重要性抽樣在離散障礙期權定價中的應用

朱長鵬，陳 萍

（南京理工大學 理學院，南京 210094）

引言

期權是最重要的金融衍生工具之一，是一種發展比較成熟的金融工具，合理定價是期權發展的基礎。在20世紀70年代以前，期權定價一直沒有一個合適的模型；1973年，Black和Scholes開創性地推導出了歐式期權定價的模型。歐式期權在特殊情形下尚有封閉解，而美式期權、障礙期權等一些特殊期權一般沒有封閉解。在無封閉解的情形下，期權定價一般需要尋求數值解法，目前這類數值定價方法很多，諸如二項式模型、有限差分和蒙特卡羅模擬方法。其中，蒙特卡羅模擬方法因為其良好的普適性而受到特別青睞，尤其在實際應用中，在復合基礎資產、多因素情形下，蒙特卡羅方法則可大顯身手。然而蒙特卡羅方法有一個缺點，那就是模擬結果不太精確，具有較大波動性，在路徑數目小的時候表現尤甚。為提高精度，要么增加模擬路徑，要么減小波動方差。在復合基礎資產、多因素、多時間離散步驟的復雜情形下，模擬維度異常大，增加模擬路徑會大大增加模擬計算時間，形成所謂“維度夢魘”。所以，方差縮減技術就變得至關重要。蒙特卡羅模擬的方差縮減技術作為模擬效率改進的重要途徑，在金融衍生證券的定價分析中已經得到了廣泛的應用和發展。

針對于大多數研究是基于對數正態模型的情況下，而現實利率并不是一個常數，所以本文在利率遵循Vasicek模型的基礎上，在離散障礙期權的定價當中應用蒙特卡羅模擬技術，并用重要性抽樣進行方差縮減，最后通過模擬分析，結果表明，改進后的蒙特卡羅模擬方法能夠對離散障礙期權進行穩定的定價。

一、基于vasicek模型的歐式看漲期權定價

假設利率服從Vesicek模型：

所以：

因此，對于任意的 t＞t0，rt服從正態分布，且

（一）零息債券的定價

零息債券是一張在到期日（t=T）換取1元現金的債券，令B=B（r，t）表示零息債券在t時刻的價格，由伊藤引理和Vasicek模型得到：

所以（3）式的顯示解為：

其中，

（二）利率服從Vasicek模型下的歐式期權定價公式

假設股票服從幾何布朗運動

通過伊藤積分和微分方程的求解，最后得到：

其中：

二、基于Vasicek模型的障礙期權定價的蒙特卡洛模擬

考慮一個向下敲入的歐式看漲期權，股票價格為S（t），在離散時間0=t0＜t1＜…tm=T下，觀察并記錄股票價格，障礙期權的價格為H，執行價格記為K，到期時間為T。令S（0）＞H，τ（非負隨機變量）時刻股票價格穿過障礙，T時刻的向下敲入期權的支付函數為：

其中，I（·）是示性函數。

期權價格在0時刻的價格的貼現為：

條件期望蒙特卡羅估計模擬基于以下條件：如果股票價格在跨越障礙時，那么從跨越障礙時到期滿期間，可以使用解析公式而不需要模擬價格路徑。

在模型（1）和模型（6）的情況下，考慮當時間為 τ（τ＜m），股票價格為 S（T）時，

對于內部期望，假定S（T）服從Vasicek利率模型，所以

所以內部期望為：

所以（10）可化簡為：

Boyle和Broadie等考慮了條件期望技術在對數正態模型的障礙期權上的應用，本文基于Vasicek模型，利用蒙特卡洛估計模擬N條路徑，再對其去均值，貼現，得：

三、重要性抽樣的應用

針對上述蒙特卡洛模擬方法精度不夠精確的缺點，我們采用重要性抽樣來進行方差縮減。

要運用重要性抽樣技術，需要乘上兩個密度函數的Radon-Nikodym導數。密度函數由Girsanov定理給出，它的主要思想是：假設P是在時間段[0，T]上生成的Ito過程的概率測度：

P0是一個類似的概率測度，但有不同的漂移率：

在這兩個過程中，他們都是從同樣的初始值S0開始的。P對P0的Radon-Nikodym導數為：

Girsanov定理在導出模擬中特別有用，用Girsanov定理可以修正變量的分布。一般來說，如果我們想要確定在概率測度P下的期望值，我們可以生成測度P0下的模擬值，再乘上dP/dP0，我們在E下加一個下標表示要求的隨機變量的測度：

我們可以任意選擇不同的常數C，以盡可能地減小模擬的方差。在理想的情況下，我們希望模擬盡可能地接近真實情況，所以C的值應當盡可能地接近，所以我們選擇C=E（rt）。

重要性抽樣技術模擬標的股票價格穿過障礙值之前的價格路徑，當標的股票價格穿過障礙值時，可以用條件期望技術計算期權的價格。所以,結合的期權價格的模擬量為：

四、模擬分析

所以根據Girsanov定理，結合本文股價服從的公式：

對應的Radon-Nydodym導數是：

期權價格的最終的估計量是：

以向下敲入歐式看漲障礙期權為例，分別利用條件期望蒙特卡羅方法、重要性抽樣法、基于條件期望和重要性抽樣的蒙特卡羅方法對期權價格進行模擬，并與期權的理論價格做比較。

考慮一個1年期歐式看漲障礙期權，股票價格S=15，執行價格 K=20，T=1，到期時間 τ=0.75，利率波動率 σ1=0.002，股票波動率 σ2=0.3，a=0.1，θ=0.2，初始利率 r=0.06，障礙價格H=12。C1、C2、C3、C4分別表示理論、條件期望下、重要性抽樣、條件期望和重要性抽樣結合方法下的期權價格。

由上表可知，當 ρ=0 時，C2、C3、C4分別與理論值得誤差為5%、5%、0.3%，所以將條件期望蒙特卡洛法和重要性抽樣方法結合的模擬量更接近理論值。而且隨著兩種布朗運動關系的增大，我們可以看出期權價格是逐漸減小的。

結語

本文將蒙特卡羅模擬方法應用于離散障礙期權的定價，在已有的條件期望和重要性抽樣的方差縮減技術的基礎上，實現了條件期望和重要性抽樣兩種技術的結合。數值模擬結果表明，所提出的復合方差縮減技術能夠得到更好的方差縮減效果。進一步研究的內容包括如何對復合方差縮減技術中的重要性抽樣中的最優化選取，以及如何在本文提出的方法基礎上結合其他方差縮減技術。

[1]Black F.，Scholes M.The pricing of options and corporate liabilities[J].Journal of political economy，1973，(3)：637-654.

[2]Boyle P.，Broadie M.，Glasserman P.Monte Carlo methods for security pricing[J].Journal of economic dynamics and control，1997，(8)：1267-1321.

[3]Hull J.，White A.The use of the control variate technique in option pricing[J].Journal of Financial and Quantitative analysis，1988，(3)：237-251.

[4]Glasserman P.Monte Carlo methods in financial engineering[M].Springer Science&Business Media，2013.

[5]陳輝.期權定價的蒙特卡洛模擬方差縮減技術研究[J].統計與信息論壇，2008，(7)：678-690.

[6]姜禮尚.期權定價的數學模型和方法[M].北京：高等教育出版社，2003.

[7]P.Boyle，M.Broadie，P.Glasserman，Monte Carlo methods for security pricing，Journal of Economic Dynamics and Control，1997，(21)：1267-1321.

[8]P.Glasserman，Monte Carlo Methods in Financial Engineering，Springer-Verlag，2004.

[9]Neddermeyer J C.Non·parametric partial importance sampling for financial derivative pricing[J].Quantitative Finance，2011，(8)：1193-1206.

[10]Giray O.，Emmanuel S.，Ahmet G.On pricing discrete barrier options using conditional expectation and importance sampling Monte Carlo[J].Mathematical and Computer Modelling，2008，(47)：484-494.

[11]Gurevich B.L.Integral，measure，and derivative：a unified approach[M].Courier Corporation，1966.