數學與折紙

我折疊著我的愛

我的愛也折疊著我

我的折疊著的愛

像草原上的長河那樣宛轉曲折

遂將我層層地折疊起來

……

席慕蓉《我折疊著我的愛》

讓我們從席慕蓉的一首現代愛情詩開啟今天的數學折紙之旅，對于詩人而言，她的愛是其丈夫，而對于常博士而言，那折紙就是其最愛，在折疊之間，讓我們深入體會隱藏在折紙背后的數學，欣賞數學的魅力，也讓數學成為我們的最愛。

常文武簡介

常文武博士，1966年出生，1998年畢業于復旦大學數學系，現任上海市普陀區現代教育技術中心跨學科高級教師。1999年起任全國首批英特爾未來教育骨干教師，為該項目連續工作十年。2004年隨上海市教育信息化考察團出訪美國多地。近年來活躍于亞洲數學技術大會（ATCM），以論文參加ATCM2009北京、ATCM2011土耳其、ATCM2013印度。2013年起潛心研究折紙在數學中的應用。連續在上海《科學》等雜志上發表論文1O多篇，同時兩度參展上海科學藝術展。2014、2015年受澳門中華教育會邀請，向澳門數學教師講授折紙與數學教育。2014年與田翔仁合著的《動手動腦 玩轉數學》，由江蘇鳳凰教育出版社出版。

[編者的話]折紙的神奇，在于你永遠想不到如此簡單的一張白紙能夠用來做些什么。小時候的折紙可能更加偏重于折些簡單的小動物、小物件等等，在今天的我們看來，折紙或許已經不那么神奇，但這其實只是你的誤解。這次的主題是折紙與數學，自然不那么簡單，希望能讓你再次驚嘆折紙的無窮魅力。

一、幾何篇：折出點線面體

1.折出定比分點

正方形的紙隨意一折，一般能出現一個（凹）九邊形，如圖1。

如果稍微約束一下隨意性，保證折痕經過中心點，那會產生什么奇妙的現象嗎？

這個問題很值得研究。

結果發現，如果邊的疊合點是各自邊上的有理定比分點，那么折痕經過的點也必是某個有理定比分點，從而折疊產生任意的有理定比分點都變得有章可循。

例如要分紙的一邊為7等分，那就先把它一組鄰邊8等分，將兩邊的第一個等分點疊合起來得到的折痕就過某個7等分點。確切說，這時D是4：3分點。

一般地，對于某個素數N（N〉2），欲N等分正方形的邊，我們必先得到邊的N+1等分。因為這是個偶數，所以就只須折疊得到

等分。這個是較小的一個整數，我們可以繼續利用類似的思路，即“偶數÷2，奇數十l”的策略，最終化歸得出任何素數的等分點折法。合數的等分點只要依次把每個素數因子等分，就可以實現了。

2.對數螺線怎么折

對數螺線是由笛卡兒在1638年發現的。雅各布·伯努利后來重新研究，他十分驚嘆和欣賞這曲線的特性，故要求死后將之刻在自己的墓碑上，并附詞“縱使改變，依然故我”。可惜雕刻師誤將阿基米德螺線刻了上去，不得不說是一種遺憾。

這是一種神奇的螺線，可以在自然界中找到很多類似的例子，如鸚鵡螺的貝殼、蜘蛛網的構造、漩渦星系的懸臂等等。感興趣的同學，可以閱讀《數學文化素質教育資源庫》的相關內容，而今天，我們將在常博士的帶領下，看看如何用一張普通的紙折出對數螺線。

（一）初步嘗試

通過折疊一張紙就能實現初步模擬對數螺線！怎么折？先來學學吧。

準備一張A4紙，折起45°角，得到一個等腰三角形，如圖l所示。

沿著折痕剪下這個等腰三角形紙片，我們的螺旋折紙就從這個等腰三角形紙片開始。

第一步折疊：沿等腰三角形的中位線，將頂角折向底邊。同時注意觀察：經過折疊，我們得到的是一個等腰梯形，它的鈍角頂點是135°。

接下來我們要折的過程是一系列類似的操作。

先來看第二步折疊如何操作。

這一步的折疊得到的是一個凹六邊形，折法是讓上底的右端點與下底的中點對合折疊。從效果看，折痕正好與右腰平行，翻轉的部分是一個平行四邊形。

如圖3，折疊示意圖中畫了圓圈的兩點其實可看成是一個大的平行四邊形的兩個相對的鈍角！注意到這個巧合性，我們就感到有趣了！我們的第三步折疊就是繼續將折起來的平行四邊形中兩個鈍角對合折疊。效果如圖4.

已經猜到第四步怎么折了？繼續疊合上步操作得到的平行四邊形的兩個鈍角。完全正確！你可以操作第五步、第六步、第七步……直至無窮（如果真有那么大的紙張的話）。

事實上，另外還限于我們手的精細度極限，紙變小的過程只能到第十步左有為止，讓我們看看電腦繪制的更精細的完成圖，如圖5所示。

實際上，我們得到了一個類似長裙的裙擺的結構，它像楊麗萍跳孔雀舞時穿的服裝，更像是一個摩登的螺旋式臺階的空中俯瞰圖。

這款折紙是從臺灣的李政憲老師那里學來的，不過稍微加了些變化。

數學上如何看待這個折紙呢？在數學上，我們把每隔一個固定的角度，點到出發起始點的距離就拉伸一個固定的比例，這樣的點的運動軌跡叫對數螺線。

在生活中很多地方都有對數螺線的身影：葵花籽在向日葵花頭上的排列，鸚鵡螺的殼上的花紋，熱帶氣旋的衛星云圖，等等。它們都有統一的數學表達式：

最后我們來欣賞一下我們的折紙與對數螺旋在多大程度上相似，請看圖6。

（二）再次改進

在（一）中，我們嘗試著折出了對數螺線的模擬圖，但是效果外觀并不十分盡如人意，這條螺線與實際的貝殼螺線還有距離。為此，我們還要進一步分析和思考，能否折出如圖7中鸚鵡螺那樣具有不同參數α的對數螺線ρ=e

的問題。

在這個問題上，日本折紙藝術家布施知子（TomokoFuse）已有一個如圖8的設計，她用正方形紙折出頂角為45°的等腰三角形，折痕中有許多平行于底邊的平行線。不過她的這些平行線折痕沒有充分考慮到螺線的等比性。endprint

現在我們用數學中等比數列的概念來設計，達到更合乎自然界鸚鵡螺的外觀.請先如下列圖9所示裁剪A4紙為兩個箏形。

圖9裁剪出的兩個箏形可以分別獨立制作成兩個鸚鵡螺。以其中一個為例，折痕圖如圖10所示。

這些折痕的產生規律是這樣的：將箏形的鈍角沿著兩直角間對角線折向對稱軸得到第一條谷線。然后沿著折起的鈍角的兩邊折出兩道山折，此后每次折疊都是折這三道折痕的平行線。到末尾階段可以留一截不再折下去。

在成型階段，需從銳角頂點開始收，將頭上沒有折過的地方剪去，然后按預先設計好的山線和谷線來折。形象地說，就是漸漸卷曲使得紙按既定折痕蜷縮成螺的樣子。

這個折法真能更完美體現對數螺線嗎？

我們不妨來擬合一下這條曲線。先將折紙過程形成的折線繪出。通過計算機繪圖發現圖11中的折線與對數螺線二者的差異是很小的。

需要指出的是，采用半張A4紙作為材料只是考慮取材的方便，您完全可以用其他形狀的箏形紙片來完成形態各異的螺。

看來，折紙藝術家布施知子的蝸牛經過與數學親密結合變得更加活靈活現了！

3.從二面角到極小曲面

同學們小時候可能都吹過肥皂泡，而在無數美妙的肥皂泡背后，其實有著不少的秘密，著名的普拉托物理實驗是把圍成封閉曲線的金屬絲放人肥皂溶液中，然后取出來，由于表面張力的作用，在它上面就蒙有表面積最小的薄膜，這種表面積最小的曲面就是所謂極小曲面，從數學上求這膜曲面的問題稱為普拉托問題。

極小曲面的應用很廣，無論是小到珠寶設計，還是大到建筑設計，都能看到它的身影。

今天，我們會請常博士幫助我們用普通的紙張來折疊組合出一個極小曲面。

我們先從二面角說起，二面角在生活中到處存在，比如墻面總是與地面構成90°的二面角。打開的書本可以形成任意的二面角。人字形的坡面屋頂則一般是大于90°的二面角。此外，三維坐標系由三張平面（xOy，yOz，xOz）兩兩垂直，形成匯聚在O點的3個90°二面角。在數學上，由三個面構成的多面角稱為三面角。

圖l就是一個三維立體坐標系的紙模型示意圖，它可以用六張正方形的紙折疊插合而成。在這個結構中有八個“三面角”凹陷。

讀者可以拿六張統一大小的正方形紙，照如下步驟折一個這樣的模型。

方法與步驟：

1.取一張正方形紙，上下兩邊對折，再把左右兩邊對折。

2.將一邊紙打開并壓折，背面折法相同。形成一個雙三角結構。

3.重復2中的步驟，再制作五個同樣的雙三角。

4.將兩個插合起來，如圖3顯示，用一個雙三角組合件的一翼插入另一個的一翼之下。

5.在已有的組合結構中添加第三個雙三角。如圖4，新的雙三角要和已有的兩個雙三角形成互相追趕的效果。如：第一個包裹在第二個中，第二個包裹在第三個中，第三個包裹在第一個中。

小貼士：注意不要插太緊，先看清關系，搭上即可。

6.繼續增加雙三角到這個結構中，始終注意“A插B，B插C，C插A”的規律，當六個雙三角都插在一起后，形成的圖案如圖5所示。

7.結構雛形出現了，我們用雙手從外圍四面八方向中心輕輕壓，最終就可以形成圖1中那個漂亮的立體三維坐標系結構。

現在我們來思考下面的問題：在這世界上，是否還存在類似圖l的更簡單結構？顯然最少的三面角凹陷應該不少于4個，所以首先讓我們試著尋找具有4個三面角凹陷的結構。

圖6這個結構便是具備了4個三面角凹陷的最簡結構，它外輪廓是個正四面體，里面有6個鈍角三角形作為連接膜瓣。

如果你拿一個正四面體的鐵絲框架浸泡在肥皂液中，拿出框架后就會發現同一結構。這說明這個結構還具有某種最優特征。數學上將肥皂膜形態稱為極小曲面。

制作一個這樣的紙極小曲面結構，過程比前一個結構還簡單。材料都用不到半張A4紙片。

方法與步驟：

1.先照圖7中示意裁好8片紙片，其中6片是有用的，有2片多余。

2.取其中一片紙片折出如圖8中折痕，其中虛線為谷折，點劃線為山折。

3.再制作5片同樣的插件。

4.按圖9的模式裝配起來。

5.適當在插合的地方用些膠水固定，完成。

找到這個結構表明具有凹陷三面角的形態并不孤立，這使我們有了新的期待：是否還有更多的這樣的結構呢？讀者有興趣可以繼續探索下去。4.正十二面體：從制作到理解

正十二面體是一種以正五邊形為面的多面體。這種不尋常的別致多面體數學內涵非常豐富。柏拉圖曾認為我們的宇宙就是正十二面體的。雖然這只是一個美麗的錯誤，但是正十二面體對于普通大眾至今仍充滿神秘色彩。

今天，就讓我們一起和常博士來探索下正十二面體的折法，以及與正十二面體有關的一個四色問題。

（一）制作正十二面體

為了探究正十二面體，我們有必要親手制作一個。顯然，紙模型是最方便的實現方式。

制作正十二面體紙模型的方法很多，這里用組合折紙的方式制作。通過組合拼接而成的結構便于在需要的時候重新調整各面相對位置。

材料：寬度4-5cm的平行長紙帶100cm。

步驟1制作一個正五邊形的紙帶結

用長約8倍寬度的紙帶打個結，輕拉兩端至最緊，壓平（圖2左）。數學上可以嚴格證明這個結是正五邊形。

步驟2 制作插合正十二面體所需的零件

用長約3倍寬度的紙帶折疊一道折痕，使其形成的內角正好符合五邊形紙帶結的頂角（圖2右）。

折疊后的紙帶重疊區域有一個以36°為底角的等腰三角形。現在請將它的兩腰以外的紙帶貼著邊折到背后，然后再把底邊以外的部分剪去（圖3）。endprint

打開重新將兩側翼藏在夾層內，并且讓它們在內部彼此勾起來，壓平。我們得到了一個有108°頂角的等腰三角形（圖4左）。

折疊找到每一腰所對角的角平分線與該腰的交點，將相應銳角折到這個點。可以證明，這兩道折痕與三角形三邊圍成一個正五邊形（圖4右）。

至此我們就完成了第一個插接件。

請再做11個這樣的零件。

步驟3 插合正十二面體

每個三角形插接零件上既有榫頭也有卯眼：兩銳角前端是榫頭，兩腰靠近頂點的縫隙是卯眼。插合時有一定規則，為了保證這個規則不被破壞，我們給每個插接件上標注一些記號。

作標記的規律：在每片插接件的里側左下角標為紅點榫頭，左腰縫隙標為紅點卯眼；相應地，右下角為藍點榫頭，右腰縫隙為藍點卯眼（圖5上左）。

插合時只要保證榫頭插入同色的卯眼（圖5上右），就可以順利完成一個完美的正十二面體（圖5下）。

（二）探究正十二面體的著色

關于地圖的著色有一條著名的定理——四色定理，定理說，任何復雜的地圖都可以用不超過四種的顏色給它涂色來區分相鄰區域。這條定理至今仍然沒有一個簡潔的證法，人類對它的認識停留在計算機給出的大規模分類窮舉證明。

如果將正十二面體的每個面當成地圖上需要區分的一個個區域，則這個特殊的地圖確乎需要四種顏色才可以完成以上的著色要求（為什么）。

那么具體怎么著色呢？我們從正十二面體的平面圖來看。

想象一個用橡皮繩拉出的正十二面體籠狀結構，圖6中五邊形外輪廓正是其中一個撐開的正五邊形洞。換個說法，將籠子的一個五邊形洞拉大到可以攤平到桌面的地步，正十二面體就平面化了。必須要記住，這個最大的正五邊形輪廓也代表一個面。

我們通過給每一個面標記數字來表示涂色。

圖6顯示我們將中心標記為1，輪廓（代表相對的被拉大的洞眼）標記為2。

如圖7，與l號面毗鄰的5個位置選擇任意兩個不相鄰面標記為2，哪兩個并無區別，只要旋轉就可以統一為圖9的樣子。

內圈還有3塊區域，需要另用3，4來標記，其中涂色方法之一如圖8所示。

內圈涂好色后，我們發現外圈中有一塊（圖9中正上方一塊標記為1）是可確定下來的，然后緊接著剩下的4塊也被唯一確定。

我們只是給出了其中一種方案，事實上，在數學上可以證明全部的著色方案只有4種，限于篇幅，在此就不贅述了，留給好奇的讀者去探索吧！

[編者的話]折紙是一門藝術，但并非僅此而已。有了數學方面的幫助，很多中國的傳統文化方面的素材也可以被惟妙惟肖地還原出來，今天，就請常老師給大家介紹一些有趣好玩的素材，千萬不要錯過！

二、文化篇：折出中國的傳統文化1.妙折七巧板 拼擺多邊形

（一）作品簡介

七巧板，早在宋朝就有了。對正方形作如圖l的分割得到七巧板卻是清朝的事了。18世紀七巧板傳到歐洲后，連法國皇帝拿破侖都喜愛把玩。

如圖2，用一張A4紙裁剪成7塊等比例長方形，再折真出一套完整的七巧板令人嘆為觀止，據說該設計來自日本。此外中國人對于七巧板拼凸多邊形問題有重大貢獻。

（二）制作過程

1.三角形折法

a）裁下一塊用來折三角形的模板，按照印刷好的折痕位置和方向預先折好所有折痕，如圖3所示。

b）折出雙三角。

c）將下邊的梯形塞入雙三角的上面三角形口袋中。

d）整理壓平。

e）重復a-d的過程，再做4個大小不一的三角形。

2.正方形折法

a）裁剪下用于折疊正方形的一塊長方形模板紙。

b）按照印刷好的折痕位置和方向預先折出所有的折痕，如圖4所示。

c）折出一個雙正方形的結構。

d）將多余的長方形分別塞入到口袋中。

3.平行四邊形的折法

a）裁剪下用于折疊平行四邊形的一塊長方形模板紙，照印刷好的折痕位置和方向預先折出所有的折痕，如圖5所示。

b）折出一個直角梯形。將圖中右下的三角形內陷形成一個“鳥嘴”，同時將左下的角折好塞入到“鳥嘴”的后面一層壓平。

c）做第二個“鳥嘴”，將剩下的一個鳥嘴結構完成，隨后將剩下的角塞入“鳥嘴”中。整理壓平。

（三）怎么玩

用紙來折疊出七巧板比買一副現成的七巧板多了些“DIY”的樂趣，藏些柔性的薄塑料磁鐵在里面，就能把七巧板掛在冰箱上玩了。如圖6，還可以用蠟筆或水彩筆給七巧板上色，探究一下中國人發明的定理吧：拼出盡可能多的七巧板凸多邊形。

2.編織鏤空紙足球

編織是人類最古老的手工藝之一。最早可以追溯到石器時代，編織花樣繁多，所用原材料也是隨手可得，如藤編、柳編、竹編、棕編、草編、麥稈編等都是著名的手工藝品。

今天的編織鏤空紙足球，也是受圖l編織竹足球的啟發，由常博士來為大家講解其中的編織原理。

（一）作品簡介

可以通過編織的方法用6條紙帶制作出一個鏤空足球，這種足球有12個正五邊形的洞和20個交匯點，在制作時每條紙帶的接口處需要用膠帶粘合連接。

這個作品花邊圖案采用三色正三角形密鋪而成，編織完成后可以通過調整紙帶的相對位置產生對稱的球面圖案，作品數學內涵在于平面材料上三角形轉換到立體球面結構后產生了對稱的花紋，編織過程體現了簡單的扭結理論：環環相扣的六環沒有一個是特殊的，它們完全對稱地交叉編織出立體球面結構。

（二）制作過程

1.裁剪.從材料模板（出自學具《動手動腦 玩轉數學》）上剪下6條紙條備用，如圖3所示。該紙條也可以自己制作，注意長寬比為endprint

：l即可。

2.編織。如圖4，將6條紙帶中任意5條編織成一個五角星。注意重疊地方一律要順著一個方向覆蓋。

3.如圖5，加入第六條紙帶。步驟2結束后應該已經是立體結構，將第六條紙帶先粘合成一個圈，然后將它編織進入五角星的1O個開放端中，注意重疊規律同步驟2。

4.收口。整理好上下重疊關系后依次將五條紙帶的兩端粘合成圈。成品結果如圖2。

（三）怎樣玩

作品可以當擺設陳列于房間中，也可作為玩具球拋擲。如果掌握了編織過程和材料的長寬比，改用塑料或竹篾來制作此足球效果會更佳。

當然，如果你掌握了其中的原理，不妨再想一想，下面的“蟈蟈籠”（如圖6）又是如何制成的呢？

3.榫卯結構與組合折紙

榫卯（sun mao），是古代中國建筑、家具及其他器械的主要結構方式，是在兩個構件上采用凹凸部位相結合的一種連接方式，凸出部分叫榫（或叫榫頭）；凹進部分叫卯（或叫榫眼、榫槽）。榫卯結構十分精巧，現在我們雖然用得少了，但它還是有值得我們借鑒的地方。

（一）

中國古代的能工巧匠可以不用一根釘子就建起一幢屋子甚至宮殿，奧妙就在于榫卯結構的應用。其實，折紙中也可以體現出這種結構的奇妙作用。

我們就來通過折紙制作一個正四面體的框架結構，用榫卯插接方法建成而不靠任何其他連接手段。

準備

為了做基本構件，先取一張A4紙縱橫裁成如下的8條紙條（如圖1）。

取其中一條來作如下折疊：

1.如圖2，對折長邊，再“門”折。

2.如圖3，將單頭的直角整體向上折，與長邊成一個30°角。

3.打開此結構，沉折一個角（如圖4）。

4.蓋上左翼，整體折30°角平分線（如圖5）。

5.另一端同上步驟l，2，3.完成圖如圖6所示。

插合

開頭提到榫卯結構，其實這個基本型中就既有榫也有卯了。榫頭就是那兩個直角，卯孔就是沉下去的口袋。

所以插合的時候自然就是榫頭人卯孔。但是如何保證不掉開呢？那就是靠插合后的“脊線”拱起來而實現，

所謂的“脊線”就是基本型折疊過程中產生的第一道折痕，圖7示意了插合的過程，

拱起的脊線能夠有效增加摩擦力，使得插合變得結實。當三個基本構件兩兩互插之后就形成一個穩定的三腳架結構，如圖8所示。

紙榫卯還可以以其他各種角度銜接。例如圖9實現了正交銜接，每個角都是90°。

折這個結構就需稍加改進一下折法，我們將在（二）中繼續探索。

（二）

前面，我們介紹了折紙圈里的一種組合折法，用到了榫卯的連接思想，使得原本獨立的兩個零件在拐彎的地方連接起來。比如許多多面體的組合折法。本文將繼續介紹還不多見的90°三向插合技術。

先介紹一個零件的制作流程：

1.取A4紙l張如圖10裁開成12條。

2.其中每條按圖11所示來折成零件（注意箭頭的指示）。

3.安裝，按照圖12的示意將12個零件插接成一個正方體。

小貼士：通過先壓平零件背后的筋可使插合更容易，待三零件的頭部都到位后再使棱突起復位。

榫卯紙結構體現了中華古老的技藝在新的領域——折紙上煥發了新的青春。endprint