“直觀想象”與“數學運算”下的變式教學

王芳

摘 要：在高中數學課堂教學中，學生數學思想方法的獲得和深化往往都是以學生“解題活動”為載體，“解題活動”是學生提高數學核心素養的重要“平臺”.而在解析幾何中，借助圖形關系，通過“一題多變，一題多解”的教學方式，往往能夠尋找到解題的方法與規律.

關鍵詞：一題多變；一題多解；直觀想象；數學運算

高三圓錐曲線復習中的最大特點：計算量大、本文就從直觀想象與一題多變、數學運算與一題多解的角度去審視運算中的問題，通過“一題多變，一題多解”的教學方式，能讓學生對一類題型融會貫通，掌握解決問題的方法，培養學生發散性思維，從而讓學生從復雜的計算過程中解脫出來，上升到思想方法層面，從而達到培養學生的數學核心素養.

一、概念教學中的直觀想象與一題多變

概念教學是培養學生科學素養的一種重要途徑，歷年來高考數學試題中涉及數學概念的題型頻繁出現.借助圓錐曲線幾何圖形的直觀性去洞悉數學問題的本質，培養學生抽象思維，能進一步提升學生幾何直觀的想象力，激發學生推理分析的能力.

數學語言包括文字語言、符號語言和圖形語言，很多時候學生做題思維被卡住的原因是文字、符號語言轉化為相應圖形語言出現了障礙，需要教師選擇幾何圖形為背景的問題進行有針對性的教學，讓學生從圖形中感悟至升華，從而提升直觀想象的數學素養.

例1.已知F1，F2是橢圓C：+=1（a>b>0）的左、右焦點，點P在橢圓C上，線段PF2與圓x2+y2=b2相切于點Q，且點Q為線段PF2的中點，求橢圓C的離心率e.

分析與解：由“線段PF2與x2+y2=b2圓相切”得OQ的長就是短半軸b，且垂直PF2，再由OQ是△F2PF1的中位線得b==，OQ⊥PF2，故e=.

變式：P是橢圓+=1上的一點，F是橢圓的左焦點，且=+，=4，求點P到該橢圓左準線的距離.幾何圖形是解決問題的本質，也是對學生直觀想象素養的熏陶.

二、方法指導中的數學運算與一題多解

方法的指導，即在學生解題過程中，對學生的審題、解題、運算、化簡等進行一定的指導與幫助，使學生掌握合理的解題方法且能進一步優化運算過程.而解析幾何中運算的方法指導是指在運算中對復雜的數學關系式處理上的指導，常常受題目的條件、選參的方向以及數學思想方法的影響.

解析幾何中的運算是解題的核心，也是學生最大的困惑，是高校區分學生能力的重要方面.在培養數學運算核心素養過程中，學生能夠進一步提升數學運算能力，促進數學思維發展，培養學生嚴謹的學習習慣.

例2.在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：+=1（a>b>0）的離心率為，且經過點1，，過橢圓的左頂點A作直線l⊥x軸，點M為直線l上的動點（點M與點A不重合），點B為橢圓右頂點，直線BM交橢圓C于點P.（1）求橢圓C的方程；（2）求證：AP⊥OM.

分析與解：把橢圓的定義、幾何性質、代數運算等內容滲透到直線與圓錐曲線的位置關系問題中，充分體現了知識點之間的橫向聯系，符合了直線與橢圓B級考查要求的基本理念.

解法一：設直線BM：y=k（x-2），得M（-2，-4k），得y=x（x-2）+=1，得P，-，下用斜率乘積為-1，或用向量點乘為0得到證明；

解法二：設M（-2，m），求出直線BM的方程，再結合橢圓方程得方程組，求出P，，下同解法一；

解法三：設P（x0，y0），求出BM，得M-2，，設而不求是解析幾何中的一種重要的方法，利用方程進行整體消元，優化運算：

·=-2（x0+2）+=-2（x0+2）-=-2（x0+2）+2（2+x0）=0；

解法四：利用“橢圓上的點與橢圓上關于中心對稱的兩點連線的斜率之積為定值-”轉化，由kAP·kBP=-及直線OM、BM斜率的關系可以得AP，OM垂直.

三、兩點思考

在解析幾何的教學過程中，數學運算核心素養貫穿整章內容的教學，在“一題多變、一題多解”的教學環節下，不斷提升學生的數學運算核心素養，同時直觀想象、邏輯推理等核心素養也得到了相應的滲透，從而使得數學核心素養內化于心，成為學生心靈深處的“財富”！

1.一題多變，在變式發展中培養學生的直觀想象素養.問題1和變式都對橢圓的定義進行了考查，放在一起教學可以幫助學生認識、理解題目的本質，進一步深化對概念的理解，也可以幫助學生在新的問題分析中感受直觀到抽象、已知到未知的變化，進一步夯實基礎知識，同時也培養了學生的直觀想象素養.

2.一題多解，在探索發現中提升學生的數學運算能力.“一題多解”是高中數學解題教學中一個重要的組成部分，讓學生從各個不同的角度去思考問題，訓練學生的發散性思維，從而培養學生再思考、再發現、再創造的能力.問題2由通性通法到最優解法、由復雜的運算到精密的思維、由設點斜率到利用一些重要的結論進行跳躍，從多種角度去解決同一問題，既拓寬了學生的解題思路，又訓練了學生的數學運算化簡能力.

變式教學有利于培養學生發散性思維，拓寬學生的解題思路；變式教學也可以讓學生感受知識與方法的發展過程，體會自我認知能力的提升，發現數學解題過程中的樂趣，進一步提高學生學習數學的積極性.因此，我們要整合教學中的資源，將變式教學滲透到高中數學課堂中去，以提升學生的數學素養.

參考文獻：

[1]王建鋒.從平面幾何角度巧解某些高考解析幾何題[J].數學通報，2004（4）.

[2]從建華.高中解析幾何中的圖形關系[J].考試（高考數學），2012.

[3]過大維，錢軍先.在變式拓展中提升學生的核心素養[J].中學數學，2018（5）.

編輯 魯翠紅