斜拋運動最大射程問題分析

劉尚昊

摘 要：本文著眼于討論物體從一定高度被拋出后，其水平方向的最大射程與拋射角之間的關系，討論了斜拋運動達到最大射程應滿足的條件，并通過理論公式的證明和實際數據的測量，指出45°不再是能夠得到最大射程的角度。本文通過具體計算了實際鉛球拋出的最大射程和拋射角，并且隨機取數進行了實驗，從而得出了二者之間的關系，為斜拋運動的實際應用提供了力學理論依據。

關鍵詞：斜拋運動 最大射程 拋射角 力學理論依據

中圖分類號：O313 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2018）09（a）-0233-02

1 分部求導法

該分析方法需要經過兩次的求導，通過判斷導數的大小和倒數的解，判斷能否取到最大的射程。將該物體在空中進行斜拋運動的時間假設為t，則可以得到物體在坐標軸X和Y方向的運動方程，如下：

X=v0tcosθ （1）

Y=H+v0tsinθ-1/2gt2 （2）

假設物體在經過時間T以后由斜拋運動落地，此時物體的坐標為x=R，y=0，此時上式（1）（2）則變為：

R=v0Tcosθ （3）

0=H+v0Tsinθ-1/2gT2 （4）

將上式聯立起來，即可得出水平射程的表達式：

R={v0{sin2θ+[sin22θ+8gH/v02cos2θ]1/2}}/2g （5）

當物體落地后，H=0時，可以將上式化簡為：

R=v02sin2θ/g （6）

假設物體的最大射程為Rm，在求解最大射程時使用導數求極值的方法，分析最大射程和拋射角度θ之間的關系，在求解時引入無量綱參數定義為Z：

Z=gH/v02

在進行求導時，令R對θ的一階導數R=0，此時可以得到最后求解出結果為：

cos2θ=z/（1+z） （7）

然后對R進行二次求導，即可以推論出R的二階導數是小于零的，因此可以得出R是能夠取得最大值的。因此得出：

Rm=vo2（1+2z）1/2/g （8）

T=vo2/g[2（1+z）]1/2 （9）

θm=1/2arccos（z/1+z） （10）

根據上式當中的化簡結果可知，決定最大射程的影響因素不僅包括拋射角度θ，還有無量綱參數Z，因此影響最大射程的參數還有距離地面的高度H和物體運動的初速度v0。由前文當中計算的公式可以得出，在一般情況下，假若物體做斜拋運動時的空中運動高度大于零，那么可以得出其無量綱參數也是大于零的，就可以得出滿足最大射程時的拋射角度是小于或等于45°的結論[1]。因此通過公式可以得出最大射程同拋射角的關系。當物體運動時的無量綱參數為零時，即可以得到：

Rm=v02/g （11）

2 分解運動法

在進行力學問題的分析時，往往可以有多種分析方法進行問題的探討。斜拋運動作為物理力學當中的經典問題，還能夠使用“斜坐標系”的分析方法，即將原來的運動軌跡分解為兩個運動的和運動，一個是沿初速度方向的勻速直線運動和沿豎直方向的自由落體運動[2]。

分解方式按照矢量三角形的方法，將運動方向分解為首尾相接的三角形狀。分解運動的幾何關系如圖1中所示，可以用公式表示為：

R2=（v0tm）2-（1/2gtm2-H）2 （12）

由上式可以求出此時的最大運動時間同運動高度之間的關系，即當tm=v0[2（1+gH/vo2）]1/2或者tm=vo/g[2（1+z）]1/2時，R能夠取最大值。根據三角函數公式，將最大值求解公式轉化為三角函數表達式以后，再利用倍角半角轉換公式，可以得出：

cos2θm=Z/1+Z （13）

即可以得到最終的拋射角度為：

θm=1/2arccos（Z/1+Z） （14）

由于物體進行斜拋運動時，其運動開始的初速度、初始拋射角度和初速度都不是一定的，因此不同的數值都會對最終的最大射程產生影響。在物體進行斜拋運動的過程當中，假若有一階段的高度和初速度的大小都是一定的，那么可以采用引進無量綱參數Z的方式，然后將拋射角與最大射程之間的關系使用公式計算出來。

3 實際數據測量

本文為了證實理論的可行性，任意選取了一組數據進行了斜拋實驗，實際測量了在物體運動過程當中，拋射角與水平射程之間的關系，具體數值如表1所示。

再改變實驗時的物體運動初始速度v0，記錄下當初始速度增加、最大拋射角變化時，水平射程的影響，具體數值如表2所示。

根據上述數據的測量可以得出，在高度和初速度的大小不發生變化的情況下，物體做斜拋運動時的水平射程是對稱分布在最大拋射角兩側，呈中間高、兩邊低的趨勢變化的，其變化的函數曲線是拋物線[3]。假若物體做斜拋運動時的初始高度H一定，那么當初速度逐漸增大時，物體的拋射角會趨近于45°。

因此綜合上述分析，可以首先估算出當物體拋射角為45°時，此時的水平射程與測量出的最大射程的比值，理論計算公式為：

R45°/Rm=[1+（1+4Z）1/2]/[1+（1+2Z）1/2] （15）

此時顯而易見地可以看出，由于公式當中的無量綱參數Z是大于零的，因此該比值的結果恒為小于1的數。假若令參數Z的值為1，并且取拋射角度數為30°，那么即求出最后的比值為0.93，證明上述推論是真實可信的。所以可以得出結論，當物體斜拋運動取得最大射程的時候，其拋射角應當是小于45°的。

4 結語

斜拋運動的應用范圍十分廣泛，不僅能夠在導彈、槍彈研發時決定彈藥射出的射程和軌跡，也能夠為鉛球運動員提供理論戰術指導，提高運動員的成績。綜上所述，假若要使物體實現斜拋運動的最大射程，一方面要盡可能大地提升物體運動的初速度，另一方面還要選擇好合適的拋射角度，根據不同場地的要求，以運動員或者設備自身的參數為基準，在準備階段調整好影響斜拋運動的各個參數，從而保證能達到最大射程。

參考文獻

[1] 琚鑫，岳凌月，王邦平.斜拋運動中射程問題的一般性討論與數值計算[J].物理通報，2013（6）：118-120.

[2] 張明亮.斜拋運動中的射程問題[J].湖南中學物理，2011 （5）：45.

[3] 謝恩東.安全拋物線在解題中的應用——對斜拋運動的最大射程解法的一點補充[J].物理教師，2008，29（1）：34.