二維單層原子鏈聲子色散關系的研究

(長安大學 陜西 西安 710064)

引言

晶格動力學研究的一個重要的分支便是晶格振動的色散關系，它與晶體材料的熱學、光學性質以及結構相變等都密切相關[2]。2010年，李曉軍等人[2]對一維單原子鏈晶格振動色散關系進行了分析研究。結果表明,沿[100]方向Fe、Nb、W和Ta單原子鏈的色散曲線非常相似；在相同環境溫度下，受力(用恢復力常數描述)越大且質量越小的原子狀態改變越快,因此頻率越大，反之亦然。

近年來，對一維單原子鏈的研究是二維單原鏈晶格振動的基礎，它包含了晶格振動最基礎也是最主要性質。因此本文試探性地從一維模型建立起的原子之間的動力學方程，逐步建立起二維單原子間的動力學方程。接著構建體心立方金屬Fe、W、Ta的二維單原子鏈模型，同時將原子勢函數和晶格動力學理論相結合，在簡諧近似和最近鄰近似下應用MATLAB計算機語言編程并模擬了沿ΓΧ，ΓΜ和ΧΜ方向上的色散關系，從而為定量進行二維單層原子鏈色散關系的數值計算奠定了實驗基礎。

一、二維單層原子晶格振動模型的探究

(1-2)

下來我們討論二維單層原子晶格振動的模型。如圖1，設晶體中的原胞個數為N，每個原胞中有且只有一個原子，原子的質量為M，最近鄰原子之間的間距為a。以下線框內中間原子為參考原子n，假設該原子因為熱振動離開其平衡位置時瞬時位移為x(n)，與之相近鄰的其他原子的瞬時位移為x(m)(m=1，2，3，…)。當第m個原子移動時，原子n就會受到這些原子的作用力，則在簡諧近似下，原子n的運動方程為[5-8]：

圖1 二維單原子

(1-3)

其中α,λ=x,y是笛卡爾坐標的分量；βαλ(n,m)是恢復力常數，它表示第m個原子在λ方向上位移單位距離時施加在n原子α方向上的作用力，它是原子間相互作用勢能的二階導數：

(1-4)

只要知道體系的能量，通過求解力常數和動力學矩陣單元就可以得到體系的振動頻率ω與波矢q之間的關系即聲子色散關系。

二、原子勢函數模型

原子勢模型在材料科學、分子振轉能級等理論研究方面起著不可低估的作用。由于二維單層原子間又不需要考慮多體的相互作用，因而我們直接采用張幫為等人所擬合的兩體勢，其勢函數有如下形式：

(1-6)

其中ks(s=—1～4)是體心立方模型參數(見表1)。把模型參數代入(1-6)中，即可獲得Fe、W、Ta的勢能曲線圖。

表1 Fe、W、Ta、的模型參數

三、體心立方金屬色散關系的結果分析

圖2 金屬Fe沿ΓΧ、ΓΜ、ΧΜ方向上的色散關系曲線

圖3 金屬W沿ΓΧ、ΓΜ、ΧΜ方向上的色散關系圖

圖4 金屬Mo沿ΓΧ、ΓΜ、ΧΜ方向上的色散關系曲線

從圖2～4得：對于特定金屬，其二維晶格振動的格波模在三種對稱方向上均可產生兩個獨立的色散支，其中在ΓΧ和ΓΜ的方向上分別產生的是縱波模和橫波模，但是在ΧΜ方向上既不是縱波模也不是橫波模；當約化格波在0.5附近時，每種金屬的振動頻率均呈現出最大值，隨后隨著格波的增加，其金屬的振動頻率逐漸呈現出衰減的趨勢，尤其是在沿ΓΧ和ΓΜ兩種對稱方向上，其衰減趨勢會更加明顯。三種金屬沿ΓΧ和ΓΜ的方向處的短波模處，金屬振動的頻率和波矢呈現出一種線性關系；最后，綜合考慮三種金屬在相同的對稱方向上，金屬Ta和W的頻率依次增大，這主要是由于這三種金屬對應的原子質量依次減少的原因，因為在溫度相同時，質量越小的原子其原子狀態越容易改變，反之亦然。

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