堅(jiān)持梳理，系統(tǒng)理解

黃煜霖

匆匆地，兩年里我們?nèi)缒潜捡Y的動(dòng)車(chē)，從函數(shù)開(kāi)始，一路不停地學(xué)完了高中數(shù)學(xué)所有新授課程。回眸過(guò)去，一疊疊厚重的學(xué)案與試卷，凝聚著我們兩年的辛勤。兩年里，我們的數(shù)學(xué)知識(shí)不斷累積、數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)不斷豐富、數(shù)學(xué)素養(yǎng)不斷提升，數(shù)學(xué)讓我們不斷成長(zhǎng)。然而，兩年的學(xué)習(xí)是局部的、基礎(chǔ)性的，高三的復(fù)習(xí)才是真正的考驗(yàn)。如何才能在一輪復(fù)習(xí)中跟上老師的節(jié)奏、完成自我的蛻變呢？“凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢。”本文在請(qǐng)教老師和學(xué)長(zhǎng)的基礎(chǔ)上，結(jié)合我們最近學(xué)習(xí)的《導(dǎo)數(shù)》單元，初步闡釋一下高三一輪復(fù)習(xí)中如何“堅(jiān)持梳理，系統(tǒng)理解”。

導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)是高中的難點(diǎn)，相應(yīng)的考題在高考中往往是處在壓軸題的位置，其涉及的知識(shí)比較廣泛，對(duì)技能和經(jīng)驗(yàn)要求比較高，常常與函數(shù)、方程、不等式以及圖象、零點(diǎn)等結(jié)合，能夠覆蓋整個(gè)代數(shù)的學(xué)習(xí)，但這些考點(diǎn)之間也存在著內(nèi)在的聯(lián)系和清晰的邏輯。

1.連點(diǎn)成線(xiàn)

對(duì)一個(gè)單元的學(xué)習(xí)，我們首先要掌握其中的概念。導(dǎo)數(shù)部分的概念比較多：導(dǎo)數(shù)的概念、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值、函數(shù)的最值等。將每個(gè)概念看成一個(gè)個(gè)的點(diǎn)，而抓住概念之間存在的聯(lián)系，就可以將點(diǎn)連成線(xiàn)，在這些概念中“極值、極值點(diǎn)的含義”比較復(fù)雜：

一般地，已知函數(shù)f（x），設(shè)x1是定義域內(nèi)一點(diǎn)，如果在x1附近的所有x，都有分f（x1）>f（x）（f（x1）

如果僅從定義的表面看，其與“導(dǎo)數(shù)”沒(méi)有太大關(guān)系，但如果結(jié)合相應(yīng)的圖象理解，“極值點(diǎn)”就是函數(shù)增、減性改變的點(diǎn)，則函數(shù)極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系如下：

單調(diào)性與極值存在著聯(lián)系，研究函數(shù)的極值，先要研究函數(shù)的單調(diào)性。我們?cè)賮?lái)看一看函數(shù)在定義域上的最大值、最小值的概念：

函數(shù)的最大（小）值是相對(duì)于函數(shù)定義域整體而言的，如果存在最大（小）值，那么它是唯一的。所以，從概念表面上看，“函數(shù)在定義域上的最大值、最小值”與導(dǎo)數(shù)沒(méi)有關(guān)系。但如果我們這樣理解：函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上，如果存在極大（小）值，則將極大（小）值和f（a）、f（b）進(jìn)行比較，得到y(tǒng)=f（x）在區(qū)間[a，b]上的最大（小）值；如果不存在極大（小）值，則只要將f（a），f（b）進(jìn)行比較，得到y(tǒng)=f（x）在區(qū)間[a，b]上的最大（小）值。由此可見(jiàn)，導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性、極值、最值這些概念之間具有內(nèi)在的聯(lián)系，可以形成一條清晰的線(xiàn)路，如下圖：

2.合線(xiàn)成面

運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的性質(zhì)，其核心是研究函數(shù)的單調(diào)性。這是因?yàn)槿绻篮瘮?shù)的單調(diào)性，我們就可以畫(huà)出它的草圖，結(jié)合圖象可觀(guān)察函數(shù)的“極值”，進(jìn)而可求“最值”、“值域”，也可處理“函數(shù)的零點(diǎn)”、“不等式恒成立”、“方程有解問(wèn)題”等問(wèn)題，判斷函數(shù)的單調(diào)性是運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)性質(zhì)的基石。問(wèn)題是如何才能準(zhǔn)確地處理所有單調(diào)性相關(guān)問(wèn)題呢？我們可以采用“合線(xiàn)成面”的復(fù)習(xí)模式。

分析：對(duì)其中的a，△進(jìn)行討論，共分四種情況，我們分別作出其導(dǎo)函數(shù)和函數(shù)的草圖（圖l-圖4）。

結(jié)合這些圖象，所有三次多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)性一目了然，這里強(qiáng)調(diào)的是：當(dāng)△>0時(shí)，宜將f（x）因式分解，寫(xiě)成兩根式：f（x）=a（x-x1）（x-x2），這樣處理不僅可以快捷地作圖，而且能直觀(guān)地判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)。

其次，我們要進(jìn)一步厘清關(guān)于單調(diào)性的幾種表達(dá)，舉個(gè)例子讓大家辨別理解一下：

對(duì)于函數(shù)f（x）=x3-ax2十1.（1）若函數(shù)f（x）的減區(qū)間為（0，2），求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

我們首先要思考的問(wèn)題是：題目中兩問(wèn)有何區(qū)別？函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)單調(diào)遞減，那么區(qū)間（0，2）與函數(shù)減區(qū)間有何關(guān)系？

本質(zhì)上看，問(wèn)題l是“已知f（x）的單調(diào)減區(qū)間”，而“求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間”是通過(guò)在定義域內(nèi)解不等式“f（x）<0”得到，所以，“已知f（x）的單調(diào)減區(qū)間，求參數(shù)的值”應(yīng)該化歸為“已知不等式f（x）<0的解集，求參數(shù)的值”；問(wèn)題2是“已知f（x）的單調(diào)性，求參數(shù)的范圍”，事實(shí)上，“函數(shù)f（x）的減區(qū)間為（0，2）”能夠推出“函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)單調(diào)遞減”，但“函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)單調(diào)遞減”不能夠推出“函數(shù)f（x）的減區(qū)間為（0，2）”。所以，區(qū)間（0，2）是函數(shù)f（x）減區(qū)間的一個(gè)子集。具體解答如下：

復(fù)習(xí)時(shí)，我們?cè)诒鎰e的基礎(chǔ)上，可將相關(guān)知識(shí)“合線(xiàn)成面”，與單調(diào)性有關(guān)的求參數(shù)取值范圍的問(wèn)題（例如：已知f（x）在區(qū)間[a，b]上為增函數(shù)，求k的范圍）的基本求解策略：

3.融面成體

在一個(gè)個(gè)概念“連點(diǎn)成線(xiàn)”，一個(gè)個(gè)知識(shí)點(diǎn)“合線(xiàn)成面”的基礎(chǔ)上，我們還要學(xué)會(huì)將這些“線(xiàn)”和“面”與其他關(guān)聯(lián)知識(shí)進(jìn)行融合。“融面成體”，完善自己的知識(shí)體系，例如，我們可以用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)來(lái)處理“零點(diǎn)”問(wèn)題：

點(diǎn)評(píng) “函數(shù)的零點(diǎn)”本質(zhì)上是“方程的根”，求函數(shù)g（x）=f（x）+a的零點(diǎn)問(wèn)題，我們可以將之轉(zhuǎn)化為求方程“f（x）=-a”的根，“數(shù)形結(jié)合”，即觀(guān)察函數(shù)y=f（x）與直線(xiàn)y=-a交點(diǎn)的情況，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求“函數(shù)y=f（x）的極值”問(wèn)題。

類(lèi)似的融合還很多，比如一些不等式的證明，常常與函數(shù)的單調(diào)性融合起來(lái)。因?yàn)椋瘮?shù)的單調(diào)性的定義就是由不等式表達(dá)的，用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性也是由不等式來(lái)計(jì)算的。所以，處理一些不等式的證明問(wèn)題常常通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)證明，僅舉一例已說(shuō)明。