帶中心孔的階梯-圓錐型超聲變幅桿優化設計

（泰州職業技術學院，泰州 225300）

0 引言

近年來，一些新型的硬脆材料如C/SiC、光學玻璃、藍寶石、人造水晶、高溫合金等在航空航天、汽車、能源等領域得到了越來越多的應用，而這些硬脆材料卻不如傳統材料容易加工，而采用傳統機械加工方法時容易出現纖維絲裂、微裂紋、毛刺等缺陷，且道具磨損嚴重哦國內，效率低。超聲振動加工技術被認為是最適合加工硬脆材料的加工方法之一，將在原有機械加工的刀具上施加超聲振動，與傳統加工相比，具有加工作用力小、加工溫度低、排泄效果好、加工質量與加工效率高等優點[1～7]。

目前，國內外對變幅桿的設計，主要設計方法有解析法、機電等效法、表面彈觀法、有限元法。其中有限元法是目前應用較廣泛的數值分析技術之一，其求解基本思想是將問題的求解區域劃分為一系列單元，各單元之間通過節點連接，由平衡關系或者能量關系建立節點間的方程組，通過邊界條件即可求解，該方法能滿足工程設計要求[8～14]。

本文設計一種高速旋轉超聲振動主軸，而變幅桿作為振動系統的一個重要部件，其結構直接影響高速旋轉超聲主軸的結構。本文基于超聲理論，解析法和有限元法相結合，設計1/4波長，頻率為20kHz，帶中心孔的復合型變幅桿。首先進行變幅桿各部分尺寸理論計算，然后在此基礎上進行有限元分析和優化設計，理論計算與優化設計相結合，指導變幅桿的制造，減少設計周期和設計成本。

1 縱向振動的波動方程

圖1為一變截面桿，其對稱軸為坐標軸x，作用在小體積元（x，x+dx）所限定的區間上的張應力為在對模型做必要的簡化后，根據牛頓定律可以寫出動力學方程[15]。

圖1 變截面棒的縱振示意圖

在簡諧振動情況下，式(1)可以寫為：

對等截面桿：

對圓錐形截面桿：

式中，An，Bn分別為待定常數，α為錐度系數，D2分別為圓錐變幅桿大端、小端的直徑，l為其長度。

2 變幅桿的理論計算

常用的變幅桿有圓錐形、階梯型、指數型等，其中，階梯形變幅桿獲得的放大系數較大，但存在應力集中的不足，圓錐形變幅桿的放大系數較小，但是其共振頻率和放大系數受負載的影響相對較小，因而結合上述兩種變幅桿的特點，設計圓錐階梯復合形變幅桿。為提高變幅桿回轉精度，減小體積，并便于加工制作和安裝，設計圖2所示的1/4波長復合型變幅桿，波長按λ=c/f計算，徑向直徑小于該波長的四分之一，并將變幅桿的節面位置在x=0處。

圖2 變幅桿結構示意圖

為了計算簡便，分別對每個元件建立坐標系，在不考慮工具的影響下，變幅桿一端固定，一端自由，由等截面桿及圓錐界面桿的波動方程式(4)、式(5)、式(7)、式(8)以及函數在臨界面處的連續性，可以得到方程組式(9)。

解方程組(9)可以得到關于l5、l6、l7和l8的等式，其中l6，l7，l8是要進行設計的值。所設計的是1/4波長變幅桿，l6，l7，l8的取值范圍不能超過1/8波長。基于l6，l7的值便可求出相對應的l8的值，利用MATLAB進行求解[16]，結果如表1所示。

從表中數據分析可知，隨著l6的增長，l8逐漸減小，而隨著l7的增長，l8也是逐漸減小的，在兩者變化當中，l7的增長對l8的減小比較明顯，這為后續變幅桿有限元分析和優化設計的有限元模型的建立提供基礎，并且在后續的變幅桿制作過程中，有關頻率的調整、尺寸的調整提供指導。

3 超聲變幅桿的有限元分析

在得到變幅桿的理論尺寸范圍的前提下，可以直接對變幅桿進行優化設計，其有限元分析過程包括模態分析、諧響應分析與優化設計[17,18]。

3.1 超聲變幅桿的模態分析

為了減小尺寸過大，質量過重給整個超聲振動系統帶來的不便，超聲變幅桿尺寸盡可能的小。從表1中任意選取一組變幅桿的數據來進行分析，而在實際中，考慮到變幅桿將通過ER11螺母來連接工具，因此將仿真的幾何模型盡可能逼近實際變幅桿模型，首先選取l6=16mm，l7=26mm，l8=28mm，為了方便變幅桿冷卻，內部設置Ф5㎜通液流道，如圖3所示，這里，l8=l'8+l9，而l5作為一個法蘭盤厚度，取5mm。對變幅桿進行模態分析，得到變幅桿的縱向振動的頻率以及位移分布，如圖4所示。需要說明的問題是，在位移分布中，僅僅表征了位移沿縱向的分布情況。此時頻率為21227Hz，接近所設計的頻率2000Hz，可以作為優化目標進行后續分析，提取該頻率，并設為F，為后續的變幅桿優化設計提供參數。

圖3 變幅桿示意圖

3.2 超聲變幅桿的諧響應分析

變幅桿的諧響應分析的主要是針對變幅桿的固有頻率在外加頻率下的振幅和受力情況。在模態分析結果中，所得到的縱向振動頻率為21227Hz，設置搜索頻率區間為19227Hz～22227Hz，迭代步為10，變幅桿大端加載振幅為5μm的輸入響應，得到變幅桿在有激勵輸入的情況下末端的振幅大小以及變幅桿的應力分布情況，如圖5、圖6所示。

圖4 超聲變幅桿一階縱向振動f=21227Hz

諧響應分析結果中，頻率為19827Hz最靠近設計頻率，更容易發生共振，故查看該頻率下的振幅及應力分布云圖，從圖中可以看出，變幅桿小端處的振幅最大，為59μm，變幅桿截面突變處最大應力為286MPa。選取最大應力為參數Str_max，為后續的變幅桿優化設計提供參數。

圖5 19827Hz振幅分布云圖

圖6 19827Hz應力分布云圖

3.3 超聲變幅桿的優化設計

對所建立的模型分別進行模態分析和諧響應分析后，提取應力函數STRESS_MAX作為優化的狀態變量（SV），以l6、l7和l8為設計變量（DV），而目標函數為頻率函數，作為最優值，其評價指標是越接近20000Hz為最佳，因此，以設計頻率與模態分析頻率F之差的絕對值FREQ為目標函數（OBJ），進行優化設計，其優化結果如表2所示。

最后對優化所得到的長度進行圓整，并進行模態和諧響應分析，其仿真結果頻率為19913Hz，該變幅桿軸向位移分布如圖7所示，沿變幅桿軸向長度變化，振幅逐漸變大，輸出端的位移為75μm。

表2 變幅桿優化結果

圖7 變幅桿軸向位移分布圖

最后根據理論計算結果的復合型變幅桿的各尺寸的分布情況以及變幅桿優化設計的結果進行了變幅桿的制作與調試，結果表明，通過優化設計能夠快速的設計出變幅桿的基本模型，但該基本模型不一定能滿足設計要求，因此，結合理論計算結果，調整變幅桿的各尺寸的大小，能快速的制作出滿足設計要求的變幅桿，最后設計的變幅桿如圖8所示。

圖8 超聲變幅桿實物圖

4 結論

本文進行了高速旋轉超聲主軸中振動系統中變幅桿的開發。基于超聲理論和有限元理論，優化設計了頻率為20kHz，1/4波長復合型變幅桿。首先基于波動方程，進行了變幅桿的理論計算，得到了1/4波長變幅桿的最初幾何模型的范圍以及各尺寸的分布情況，在此基礎上，利用有限元軟件ANSYS對1/4波長變幅桿進行了模態分析，諧響應分析，最后基于以上的分析進行了優化設計，得到了變幅桿優化結果。但由于仿真所設置的參數與實際材料的參數具有一定的偏差以及ANSYS軟件本身存在的誤差，其仿真結果也會與實體頻率有一定偏差，因而將理論分析與有限元分析之結果綜合起來用于指導變幅桿的設計與制作，結果表明，這樣能夠減少變幅桿的設計與制作的時間和成本。

[1]郭景哲,賈寶賢,王冬生,等.微細深孔加工研究進展及關鍵技術分析[J].機械設計與制造,2009(10):257-258.

[2]高霽,曹國強.特種加工微小孔技術及其發展現狀[J].機械設計與制造,2005(7):169-171.

【】【】

[3]鄭書友,馮平法,吳志軍,等.超聲加工技術的發展及其在航空航天制造中的應用潛能[J].航空制造技術,2009(13):51-54.

[4]Ranko Tsuboi, Yasuhiro Kakinuma, Tojiro Aoyam，et al．Ultrasonic Vibration and Cavitation-aided Micromachining of Hard and Brittle Materials[J].Procedia CIRP 1(2012):342-346.

[5]高飛.微細旋轉超聲加工機理及相關技術研究[D].上海:上海交通大學,2013,2.

[6]W.L. Cong，Z.J. Pei,T.W. Deines,et al.Rotary ultrasonic machining of CFRP composites：A study on power consumption[J].Ultrasonics 52(2012):1030-1037.

[7]W.L. Cong,Z.J. Pei,X. Sun,et al.Rotary ultrasonic machining of CFRP:A mechanistic predictive model for cutting force[J].Ultrasonics 54(2014):663-675.

[8]溫平方,顧曉波,吳曉峰.圓錐過渡段階梯形復合變幅桿的模態分析及優化設計[J].現代制造工程,2008(11):111-113.

[9]李彬,李亞,孟鑫,等.超聲變幅桿參數化優化設計研究[J].機械設計與制造,2013(11):60-63.

[10]王慧敏,鮑善惠,江長青.粗細端截面比對階梯變幅桿諧振頻率的影響[J].聲學技術,2004,23(4):242-245.

[11]高潔.復合多段式變幅桿優化設計及聲學特性分析[J].陜西師范大學學報,2006,34(4):44-46.

[12]劉戰峰,李培繁,王天琦.超聲復合變幅桿的設計與研究[J].現代制造工程,2008(2):102-105.

[13]張向慧.旋轉超聲加工振動系統設計及關鍵技術研究[D].北京:北京林業大學,2011.

[14]張云電.超聲加工及其應用[M].北京:國防工業出版社,1995.

[15]林仲茂.超聲變幅桿的原理和設計[M].北京:科學出版社,1987.

[16]陳杰.MATLAB寶典[M].北京:電子工業出版社,2007.

[17]張紅松,胡仁喜,康士延,等.ANSYS12.0有限元分析入門到精通[M].北京:機械工業出版社,2010.

[18]莫喜平.ANSYS軟件在模擬分析聲學換能器中的應用[J].聲學技術,2007,26(6):1279-1290.