一類非自治具有垂直和接觸傳染的傳染病模型正周期解

2018-03-15 11:09:06許淑嫻

武夷學院學報 2018年12期

鄭航，許淑嫻，蘭玲

（1.武夷學院數學與計算機學院，福建武夷山 354300;2.武夷學院機電工程學院，福建武夷山 354300）

近年來，傳染病模型是生物數學領域研究的熱點之一目前已有許多工作關于傳染病模型[1-5].而傳染可分為垂直傳染和接觸（水平）傳染，Michael、Fine、Busenberg和Cook[6-9]等研究了垂直傳染流行病模型，分析了其模型的穩定性等動力學行為.之后，孟新柱和陳蘭蓀[10]，劉開源等[11]都提出在垂直傳染模型中考慮脈沖和時滯因素，更加符合實際情況.另一方面，韓麗濤[12]討論了兩種群相互競爭的SIRS傳染病模型的穩定性.付景超等[13]研究了具垂直傳染和連續預防接種的SIRS傳染病模型，并分析了其穩定性.傅金波和陳蘭蓀[14]提出一類垂直傳染和接觸傳染的傳染病模型，通過構造適當的Lyapunov函數來研究模型的全局穩定性條件.然而在現實環境中，很多因素是隨時間發生周期性的變化，模型的系數應該是隨時間變化的.因此有必要研究非自治情況，但目前非自治傳染病模型的正周期解研究較少.夏米西努爾和騰志東[15]研究了一類非自治SIRS傳染病模型的持久性，韓怡茹和吳事良[16]構造Lyapunov函數得出一類非自治SIRS傳染病模型的全局穩定性，并應用比較原理獲得模型的持久性的充分條件.陳文斌[17]應用重合度理論討論了一類具有時滯的非自治SIR傳染病模型周期解存在性的充分條件.因此受傅[14]和陳[17]的啟發，本文考慮參考文[14]中的模型，將其改進為非自治新系統，研究一類非自治具有垂直和接觸傳染的傳染病模型，模型如下：

其中 N（t）為 t時刻生物種群的總數，I（t）表示為 t時刻該種群的染病類.其他參數的生物學意義見表1.

表1 參數表Table 1 Parameters

并假設所有參數均為具有w＞0周期的正數，且初值 N（0）＞0，I（0）＞0.

1 正周期解

本文應用重合度理論中的Mawhin連續定理來證明系統（1）周期解的存在性。并記一個連續周期函數f（x）周期為 w，引入下列記號：

引理1.1（Mawhin連續定理[17]）：設?X是一個有界開集，L：Dom L?X→Y是一個指標為零的Fred-holm算子，N：X→Z為上的L-緊的，假設：

（A1）對?λ∈（0，1），Lx=λNx 的任意解滿足 x??Ω；

（A2）對?x∈Ω∩ker L，QNx≠0，且 deg｛JQN,Ω∩ker L｝≠0；

定理1.2如果系統（1）滿足以下三個條件：

則系統（1）至少存在一個周期解.

記：

則容易證得X和Y都是Banach空間.

又定義 L：Dom l?X→Y

N：X→Z，進而得：

又令

則有

故lm L是Y中的閉子集，又由于dim ker L=codim lm L=2＜+∞，故L是指標為零的Fred-holm算子，定義連續投影算子P,Q且滿足：lm P=ker L，lm L=ker Q=lm（I-Q），因此 L 存在逆映射 Kp：lm L→Dom L∩ker P，具體為：

從而得：

由Lebesgue收斂定理，易知QN與Kp（1-Q）N是連續的.再根據Arzela-Ascoli定理，對于X中的任意有界開集 Ω，QN（）和 Kp（1-Q）N（）是相對緊的.故N為的L-緊算子.對應的算子方程Lx=Nx，λ∈（0，1）有：

對（3）系統兩邊在[0，w]上積分得：

因此由（4），（5）得：

由（5）第一個方程和（7）得：

故有

再由（6），所以

同理，由（5）第一個方程和（8）得：

進而得

不同濃度 L-阿拉伯糖對秀麗隱桿線蟲子代數目的影響結果如圖 3所示，當 L-阿拉伯糖濃度為 2.5 mmol/L時，子代數目最多，相對于對照組增加了1.43%；但隨著 L-阿拉伯糖濃度的增加，秀麗隱桿線蟲的子代數目沒有顯著性的增加或減少（p＜0.05，p＜0.01），維持在一個較為穩定的水平，表明在現有濃度作用下，L-阿拉伯糖對秀麗隱桿線蟲子代數目無顯著影響。