

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