平面向量夾角問題的易錯剖析

李鵬

通過向量的數量積及其相關運算探究兩個向量的夾角問題，考生常常因為概念不清、考慮問題不全面等原因而導致錯誤，現就此類問題在解題中常見的易錯點剖析如下。

1.向量夾角的概念不清

剖析 在本題中，向量α，b的夾角并不是∠ABC，因為它們并沒有從同一個起點出發，我們可以通過平移讓兩個向量的起點重合（圖2），不難發現它們的夾角其實是∠ABC的補角。

總結 尋找向量的夾角時，必須讓兩個向量從同一個起點出發，即將兩個向量的起點通過平移放到同一點處，這時所形成的角才是向量的夾角。

2.忽視向量夾角的范圍

此外本題還能利用數形結合的思想，將向量a，b在坐標系中畫出來，如圖3所示，將兩個向量的起點都放在坐標原點，此時向量a的終點落在第二象限，向量b的終點落在y軸上半軸上，很明顯它們的夾角是α-π/2。

總結 根據向量夾角的定義，平面內任意兩個向量夾角的取值范圍為[0，丌]，做題中不能忽視這一點，以免出現錯誤。

3.忽視向量夾角為特殊值的情況

剖析 本題錯解誤認為兩非零向量α與c夾角為銳角的充要條件是α·c>0。事實上，當夾角為0時，對于非零向量α和c，仍有α·c>0成立。

總結 從這道題可看出，在判斷兩非零向量夾角的范圍時，不能簡單通過數量積大于0或者小于0來判斷。非零向量的夾角與數量積存在如下關系：

向量夾角雖然在教材中所占內容不多，求夾角的公式也只是數量積公式的變形，但是在實際解題中，經常會出現一些錯誤，同學們一定要引起足夠的重視。endprint