基于雨滴譜分布數據庫的近紅外輻射衰減研究**

楊建清，羅積軍，徐 軍，孫琦云，王 婷

(火箭軍工程大學 理學院, 西安 710025)

引 言

近紅外輻射(1μm～3μm)介于可見光與中紅外輻射之間，在軍事方面，主要應用于目標探測、跟蹤、識別、導引等領域[1]；在民用方面，主要應用于食品安全、煙草、醫藥等領域，通過近紅外成像系統可獲取夜間目標信息[2]。降雨是自然界常見的現象，由于雨滴粒子的散射和吸收作用，會造成近紅外輻射的衰減，進而對近紅外設備的“全天候運用”產生比較大的影響[3]，目前對近紅外輻射在雨中傳輸特性了解得還很不夠，而一些紅外工程應用迫切需要這方面的定量數據[4]。因此，對近紅外輻射在雨中衰減的研究具有非常重要的意義[5]。

雨滴譜分布是指在單位體積內雨滴大小的分布[6]。當前常用的雨滴譜分布模型有Laws-Parsons，Gamma，Marshall-Palmer，Joss和Weibull分布等。但是研究表明，雖然世界各地都進行了相應的雨滴譜測量，但由于降雨本身的復雜性，不同地理區域具有不同的雨滴譜分布模型，難以用一個雨滴譜模型來準確地表示雨滴的大小分布。原因在于當前的雨滴譜分布本質是一個二元函數的擬合，滿足降雨量、雨滴直徑和所占百分比的二元函數并不唯一，具有很大的不確定性。因此，本文中提出了一種建立目標區域不同降雨量條件下雨滴譜分布數據庫的方法，即在不同降雨量條件下，分別擬合雨滴直徑和所占百分比的一元函數模型構成雨滴譜分布數據庫。文中選擇了LAWS和PARSONS在美國華盛頓地區測量的雨滴譜分布數據，構建了華盛頓地區的雨滴譜分布數據庫[7]，并結合米散射理論和降雨衰減系數公式計算了近紅外輻射在雨中的衰減系數[8]。雨滴譜分布數據庫的建立具有更加廣泛的適用性且更接近于真實情況，從而對準確計算目標區域近紅外輻射在雨中的衰減具有重要意義，為更加有效地定量評估和分析近紅外設備在降雨中的運用打下堅實基礎。

1 單個雨滴粒子的效率因子的計算

根據米氏散射理論，消光效率因子Qe為[9]：

(2)

式中,

(3)

式中,Jm+1/2(α),Hm+1/2(α)分別表示半整階的貝塞耳函數和第2類漢克函數[11]。Ψm′(α)和Zm′(α)分別為Ψm(α)和Zm(α)的導數。

1μm,2μm和3μm波長正常溫度下的折射率為1.322+3×10-6i，1.297+1.101×10-3i和1.352+2.721×10-1i。根據消光效率因子的計算公式[12]，對雨滴直徑在0μm～200μm之間，近紅外輻射分別為1μm,2μm和3μm波長的消光效率因子計算如圖1所示。

Fig.1 Relationship between extinction efficiency factor and raindrops diameter

(1)近紅外輻射波段，1μm波長的輻射在雨滴粒子直徑最小的位置(D=2.089μm)，消光效率因子達到最大值3.973，其次是2μm波長的輻射在雨滴粒子直徑D=2.089μm時,消光效率因子取得最大值3.911，最后是3μm波長的輻射在雨滴直徑D=5.360μm時，消光效率因子取得最大值4.036。

(2)α=πD/λ為粒子的尺度參量，計算最消光效率因子最大值的位置與近紅外輻射波長的比值可得，1μm波長尺度參量α1=6.5651;2μm波長尺度參量α2=6.4241;3μm波長尺度參量α3=5.6135。由此可以看出，尺度參量相對比較接近，通過(2)式也可以解釋此現象，即粒子的尺度參量和折射率共同決定散射系數，進而決定雨滴粒子的消光效率因子。尺度參量α1,α2,α3比較接近卻并不相同，原因在于近紅外波長不同時，折射率也不相同，通過消光效率最大值以及曲線形狀的不同也恰恰反映出折射率的影響。

(3)消光效率因子的曲線出現了一系列的極大值和極小值。極值變化幅度較大，是由于散射光和入射光干涉導致的干涉結構；極值變化較小且具有一定周期性,是由于粒子“諧振”而導致的[12]。

(4)觀察發現:3μm波長震蕩的局部極大值大于2μm波長的局部極大值，2μm波長震蕩的局部極大值大于1μm波長的局部極大值；同時，3μm波長震蕩的局部極小值小于2μm波長的局部極小值，2μm波長震蕩的局部極小值小于1μm波長的局部極小值[13]。即3μm波長的消光效率曲線的包絡線包含了2μm波長的消光效率曲線的包絡線，2μm波長的消光效率曲線的包絡線包含了1μm波長的消光效率曲線的包絡線。

2 雨滴譜分布數據庫的建立和分析

LAWS和PARSONS在美國華盛頓地區對不同類型降雨的雨滴尺寸分布進行了廣泛的測量[14]，對相同降雨量的雨滴尺寸分布進行了平均，得到了離散性的雨滴尺寸分布的數據表，即不同降雨量的平均雨滴尺寸分布Laws-Parsons分布數據表[15]。根據Laws-Parsons分布數據表作圖，如圖2所示，為不同降雨量條件下的雨滴直徑與所占百分比的關系曲線。

Fig.2 Line diagram of rainfall data

有學者首先對Laws-Parsons分布數據表中的雨滴直徑間隔為0.25mm的區間進行了平均[16]，得到雨滴直徑的平均值，雨滴直徑平均值、所占體積百分比以及降雨量構成3維坐標，然后將所占百分比看成是雨滴直徑平均值和降雨量的二元函數進行了擬合，得到了雨滴體積分布的公式[16]:

f(D,R)=(33.44±1.8)R-1.28D5.93×

exp(-0.538R-0.186D)(m-3·mm-1)(4)

式中，D為雨滴直徑(mm)，R為降雨量(mm/h)。由(4)式可以看出，其擬合的雨滴譜分布形式非常復雜，實踐經驗證明，這個雨滴譜模型在不同地理區域內并沒有非常好的適用性。因此本文中提出了建立雨滴譜分布數據庫的新方法，即根據雨滴譜分布數據，考慮降雨量固定情況下，雨滴直徑平均值和所占體積百分比構成的一元函數關系式。利用MATLAB軟件繪制降雨量R分別為0.25mm/h,1.25mm/h,2.5mm/h,12.5mm/h,25mm/h和50mm/h折線圖，如圖2所示。

由觀察發現，不同降雨量條件下雨滴譜分布具有正態分布的3個特點:(1)集中性。曲線的高峰位于正中央；(2)對稱性。曲線左右對稱，曲線兩端永遠不與橫軸相交；(3)均勻變動性。曲線左右兩側逐漸均勻下降。因此文中選擇正態分布模型擬合雨滴譜分布。雨滴譜分布的擬合，首先將不同降雨量條件下，雨滴直徑和所占百分比數據導入工作區MATLAB的workspace作為變量(x，y)，接著在曲線擬合工具箱中分別選擇自變量x和因變量y，然后在擬合函數類型中選擇Gaussian分布即正態高斯分布，得到降雨量分別為0.25mm/h,1.25mm/h,2.5mm/h,12.5mm/h,25mm/h和50mm/h時的擬合雨滴譜分布圖形，如圖3所示。

Fig.3 Line diagram of rainfall data after fitting

得到的雨滴譜分布函數N(D)(單位為m-3·mm-1)的公式見下:

(R=0.25mm/h)(5)

(R=1.25mm/h)(6)

(R=2.5mm/h)(7)

(R=12.5mm/h)(8)

(R=25mm/h)(9)

(R=50mm/h)(10)

通過擬合的雨滴譜分布函數N(D)可以發現，降雨量R越大，雨滴直徑D的平均值越大，雨滴直徑D的方差也越大，圖形上表現為:雨滴譜分布曲線向右側移動，并且曲線形狀更加扁平。

3 近紅外輻射在雨滴譜分布中的衰減

近紅外輻射在雨中進行傳播的過程中，并不是只和單個雨滴發生作用，而是與多個雨滴或者雨滴群發生作用。因此在求解計算時，必須得到單位體積內雨滴粒子群對近紅外輻射的衰減系數β(dB/km)，β反映了近紅外輻射在降雨中傳輸時衰減大小，計算公式如下式所示:

Qe(α,n)N(D)dD(11)

式中,N(D)是雨滴譜分布，σe是雨滴的消光截面。根據圖1中消光效率因子與雨滴直徑的關系，由于雨滴粒子相對于近紅外波段較大[17]，尺度參量很大，因而消光效率因子近似為2[18]。

將研究者DAVID擬合的雨滴譜分布公式(4)式和雨滴譜分布數據庫中的分布公式(5)式～(10)式代入(11)式，即可以計算出降雨量分別為0.25mm/h，1.25mm/h，2.5mm/h，12.5mm/h，25mm/h和50mm/h時，近紅外輻射在雨中的衰減系數如圖4所示。

Fig.4 Relationship between attenuation coefficient and rainfall

觀察圖4中DAVID和本文中擬合的雨滴譜分布數據庫計算得到的衰減系數可以發現，本文中計算的衰減系數略大于DAVID模型計算的衰減系數，曲線遞增趨勢相同，隨著降雨量的增加，在降雨量相對較小時，隨著降雨量的增加，衰減系數會以一個較大的斜率迅速增加；而當降雨量增大到一定強度時，隨著降雨量的繼續增加，衰減系數仍然會繼續增加，但斜率相對較小，曲線近似為指數模型。從衰減系數的數值上來看，隨著降雨量的增加，近紅外輻射在雨中的衰減也隨之增大[19]，具體體現降雨量為50mm/h時的衰減是降雨量約為0.25mm/h衰減系數的6.8倍，衰減更為明顯。

在實際應用過程中，衰減系數與降雨強度的函數關系在工程中具有非常重要的應用。因而基于圖4中降雨量和利用本文中擬合出雨滴譜分布模型計算的衰減系數，分別采用了擬合曲線1和擬合曲線2兩種曲線模型進行擬合，并進行了方差分析。擬合曲線1和曲線2的表達式分別見下：

(12)

式中，t1，t2,A1,A2和y0是擬合曲線的參量。

原曲線、(12)式擬合曲線和(13)式擬合曲線如圖5所示。可以看出,兩種曲線的擬合效果均比較好，進一步進行方差分析可知，擬合曲線1的方差和相關系數為123.2和0.9840,擬合曲線2的方差和相關系數為2.869和0.9996，擬合曲線2的相關系數大于擬合曲線1的相關系數，擬合曲線2的方差小于擬合曲線1的方差，因此擬合曲線2的效果較好。

Fig.5 Relationship between attenuation coefficient and rainfall after fitting

計算得到，衰減系數和降雨強度的函數關系式采用擬合曲線2的結果，其中A1=-251.8，t1=48.92，y0=353.6,A2=-70.85，t2=2.848。由此，衰減系數β和降雨量R擬合的函數關系見下:

4 結 論

(1)基于米散射理論計算得到了1μm,2μm和3μm波長近紅外輻射的消光效率因子與雨滴直徑的關系曲線，分析了粒子尺度參量和折射率對消光效率因子的影響，找到了消光效率因子曲線的極大值和極小值的位置，總結了消光效率因子曲線局部極大值和極小值的規律，得到了3μm波長的消光效率曲線的包絡線包含2μm波長的消光效率曲線的包絡線、2μm波長的消光效率曲線的包絡線包含1μm波長的消光效率曲線的包絡線的結論。

(2)由不同降雨量條件下的雨滴譜分布數據分析發現，正態分布擬合效果很好，數據擬合得到了不同降雨量條件下的雨滴譜分布，建立了華盛頓地區的雨滴譜分布數據庫，可知隨著降雨量的增加，雨滴譜分布整體向右移動，曲線變得更加扁平，即雨滴直徑隨之增大，同時方差也隨之增大。

(3)基于DAVID擬合的雨滴譜分布公式和雨滴譜分布數據庫擬合的分布公式，利用衰減系數公式計算了近紅外輻射在降雨量分別為0.25mm/h,1.25mm/h,2.5mm/h,12.5mm/h,25mm/h和50mm/h時的衰減系數，比較發現，隨著降雨量的不斷增加，近紅外輻射在雨中的衰減系數也隨之增大。本文中計算的衰減系數略大于DAVID模型計算的衰減系數，曲線遞增趨勢相同，曲線近似為指數模型。與DAVID擬合的雨滴譜分布模型相比，雨滴譜數據庫具有更加廣泛的適用性。降雨量一定的情況下，雨滴直徑與其所占百分比的曲線更接近于正態分布，這個規律具有很強的適用性，符合自然規律的特點，降低了雨滴譜分布二元函數擬合帶來的擬合模型以及地理區域等因素而帶來的不確定性。

(4)基于圖4中的數據，分別采用了兩種擬合曲線模型對衰減系數和降雨強度的關系式進行了擬合，并進行方差分析，根據方差和相關系數的計算結果確定擬合曲線2模型優于擬合曲線1模型，并計算出擬合曲線2中各個參量的數值，最終得到衰減系數和降雨強度擬合的函數關系式。

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