基于擬合的亞像素邊緣檢測的算法比較

王楚+王亞剛

摘 要：針對傳統(tǒng)的邊緣檢測算法精度不高，提出了基于不同核函數(shù)的最小二乘擬合的亞像素邊緣檢測算法。采用Canny算子對圖像邊緣進(jìn)行粗定位，再以基于梯度幅值擬合的高斯函數(shù)與基于灰度值擬合的反正切函數(shù)和雙曲正切函數(shù)作為擬合核函數(shù)，對一幅拍有標(biāo)準(zhǔn)量塊圖像的邊緣進(jìn)行檢測，結(jié)果表明該算法能夠有效的進(jìn)行亞像素邊緣檢測。

關(guān)鍵詞：亞像素邊緣檢測；Canny算子；最小二乘擬合；核函數(shù)

DOIDOI：10.11907/rjdk.172671

中圖分類號：TP312

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-7800（2018）002-0060-03

0 引言

目前圖像邊緣提取技術(shù)按照精度級別可分為兩類：一類是整像素級別；另一類是亞像素級別。整像素級別的檢測算法主要有 Sobel 算子、 Roberts 算子、LOG算子和Canny 算子等[1-3]，其中Canny算子效果最佳，但是此類算法定位精度差，易受噪聲干擾產(chǎn)生偽邊緣。20世紀(jì)70年代提出了亞像素級別的檢測算法，它主要有插值算法[4]、矩方法[5]和擬合算法[6]。插值算法復(fù)雜度高運算速度慢，矩方法運算精度僅低于擬合算法，但其穩(wěn)定性不高。擬合算法首先用Canny算子進(jìn)行邊緣粗定位，然后找出邊緣的法線，在法線方向上，灰度值近似符合反正切函數(shù)和雙曲正切函數(shù)分布，梯度幅值近似符合高斯函數(shù)分布。

1 亞像素邊緣檢測原理

圖像處理理論表明，圖像實際邊緣的像素灰度在梯度方向上近似符合如圖1（a）所示的分布。1，2，3，4，5，6，7，8點的灰度值擬合分布圖像近似可以通過反正切函數(shù)或雙曲正切函數(shù)的平移和伸縮等基本變換得到。邊緣的準(zhǔn)確位置即亞像素邊緣位置位于整像素點4與5之間，即灰度值變化率最大的位置。因此需要對有限離散點的灰度值進(jìn)行擬合，然后找出擬合后曲線的一階導(dǎo)數(shù)等于零的位置，這個位置就是所要定位的亞像素邊緣位置。也可利用差分計算像素點位置的梯度幅值如圖1（b）所示，其分布圖像近似符合高斯函數(shù)圖像。對1，2，3，4，5，6，7點的梯度幅值進(jìn)行最小二乘擬合，高斯函數(shù)的均值位置就是待定的亞像素邊緣位置。

2 亞像素邊緣擬合算法

2.1 高斯函數(shù)擬合算法

首先利用Canny算子進(jìn)行邊緣粗提取，在給定的像素領(lǐng)域內(nèi)按線性擬合，找出邊緣的切線方向，然后在邊緣切線的法線方向附近提取a，b，c，d，e，f，g，h，I，j，k等若干像素點的梯度幅值。如圖2所示，將這些像素點向法線投影得到的點作為待擬合點，以左下角的第一個像素點的投影點作為坐標(biāo)原點，其它像素投影點到這個投影點的距離作為橫坐標(biāo)x，梯度幅值作為縱坐標(biāo)y，進(jìn)行高斯曲線擬合[8-10]。

一維高斯函數(shù)表達(dá)式為：

其中，u為高斯曲線的均值，即對稱軸位置，σ為標(biāo)準(zhǔn)差。

對像素點4法線方向插值得到的離散梯度幅值進(jìn)行高斯曲線擬合，得到的均值位置就是所要定位的亞像素邊緣位置。考察高斯函數(shù)會發(fā)現(xiàn)，直接對其擬合計算量較大，可以直接在其兩端取常用對數(shù)得到：

高斯曲線的極值點，即灰度值變換率最大的位置，即梯度幅值最大值位置為μ對應(yīng)的位置。

2.2 反正切函數(shù)擬合算法

反正切函數(shù)[11]為：

圖像實際邊緣的灰度分布近似符合反正切函數(shù)，通過基本的圖像平移和伸縮變換就可以得到灰度分布函數(shù)，設(shè)變換后的函數(shù)為：

其中ω，A為伸縮因子，φ，m為平移因子。如圖2所示，a像素點的位置為坐標(biāo)原點，邊緣切線方向為y軸，法線方向為x軸，將這些像素點向法線投影，以左下角的第一個像素點即a的投影點作為坐標(biāo)原點，其它像素投影點到a點投影點的距離作為橫坐標(biāo)x，像素點的灰度值作為縱坐標(biāo)y，以式（9）作為擬合核函數(shù)，通過最小二乘擬合算法，求得A，ω，φ，m。

通過上述中的理論得知，亞像素邊緣位于灰度值變化率最大的位置，對其求一階和二階導(dǎo)數(shù)得到：

從式（10）可知，灰度值變化率最大位置和拐點位置重合，位于反正切函數(shù)x=-φω位置，此位置即是亞像素邊緣位置。

2.3 雙曲正切函數(shù)擬合算法

雙曲正切函數(shù)[12]為：

圖像實際邊緣的灰度分布近似符合雙曲正切函數(shù)，通過圖像基本的平移和伸縮變換就可以得到近似的灰度分布函數(shù)，設(shè)變換后的函數(shù)為：

其中，ω，A 為伸縮因子，φ，m為平移因子。如圖2所示，a像素點的位置為坐標(biāo)原點，邊緣切線方向為y軸，法線方向為x軸，將這些像素點向法線投影，以左下角的第一個像素點的投影點作為坐標(biāo)原點，其它像素投影點到這個投影點的距離作為橫坐標(biāo)x，像素點的灰度值作為縱坐標(biāo)y，以（12）式作為擬合核函數(shù)，通過最小二乘擬合算法，可以求出A，ω，φ，m。通過上述中的理論得知，亞像素邊緣位于灰度值變化最大的地方，對其求一階和二階導(dǎo)數(shù)得到：

從式（13）可知，灰度值變換率最大位置和拐點位置重合，位于雙曲正切函數(shù)x=-φω位置，此位置即是亞像素邊緣位置。

3 評價試驗

3.1 評價方法

用一幅拍有標(biāo)準(zhǔn)量塊的圖片（192×210）對上述算法進(jìn)行評價，如圖3所示，檢測如圖所示的矩形框標(biāo)記的亞像素邊緣位置，利用matlab2014a 實現(xiàn)上述三種算法。

先利用標(biāo)準(zhǔn)差為0.5的5×5的高斯濾波模板對量塊圖進(jìn)行濾波，然后采用Canny算子進(jìn)行邊緣粗提取，邊緣定位在29列像素點附近位置。對29列像素點在法線方向的12個像素點的梯度幅值進(jìn)行擬合，然后對29列像素點在法線方向的13個像素點的灰度值進(jìn)行擬合，如圖4（a）、（b）、（c）所示。

3.2 實驗數(shù)據(jù)和評定結(jié)果

如表1（a）、（b）、（c）所示，R-Square項為確定系數(shù)[13]，其表征擬合效果的好壞，其數(shù)值越大擬合效果越好；Value項為擬合參數(shù)，Standard Error項為參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差，標(biāo)準(zhǔn)差越小擬合效果越好。xc為高斯函數(shù)的均值位置，b，c代表上文中的ω，φ。對于基于梯度幅值的高斯函數(shù)擬合，亞像素邊緣位置位于高斯函數(shù)均值位置。由表1知該位置即是xc。對于基于灰度值的反正切擬合和雙曲正切擬合，亞像素邊緣位置位于x=-cb。高斯函數(shù)，反正切函數(shù)和雙曲正切函數(shù)擬合定位的亞像素邊緣位置分別位于7.126，7.356和7.042個像素點位置。根據(jù)確定系數(shù)，參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差和定位位置綜合判斷得出結(jié)論，此三種擬合方法均能達(dá)到亞像素邊緣檢測的目的，高斯函數(shù)擬合效果較好，反正切函數(shù)效果好，雙曲正切函數(shù)擬合效果一般，三種算法的評定結(jié)果如表2所示。endprint

4 結(jié)語

根據(jù)邊緣灰度值和邊緣梯度幅值的分布特性，對一幅灰度圖像首先利用 Canny算子進(jìn)行邊緣粗定位，然后以高斯函數(shù)，反正切函數(shù)和雙曲正切函數(shù)三種函數(shù)作為擬合核函數(shù)，定位亞像素邊緣位置，該擬合算法能夠達(dá)到亞像素邊緣檢測的目的，具有精度高、抗噪聲等優(yōu)點，在立體視覺定位[14]和工業(yè)影像測量[15]中具有重要作用。

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