數學教學中基于最近發展區的目標構造教學法實踐

吳志鵬

摘 要：目標構造教學法的三階段分別為目標形成的最近發展、目標的尋求與構造、目標的實現.教學時教師應明確學生的現有發展水平，在此基礎上不斷地以新的目標為引導，構造使目標得以實現的方法，自然生成.

關鍵詞：最近發展區；水平；目標； 構造；生成

維果茨基的最近發展區理論告訴我們，教學必須著眼于學生的最近發展區，立足于學生的學習實際即最近發展水平，這樣才能有效地超越最近發展區，達到下一個發展區[1].因此教學時應明確學生的現有發展水平，在此基礎上不斷以新的目標為引導，構造使目標得以實現的方法，自然生成.本文以《 簡單的三角恒等變換（一）》一課教學為例，闡述基于最近發展區目標構造教學法的教學三階段，即“目標形成的最近發展區—目標的尋求與構造—目標的實現”是如何得以執行并實現的.

一、教學過程設計

引入：寫出二倍角公式，哪個公式最精彩？（預設：余弦的二倍角公式，因其公式有三種表示方法）

[sin2α=2sinαcosα]

[cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α]

[tan2α=2tanα1-tan2α]

設計意圖：復習舊知識，從熟悉的知識背景入手，引出要探究、解決的新問題，直指目標，同時檢測學生完成目標要達到的最近發展水平，即是否熟練掌握余弦的二倍角公式.

例1：試以[cosα]表示[sin2α2][，][ cos2α2，][tan2α2].

問題1：觀察余弦的二倍角公式[cos2α=2cos2α-1]，角是怎樣變化的？（預設：倍角[2α]用單角[α]表示，是常見的角的轉化思路）

問題2：倍角[2α]與單角[α]是一個什么樣的概念，你能再舉例說明嗎？那么半角[α2]是否也能用單角[α]表示 ？又如何表示？同樣，從余弦二倍角的另一個公式[cos2α=1-2sin2α]，你又能獲得哪些結論？

設計意圖：以目標為指引，利用已有余弦的二倍角公式，構造出半角[α2]與單角[α]的關系式，即[cosα=2cos2α2-1]，變形得：[cos2α2=1+cosα2]，實現半角[α2]用單角[α]表示，自然生成教材中的半角公式，并且實現降次，也稱為降次公式.同樣可得：[sin2α2=1-cosα2]，也自然生成例1的結論.

例2：（1）求證[sinαcosβ=12sinα+β+sinα-β].

設計意圖：通過證明判斷學生的最近發展區水平，從等式的右邊入手證明，即判斷學生是否懂得兩角和與差的正、余弦展開公式.（大部分學生能完成證明任務，說明大部分的學生能達到目標所需最近發展區水平）

教學小實驗：讓學生觀察上述等式（不說明干什么）半分鐘，讓幾個同學上臺，同時，教師擦去等式的右邊，讓上臺的學生寫出[sinα·cosβ]公式.（上臺5個學生只有2個學生寫對）

設計意圖：從學生的板演，判斷學生的知識掌握情況、內化情況，思維是否突破達到下一個發展區，判斷學生對知識是否短時記憶、機械識記，還是理解性的識記.

問題3：如何寫出[sinα·cosβ]的公式？（教師引導）

①[sinα·cosβ]藏在你學過的哪些公式中，請盡量寫下來，并排列整齊.

②觀察你所寫下來的公式，你能找到實現目標的方案嗎？動手做一做.

③想一想，你還能得到哪些“附屬物”？

設計意圖：通過問題的設計讓學生知道目標的構造“源泉”，學會用所學公式去構造目標，解決問題，同時能用所學的方法，去構造新的目標，學以致用.

解析：

[sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ，]

[sinα-β=sinαcosβ-cosαsinβ，]

上述兩式相加得：[sinαcosβ=12sinα+β+sinα-β].

同樣，學生可類比獲得[cosαsinβ]，[sinα sinβ]，[cosαcosβ]等在教材的練習中出現的六個關于積化和差、和差化積的公式（附屬物）.

（2）證明：[sinθ+sinφ=2sinθ+φ2cosθ-φ2].

設計意圖：走進構造法的大觀園，讓學生通過已有的構造經驗，以目標為導向去創造、去構造，以獲得構造的方法，體驗構造帶給人一種創造性的快樂，從而達到解決新問題的目標.

法一：第（2）小題的結構與第（1）小題相仿，為了構造出與目標結構一樣的式子，則只需令[α+β=θ，α-β=φ]，則將[α=θ+φ2，β=θ-φ2]代入（1）式即得[sinθ+sinφ=2sinθ+φ2cosθ-φ2.]（同法構造）

法二：從等式的右邊出發，由[sinθ+φ2cosθ-φ2]存在于[sin（θ+φ2+θ-φ2）]和[sin（θ+φ2-θ-φ2）]的展開公式中，再將兩個公式相加可得結論.（根據上題思維的“源”，類比構造）

法三：從等式的左邊出發，要證的角[θ，φ]，而目標的角為[θ±φ2]，用目標的角構造出所求的角，則有[θ=θ+φ2+θ-φ2，φ=θ+φ2-θ-φ2]，則有[sinθ+sinφ=sin（θ+φ2+θ-φ2）+sin（θ+φ2-θ-φ2）=]

[2sinθ+φ2cosθ-φ2].（對比構造，思維發展，有一定的創造性）

例3：求函數[y=sinx+3cosx]的周期，最大值和最小值.

設計意圖：考查學生求三角函數性質所需要的函數解析式[y=Asin（x+φ）]是否能由兩角和與差的正、余弦公式逆用獲得，最近發展水平是否能達成新目標的取得與突破.

解析：求函數[y=sinx+3cosx]的周期，最大值和最小值，即為求三角函數的性質，可轉化為[y=sinx+3cosx=][212sinx+32cosx=2sinx+π3]，再求其性質，即所求的周期[T=2πω=2π]，最大值為2，最小值為[-2].（大部分學生可轉化求解）

問題4：將上述函數中的系數一般化可得[y=asinx+bcosx]，又如何將它化為標準形式[y=Asin（x+φ）]求性質呢？動手將[y=Asin（x+φ）]展開，再與[y=asinx+bcosx]進行比較，說說你的發現？

設計意圖：通過比較[y=asinx+bcosx]與[y=Asin（x+φ）]式子的結構特征，尋找兩種形式的內在聯系，化解問題的難點，構造目標并求出系數A，進而轉化為三角函數的標準形式求性質.

解析：

[y=Asin（x+φ）=A（sinxcosφ+cosxsinφ）]對比[y=asinx+bcosx]可知[a=Acosφ，][b=Asinφ，]而[cos2φ+sin2φ=1]，則有[（aA）2+（bA）2=1]，得[A=a2+b2且aa2+b2=cosφ，ba2+b2=sinφ，]即得函數[y=asinx+bcosx]=[a2+b2]（[aa2+b2sinx+ba2+b2cosx]），

則有[y=asinx+bcosx]=[a2+b2]（[sinxcosφ+cosxsinφ]）=[a2+b2][sin（x+φ）]，其中[aa2+b2=cosφ，ba2+b2=sinφ.]

二、教學效果及反思

本教學法適用于數學概念的形成或性質、公式等的形成，是一種建構、建模課型，它是以目標達到所需的最近發展區為基礎，尋找目標所需的材料（如公式、等價關系、表達式等）為支架，構建實現目標的一種教學方法，因此授課時要有明確的教學目標，要有達成目標所需的知識儲備即最近發展區知識作為支撐，教學的第一階段可通過提問、練習、板演等進行簡單的測評，看看所學目標的最近發展區知識是否達標，若沒達標，則需進行補充或鞏固，否則要想對下一個發展區進行突破就成了“無源之水”和“無本之木”；第二階段為尋找和目標相關的一些知識，用來構造目標，此時應以觀察為先導，分析為武器，仔細觀察、分析，去發現式與式、數與式、數與數以及問題的各個環節之間的聯系、找出“已知”（條件）和“所求（證）”（目標）之間的聯系紐帶，為構建目標創造條件；有了前面兩個階段的儲備，第三階段目標的生成也就“水到渠成”.

本節課教學對學生學習思維（特別是構造性思維）的開啟當屬比較成功，教學中教師在三個例題中分別用了“公式中用單角表示倍角，通過二倍角公式，你能用半角表示單角嗎？”學生學會了類比構造目標的思維方法；“你知道[sinα cosβ]藏在你學過的哪些公式中？”讓學生知道構造思維的“源”，并學會“思”；“比較[y=asinx+bcosx]與[y=Asin（x+φ）]式子的結構，找一找，有什么發現？”學生學會比較構造的思維方法.此類型的教學法是讓學生構造思維開啟建立在最近發展區的水平上，思維、語言的稚化，則是引導思維突破進入下一個發展區水平的關鍵，為什么有的教師平時上課時會有許多學生反映，上課聽得懂，但自己一動手就不會，其原因之一就在于教師的授課不自然，思維的起點較高，沒有稚化，無法建立在學生的現有發展區上，未能遵循其原則[2].如例3，很多教師在授課時直接把輔助角公式給學生或是先提取系數[a2+b2]，再進行說明為什么要這樣提取，類似違背最近發展區原則的情況也是常見的，因而導致學生在沒教師指導下就不會做題目，而本類課型能夠很好地克服教學中的一些缺陷，教學生怎樣去“思”，從哪里去捕獲思的“源”，讓學生知其然，還知其所以然；從學生例2第（1）小題中構造出來的一些附屬公式以及例2第（2）小題的分析與解答，也能明顯地感知學生構造思維的突破和學習成就感的提升，并能順利地達到下一個發展區水平.

總之，一種教學法的應用要通過不斷地實踐與思考，在實踐中前行，在總結、反思中發展，筆者通過一階段的教學實踐，欣喜地發現學生的思維有了很好的發展，認為此類教學法是可行的、有益的，提出來與讀者分享.

參考文獻：

[1]栗彩霞，宋瑞，王雙兵.基于模型思想的教學實踐與反思——以“任意角三角函數”一課為例[J].中國數學教育（高中版），2016（3）：24.

[2]胡安林.例談稚化思維的教學策略[J].中學數學教學參考（上旬），2016（1/2）：38.