索末菲量子化條件及其在周期性運動中的應用

韓易龍

摘 要：氫原子問題和黑體輻射能譜問題催生了上個世紀舊量子論的發展[1]，至索末菲提出量子化條件，所有的周期性運動均在舊量子論的體系下得到初步解釋，但結果時好時壞。本論文試圖總結索末菲量子化條件應用到氫原子問題，諧振子問題，勢阱問題中的結果，并對結果做出探討和解釋。這為理解和使用索末菲量子化條件以及舊量子論的有效性和局限性提供基礎。

關鍵詞：索末菲量子化條件；周期性運動；氫原子；光譜；勢阱

中圖分類號：G807 文獻標識碼：A 文章編號：1671-2064（2018）03-0228-01

索末菲量子化條件（以下簡稱索條件）∮pdq=（n+D）h[2]從提出到完善至今已有百年左右，其在氫原子問題中的應用廣為人知，在諧振子問題，方勢阱問題等問題中的應用尚未引起足夠的關注，對索條件的正確性與適用性及其在一般性周期性運動中的應用的探討不夠深入。本文將針對幾個具體的物理問題利用索條件求解其能級，并對索條件在一般性周期性運動中的應用進行抽象和總結。

1 氫原子問題

按經典電磁學理論，氫原子中的電子最終因變加速運動向外輻射電磁波而墜落到原子核，這是氫原子的穩定性問題。氫原子光譜問題是指，實驗上測到氫原子的吸收譜有很多獨立的吸收峰。這兩個問題最初無法得到很好的解釋。本文將利用索條件對氫原子電子繞核周期性運動進行量子化，從而解決氫原子問題。

將索條件應用到氫原子問題中（取常數D為0）：

結合氫原子中靜電吸引提供向心力，可得到ke2=mernvn2。

因此軌道半徑為rn=，進而可以得到氫原子的能級：

這些結果對應著波爾三條假設的定態假設，也即電子位于特定軌道上，由于存在能量最低的軌道（n=1），所以氫原子是穩定的。根據波爾的躍遷假設，電子從n躍遷到m（n

同時我們可以驗證波爾的對應原理，可以使用上述結果驗證當n很大時，相鄰能級之間的躍遷頻率和電子軌道的運動頻率一致。另一方面，經典電磁理論預言輻射電磁波頻率和電子運動頻率相同。這說明在n很大時，量子力學的結果趨向于經典運動的結果。還可以做一個有趣的類比，將上述結果應用于天體運動中（只需要做替換ke2 GMm），但此結果物理意義不大。

2 諧振子問題和分子光譜

不同于原子光譜，分子光譜在近紅外波段也有吸收峰，這些吸收峰實際上來源于分子的振動能級[3]。以CO為例，碳氧間的相互作用可等效為諧振子勢V=mω2x2，原子間相對運動是周期性簡諧運動。運用索條件對該運動進行量子化：

得到軌道An=和能級 。當然，索條件無法指出常數D的值，根據薛定諤方程的結果，取D=即為正確的諧振子能級。

依據上述結果結合原子質量和原子間相互作用強度可估算振動頻率在10-13s-1附近，對應波長10μm左右，屬近紅外波段，和實驗結果在數量級上吻合。

諧振子勢應用十分廣泛，原則上在平衡點附近的小振動基本可以利用諧振子勢描述其運動，尤其值得指出，電子在磁場中的圓周運動也可轉化為諧振子問題，最終得到朗道能級。但如果利用索條件對該運動量子化，得出的能級結果和朗道能級相差一個系數，這說明索條件具有一定的局限性。

3 勢阱問題

勢阱問題在物理學中也十分常見，金屬中的自由電子，封閉空間內部的理想氣體所受到的勢都可以模擬成無限深勢阱。在這里我們利用索條件對一維無限深方勢阱（V（x）=0，0a）中的周期性運動進行量子化，∮pdq=2mvna=（n+D）h，得到能級（取D=0）。

這是單粒子的能級結果，考慮宏觀系統中約有1023個粒子，原則上可以利用能量加和的辦法（忽略粒子間相互作用）得到整個系統的能級。結合統計力學的方法，可以得到系統（包括自由電子氣，理想氣體，光子氣體）的熱力學性質。

一維勢阱問題原則上都可以利用索條件進行量子化。考慮一個有趣的物理情形，自由落體的彈性小球撞擊地面后反彈，其勢能曲線為V（x）=mgx，x>0；V（x）=+∞，x<0。依據索條件我們計算軌道和能級：

∮pdq=（n+D）h=2，

能級為En=mgHn=。

4 一般性周期性運動

原則上，索條件可以運用于任意周期性運動。對于一般的一維勢，我們可以利用相空間和相曲線的概念簡化我們的求解過程。能量守恒要求運動過程中是一個定值，因此在（q，p）形成的二維相空間中，能量的等高線給出了運動的相曲線E（q，p）=E。周期性運動對應的相曲線是閉合的，索條件中積分∮pdq的含義是相曲線在相空間中的內部面積，另一方面，每一條相曲線和能量一一對應，因此，索條件實際上是挑選出來一系列符合該條件的相曲線和相應能級。對于二維甚至高維周期性運動，如果通過一定的方法將之分解為多個自由度上的一維周期性運動，即可利用以上討論的方法量子化該運動，如果運動不能分解，我們可以回到先求解運動軌跡再量子化的方法。

周期性運動對應的軌道是閉合的，這意味著運動狀態屬于束縛態，利用索條件求解的結果為束縛態能級。針對非束縛態，索條件中的積分一般是發散的，同時運動也是非周期的，這意味著非束縛態的能級是連續的，而不像束縛態情況下求解出來的分立的能級。

5 結語

本文討論了索條件在各種周期性運動中應用的結果，并對一般周期性運動的求解過程進行了討論。可以看出利用索條件對周期性運動進行量子化，過程簡單，結果通常不錯，但是也有一定的局限性。一是索條件沒有辦法給出常數D的取值，二是索條件在某些情況下（如電子在磁場中的圓周運動）給出來的結果會和正確結果相差一個系數因子。這些優點和不足提醒我們在使用索條件時要謹慎小心。

參考文獻

[1]劉乃湯.量子力學的歷史回顧[J].物理通報，1999，09：44-45.

[2]朗道.量子力學（非相對論理論）[M].北京：高等教育出版社，2011：157-162.

[3]褚圣麟.原子物理學[M].北京：高等教育出版社，1979：256-259.