考慮圓拱效應的樁孔最大自立深度

黃博杰，曹永紅，華建民，康明

(重慶大學 土木工程學院，重慶 400045)

鉆孔灌注樁以其地層適應能力強、節約鋼材、施工振動噪音小、無需接樁和截樁、對地層擾動小、承載力高等優點而被大量應用于工程項目中[1]，這使得鉆孔灌注樁施工技術可以不通過新鉆具和新工藝的結合，而用旋挖鉆進工藝與全套管跟管鉆進、全套管護壁鉆進等特殊工法和特殊鉆具配套的施工方法，解決了全套管鉆進的成本問題，推動了鉆孔灌注樁施工技術的發展[2-3]。該施工方法通常需要先預鉆孔至一定深度，再下放套管跟進護壁。預鉆孔深度影響工程的進度和成本，預鉆孔深度越大，套管一次性下放深度越大，施工速度越快，施工成本隨之降低，但發生塌孔事故的風險也越大。預鉆孔的深度主要與孔壁的穩定性有關，因此，研究樁孔的穩定性對工程施工具有重要意義。

上述研究大都沒有考慮土體圓拱效應對土體穩定性的有利影響，簡單地基于擋土墻理論或彈性理論提出近似計算方法，作為人工挖孔樁的施工依據還可接受，但作為機械施工的指導依據則顯得過于保守。筆者依據別列札恩采夫提出的松散體極限平衡的軸向對稱理論(簡稱別氏理論)[15]，考慮土體的圓拱效應，并結合擋土墻計算原理，提出一個計算樁孔自立深度的別氏理論簡化模型，結果證明，該公式能很好地滿足別氏公式，并且形式較別氏公式簡潔，更易應用于工程實踐。

1 別氏理論與擋土墻理論的對比

別列札恩采夫[15]基于土體極限平衡理論，發展了空間課題第1種情況的理論，即，對稱于軸線的應力狀態的極限平衡問題(軸向對稱問題)。該理論的土體破壞準則實際上就是Mohr-Coulomb準則，認為土壤平衡狀態的破壞是某一部分土體對另一固定部分土體取移動形式，從微觀角度來理解，則是認為土體處于極限平衡狀態時，某一微面積上土體受剪切應力的絕對值等于其本身的粘結力加上外荷載重和自重所產生的摩擦力。即

|τ|=c+σtanφ

式中：|τ|為剪切應力的絕對值；c為土體的粘著力；φ為土體的內摩擦角；σ為作用在滑動面的的正應力。

由此不難看出，別氏理論和擋土墻理論在本質上是一樣的，只是別氏理論是對空間課題的研究，將樁孔看作一個空心圓柱體的構筑物而并非一堵墻，滑動面是一個環狀空心圓錐面而非平面，考慮了土層向樁孔中心作位移時，其本身相互擠壓作用對土體穩定的有利作用；而擋土墻理論則是對平面課題的研究，不能考慮土體間的相互擠壓，因而無法考慮樁孔半徑對孔壁穩定的影響[16]。

1.1 別氏理論研究的內容

別列札恩采夫在其著作中除了論述空間課題的極限平衡條件、組成微分方程式和制定該方程式的一般解法外，還推導出具有實際應用價值的簡化計算方法，主要包括圓形壓塊的極限壓力(圓形地基承載力)、按照環形面積分布的極限壓力以及筒形地坑墻上的極限壓力[15]。專門針對樁孔穩定性的研究雖然沒有提及，但可以借鑒擋土墻理論，依據墻后主動土壓力的計算方法推導豎直邊坡穩定臨界高度，根據作用在筒形地坑護壁上的別氏理論主動土壓力計算公式推導樁孔最大自立深度。

1.2 別氏理論和擋土墻理論公式

別氏理論對“松散體”概念的定義與擋土墻理論相同，對于土體極限平衡的條件、極限平衡微分方程的求解，別氏理論是將B.B.索科洛夫斯基在解決擋土墻平面問題時所用的方法，用于軸對稱空間問題的求解，方法一致[17]。

筆者不再重復理論推導，直接給出別氏護壁主動土壓力計算式[15]。

(1)

擋土墻主動土壓力計算式為[16]

PD=γHtan2(45°-φ/2)+q·

tan2(45°-φ/2)-2ctan(45°-φ/2)

(2)

式中：PB為土體作用于護壁上的主動土壓力，kPa；PD為土體作用于擋土墻上的主動土壓力，kPa；γ為土容重，kN/m3；φ為土體的內摩擦角，°；c為土體粘聚力，kPa；H為計算截面距離地表的深度，m；q為地表的均布荷載，kN/m2；R0為樁孔掘進半徑，m；Rb為土體滑動線與地面交點的橫坐標值，m，Rb=R0+Htan(45°-φ/2)；λ為簡化系數，λ=2tanφ·tan(45°-φ/2)。

當地表沒有均布荷載或均布荷重很小，式(2)即為

PD=γHtan2(45°-φ/2)-2ctan(45°-φ/2)

(3)

當PD≤0時，說明土體處于穩定狀態，無需支護，可得豎直邊坡的臨界高度為

(4)

同理，可令PB=0，根據式(5)求樁孔最大自立深度。

(5)

近年來，別氏理論一直未能被真正應用于實踐[18]，主要原因包括[17]：1)公式應用者未認清該理論的實質，片面地認為根據該公式能夠得到一個普遍結論：在表層土的一定深度下，地壓隨著深度增加不變；2)推薦者往往把這個理論和擋土墻理論絕對地對立起來，看不到在一定條件下這兩個理論會引出近似的結果；3)該理論的公式形式過于復雜，給計算帶來很大不便，推薦者通常將其作為一個理論流派進行簡單介紹，沒有對其進行深入分析，極大影響了在實際工程中的應用。

對于空間軸對稱問題，別氏理論解釋的現象比擋土墻公式更接近于實際，應將其應用于實際計算中。因此，對別氏理論深入分析，提出一個近似求解別氏理論的簡化計算式很有必要。

2 簡化計算模型

2.1 別氏理論解分析

根據別氏理論公式(5)，最大自立深度是一個隱式解，而非顯式解，形式比較復雜，對于該方法的應用造成了困難，筆者利用數值計算二分法計算出部分不同直徑、不同土質下的樁孔最大自立深度(如表1所示)。

由表1可知，對于同一土質而言，樁孔半徑R0越大，別氏理論所求得的樁孔最大自立深度HB越小，但是R0與HB并不成嚴格的反比例關系；在同一樁徑下，土質越好，HB/HD越大，說明影響樁孔圓拱效應的除了樁孔半徑R0外，還有土體的粘聚力c和內摩擦角φ，但粘聚力c和內摩擦角φ與HB/HD并不成嚴格的正比例關系；還可以發現，當R0→∞時，HB/HD→1，此時,別氏理論解與擋土墻理論解相一致，當掘進半徑R0→∞時，問題則變成了平面課題，理所應當與擋土墻理論符合，這也證明了別氏理論的合理性。

表1 別氏理論與擋土墻理論計算值對比Table 1 Comparison of the theoretical value of the theory of retaining wall and В. Г.

注：HB為利用二分法計算出的別氏理論樁孔最大自立深度，m。

2.2 簡化公式的提出

根據以上分析結果，提出一個近似求解樁孔最大自立穩定深度的簡化計算模型。

(6)

式中：a、b、m為待定系數。

利用MATLAB數值分析軟件，跟據表1中的數據運用非線性回歸法初步確定了式(6)中的待定系數a、b、m，按照在保證足夠精確的條件下公式相對別氏公式趨于保守的原則對系數進行一定調整，并與更多數據進行對比驗證，最終提出樁孔最大自立穩定深度計算簡化式，見式(7)。

(7)

式中：Hmax為樁孔最大自立穩定深度；k為一個與土質有關的系數，粘土取1.0，亞粘土取0.9，亞砂土取0.8。

當土層上部有均布荷載q時，將均布荷載轉化為土體厚度HQ=q/γ，利用Hmax-HQ來近似計算土層上部有均布荷載時樁孔最大自立穩定深度。

由別氏理論推導過程可知，式(7)只適用于土體頂部樁周Rb范圍內無荷載、有可忽略的荷載或者有沿樁孔徑向均布荷載的情況；距樁軸線一側Rb范圍內有不可忽略的荷載時，可利用擋土墻理論公式近似計算，計算結果相對偏于安全。

3 公式分析與對比

3.1 簡化公式的分析

由簡化式(7)不難看出，該式能夠直觀地反映各土體性質對樁孔最大自立穩定深度Hmax的影響。樁孔最大自立穩定深度Hmax與土體重度γ成反比關系，這與直觀認識相符；隨著土體粘聚力c和內摩擦φ的增大，Hmax也隨之增大，但不成嚴格的正比例關系，并且土體粘聚力c的影響遠大于內摩擦φ值得影響，這與別氏理論解體現出的規律類似；對于砂性土，粘聚力c=0，其最大自立穩定深度Hmax恒等于0，這也說明，砂性土孔壁總不穩定，在沒有任何護壁措施下，干成孔無法進行，這與沙土坡穩定性分析結論也一致；再者，無論土體粘聚力c和內摩擦φ取值如何，當土體掘進半徑R0→∞時，Hmax→HD，這也體現了簡化公式的合理性；將與土質類別有關的系數k轉化為k·(0.9c+0.1φ)/10R0的分母，粘土為(0.9c+0.1φ)/10R0，亞粘土為(0.9c+0.1φ)/11.1R0，亞砂土為(0.9c+0.1φ)/12.5R0。因此，系數k可理解為掘進半徑R0對不同類別土質的最大自立穩定深度的影響不同，這與王云崗等[19]對鉆孔灌注樁孔壁穩定性的結論一致。

根據以上分析，從定性的角度來看，提出的簡化式(7)是合理的。

3.2 簡化公式與別氏公式的對比

對同一種土質而言，通常φ值也會隨著c的增大而增大，根據別列札恩采夫對土體粘聚力和內摩擦的理解，土體粘聚力和內摩擦角是土體的力學特征，不能看作是土體抗剪強度的獨立形式，因此，通過在其他參數一定的前提下研究c值或φ值單獨的變化來判斷公式的實用性沒有多大意義。筆者根據朱松耆[17]推薦的粘土類土計算數值(見表2)對簡化公式和別氏公式進行比較。

表2 粘土類土的計算數值Table 2 The calculated values of clayey soil

注：γ為土的容重，kN/m3；φ為內摩擦角，°；c為粘聚力,kPa。

分別對粘土、亞粘土和亞砂土在不同力學參數下不同孔徑的HB/Hmax值(共153組數據)進行分析(如圖1～圖3所示)，以對比簡化公式與別氏理論解的相似程度。

圖1 6類粘土不同掘進半徑下的HB/Hmax散點圖Fig. 1 Scatter plots of HB/Hmax under six types of clay and different excavation radius

圖2 6類亞粘土不同掘進半徑下的HB/Hmax散點圖Fig. 2 Scatter plots of HB/Hmax under six types of sub clay and different excavation radius

圖3 5類亞砂土不同掘進半徑下的HB/Hmax散點圖Fig. 3 Scatter plots of HB/Hmax under five types of sandy loam and different excavation radiu

由圖1可知，在這54個數據中，只有粘土1在R0≤1.2 m時的5個數據采用簡化公式計算的誤差超過10%，即超過90%的數據利用簡化公式計算誤差在10%以內，說明簡化公式能夠較好地近似計算別氏理論解。

由圖2可知，所有計算值均滿足Hmax≤HB，超過90%的數據利用簡化公式計算誤差在20%以內，說明簡化公式在計算亞粘土自立深度時能夠在更保守的前提下較好地近似計算別氏理論解。

由圖3可知，超過95%的數據利用簡化公式計算誤差在20%以內，近85%的數據計算誤差在10%以內，說明簡化公式在計算亞砂土自立深度時能夠較好地近似計算別氏理論解。

圖1、圖2、圖3都呈現出相同的規律：隨著土體掘進半徑的增大，簡化公式解與別氏理論解越接近；土質越好，簡化公式解相對越保守，考慮到土質越好，HB越大，Rb也越大(幾十甚至上百米)，在實際工程中很難保證在孔徑Rb范圍內都無不可忽略的荷載，因此，利用簡化公式更為保守，更為合理。至于少部分Hmax>HB的情況，均出現在樁孔最大自立深度不大的情況，在實際應用中考慮安全系數完全能夠保證實用性。

綜上所述，簡化式(7)能夠在偏保守的條件下較為精確地近似代替別氏理論在各類粘土類土及常用孔徑下的孔壁最大自立深度解，從定性和定量的角度來看都是合理的。

4 結論

1)別氏理論解考慮了土層向樁孔中心作位移時其本身相互擠壓作用，能夠考慮土體挖掘半徑(即圓拱效應)的影響，一定條件下(如R0→∞)別氏理論和擋土墻理論會引出近似的結果。對于空間軸對稱問題，別氏理論解釋的現象比擋土墻公式更接近于實際，應將其應用于實際計算中。

2)通過對別氏理論解的分析，針對別氏理論公式形式復雜，工程應用困難的問題，提出了計算樁孔最大自立深度的簡化計算公式。

3)根據別氏理論與簡化公式的對比分析發現，簡化公式近似計算別氏理論解可行、有效、優勢明顯。為別氏理論在實際工程中的應用提供了新思路和方法。

[1] 肖勇杰,許萬強,陳福全. 全套管大直徑振動取土灌注樁施工新技術[J].施工技術,2015, 44(1): 61-64.

XIAO Y J, XU W Q, CHEN F Q. A new construction technology of large diameter cast-in-place piles with sleeves driven by vibratory hammers [J]. Construction Technology, 2015, 44(1): 61-64. (in Chinese)

[2] 劉家榮. 無循環鉆進工藝在易坍塌、縮孔和卵礫石地層的應用[J].地質與勘探,2010, 46(5):960-966.

LIU J R. Application of no-circulation drilling technology to collapse prone, shrinkable and gravel strata [J]. Geology and Exploration, 2010, 46(5): 960-966. (in Chinese)

[3] LONG Z Y, GUI L G. Current situation and development for China's 1000 m deep shaft sinking [J]. Tunnels & Tunnelling International, 2012,69(6):72-74.

[4] 崔強,何西偉,曹丹京,等. 輸電線路掏挖基礎機械成孔過程中孔壁土體穩定性分析[J]. 冰川凍土,2016, 38(4): 922-928.

CUI Q, HE X W, CAO D J, et al. Stability analysis of borehole wall of digged foundation of transmission line during mechanized drilling [J]. Journal of Glaciology and Geocryology, 2016, 38(4): 922-928. (in Chinese)

[5] DUAN Z D, DUAN Y P, YAN P W. Influencing factors analysis of stability of hole wall of bored pile in seasonal frozen ground in the west of China [J]. Applied Mechanics and Materials, 2013, 256-259: 441-444.

[6] JAMSHIDI E, AMANI M. Numerical wellbore stability analysis using discrete element models [J]. Petroleum Science and Technology, 2014, 32(8): 974-982.

[7] 王中文. 鉆孔灌注樁孔壁穩定性的影響因素研究[J]. 公路交通科技, 2011, 28(1): 86-90.

WANG Z W. Research of factors affecting stabilization of hole wall of bored pile [J]. Journal of Highway and Transportation Research and Development, 2011, 28(1): 86-90. (in Chinese)

[8] WESTERGARD H M. Plastic state of stress around a deep well [J]. Boston Society of Civil Engineers, 1940, 27: 1-5.

[9] AADNOY B S, CHENEVERT M E. Stability of highly inclined boreholes [J]. SPE Drilling Engineering, 1987, 2(4): 364-374.

[10] 龔輝,趙春風. 基于統一強度理論樁孔穩定性分析[J].沈陽建筑大學學報(自然科學版),2011, 27(2): 237-241.

GONG H, ZHAO C F. Stability analysis of borehole based on unified strength theory [J]. Journal of Shenyang Jianzhu University (Natural Science), 2011, 27(2): 237-241. (in Chinese)

[11] 徐栓強,侯衛. 考慮巖體中間主應力效應的豎井穩定性分析[J].地下空間與工程學報,2007, 3(6): 1168-1170.

XU S Q, HOU W. Analysis on stability of a shaft with considering the effect of intermediate principal stress of rock mass [J].Chinese Journal of Underground Space and Engineering, 2007, 3(6): 1168-1170. (in Chinese)

[12] 李林,李鏡培,岳著文,等. 飽和黏土中鉆孔灌注樁孔壁穩定性力學機制研究[J]. 巖土力學,2016, 37(9): 2496-2504.

LI L, LI J P, YUE Z W, et al. Mechanical mechanism of hole-wall stability of bored pile in saturated clay [J]. Rock and Soil Mechanics, 2016, 37(9): 2496-2504. (in Chinese)

[13] 李小青,烏效鳴. 鉆孔灌注樁孔壁穩定性分析[J].地質與勘探,2001, 37(2): 74-76.

LI X Q, WU X M. Discussed and analyzed the stability of wall of bored pile [J]. Geology and Exploration, 2001, 37(2): 74-76. (in Chinese)

[14] 曾二賢,馮衡,胡星,等. 輸電線路掏挖基礎的孔壁穩定性分析及判別[J].電力建設,2010, 31(8): 17-20.

ZENG E X, FENG H, HU X, et al. Stability analysis on the undercut foundation walls for transmission towers [J]. Electric Power Construction, 2010, 31(8): 17-20. (in Chinese)

[15] В·Г· 別列札恩采夫. 松散體(土壤) 極限平衡的軸向對稱問題[M].謝宗梁,黃貽吉.譯.北京:建筑工程部出版社,1956.

В. Г. Березанцев. Axial symmetry problem of limit equilibrium of loose soil [M]. XIE Z L, HUANG Y J. Translated. Beijing: Construction Engineering Press, 1956. (in Chinese)

[16] 李廣信,張丙印,于玉貞. 土力學[M]. 2版. 北京:清華大學出版社,2013.

LI G X, ZHANG B Y, YU Y Z. Soil Mechanics [M]. Second Edition. Beijing: Tsinghua University Press, 2013. (in Chinese)

[17] 朱松耆. 表土層中圓形豎井地壓的計算[J].有色金屬(采礦部分),1974(5): 13-19.

ZHU S Q. The calculation of circular vertical shaft earth pressure of surface soil layer [J]. Nonferrous Metals (Mining Section), 1974(5): 13-19. (in Chinese)

[18] 崔廣心. 深厚表土中豎井井壁的外載[J].巖土工程學報,2003, 25(3): 294-298.

CUI G X. Loading of shaft lining for deep alluvium [J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2003, 25(3): 294-298. (in Chinese)

[19] 王云崗,章光,胡琦. 鉆孔灌注樁孔壁穩定性分析[J]. 巖石力學與工程學報,2011, 30(Sup1): 3281-3287.

WANG Y G, ZHANG G, HU Q. Analysis of stability of bored pile hole-wall [J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2011, 30(Sup1): 3281-3287. (in Chinese)