國際中學概率教與學的研究進展與教學啟示

鞏子坤 滕林林 陳冬冬 殷文娣

摘 要：第13屆國際數學教育大會（ICME-13）把概率教與學作為重要議題之一.從ICME-13的文獻與報告中可以發現，高中教師對事件獨立性的理解存在一定誤區；初中學生對隨機概念和樣本空間等知識的理解還不夠透徹；大多數高中學生喜歡借助樹狀圖和列表來解題.因此，教師必須不斷學習，提高自己的數學專業知識水平和教育教學水平.學生不僅要善于用文字語言、圖像語言和符號語言對概率知識進行表征，而且要善于對概念、公式進行比較、歸納和概括，形成清晰的網絡圖示或知識網絡.

關鍵詞：ICME；中學概率教與學；概念理解

概率的教與學是當前我國數學教育的重要內容之一.2016年第13屆國際數學教育大會（ICME-13）在德國漢堡召開，“概率統計的教與學”是其中的一個專題.可以說，這是國際數學教育最高水平的會議.國際數學教育的同人研究了哪些中學概率統計的教學問題？有哪些新的進展？這些進展對我國概率的教與學有哪些啟示？基于ICME-13會議中關于概率教與學的文獻與報告，進行綜述與分析，以期為我國中學概率統計的教學提供借鑒.

一、研究主題明確 聚焦教師理解

在概率和統計中，獨立性是非常基礎的概念.各國的學校課程中也都包含獨立事件.美國俄克拉荷馬州立大學的Adam Molnar做了一項教師關于獨立性理解現狀的研究[1].來自美國的賓夕法尼亞州、格魯吉亞州和南卡羅來納州的25名高中數學教師參與這項研究.其中具有教育碩士及以上學位的有19人，概率教學經驗豐富的有7人.參與的教師需要回答9個任務型的問題，例如：從2500人中隨機選擇一名，請問事件“他是一個大學畢業生”與事件“他是從互聯網上獲得新聞的”是否獨立？為什么？

該問題可以用獨立事件的乘法定義或條件定義來解決，也就是說，如果事件A和事件B同時發生的概率等于各自發生的概率的乘積，則事件A和事件B是獨立的.假設事件C為抽到的人是大學畢業生、事件N為他是從互聯網上獲得新聞的，可通過計算[PC×PN=P（CN）]是否成立來判斷兩個事件是否獨立.左邊=[6932500×6872500=0.076]，[右邊=2452500=0.098]，因為0.076≠0.098，即左邊[≠]右邊.所以事件C和事件N是相互依賴的，兩者并不獨立.

實驗數據顯示，在25名美國高中數學教師中，只有3人給出正確答案.在訪談過程中，有8名教師提到學生也經常會誤解事件的獨立性；2名教師對獨立事件和互斥事件之間的關系比較模糊；部分教師表示對概率詞匯存在高誤解率，是因為美國當前數學課程對概率知識還不夠重視.根據研究結果，可以推斷，較多美國高中數學教師對事件獨立性的理解存在誤區.

二、交流范圍寬廣 重視學生認知

除了討論教師對概率知識的理解情況外，ICME-13大會的概率組對中學生對概率問題的理解和解題情況也進行了研究.

（一）初中生對隨機發生器的理解

印度德里大學教育學院的Haneet通過一項對稱多面體的實驗，來了解初中生對隨機發生器的看法，從而來研究其對事件隨機性的理解[2].Haneet在印度德里私立學校的八年級學生（年齡在13～14歲）中找了8名，隨機分成兩組，每組4名.按照印度的常規課程，被測的學生已經學過古典概型和幾何課程.

首先，為每組學生提供八個多面體（正四面體，立方體，正八面體，正二十面體，正四棱錐，正六棱錐，正三棱柱和正六棱柱）.接著，在學生小組討論后，決定選擇哪個多面體作為游戲里的“骰子”.最后，詢問他們選擇的原因.研究方法采用的是視頻錄制和訪談.

實驗結果初步顯示，兩組學生分別選擇正八面體和正二十面體作為骰子.訪談數據集中反映了以下4個方面：

（1）兩個組用于選擇的最重要的條件是多面體樣本空間的大小.兩組確保它們各自選的多面體與立方體相比具有更大的樣本空間，即更多的面；

（2）從多面體的形狀上來看，拿來當骰子的物品是完全對稱的，從而確保游戲的公平（物理對稱性）；

（3）學生存在等可能性偏差的問題.也就是說，學生認為在有限次的投擲中，每個數字至少出現一次；

（4）學生存在與“樣本空間的窮盡”相關的誤解.例如，學生認為對正八面體來說，不管怎么投擲，扔八次中每個數字都會出現一次.

顯然，大多數學生認為事件的概率和比例相關.受之前學習過的古典概型的影響，學生會先列舉樣本空間，然后計算期望的事件和樣本空間大小之間的比，即事件的概率.因此，學生自然而然地去選擇較大的樣本空間，同時考慮到游戲的公平性，選擇的多面體都應具有對稱性的.由于正八面體和正二十面體都符合古典概型的定義，兩組人都認為他們的模型中每個面出現的概率都是相等的.但是從實驗中不難發現，初中生對隨機事件的概率概念和樣本空間的適用條件等仍存在一定的誤解.

（二）高三學生對復合隨機實驗的理解

高中學生如何通過推理找到復合隨機實驗的樣本空間？教學前后學生會用什么方法計算復合事件的概率？學生在解決這些問題時可能會遇到哪些困難？為了回答上述問題，墨西哥的Pedro Landín-Vargas等人對一所公立學校的28名高三學生進行調查研究.在測試之前，研究人員設計了一門含有階段測試的概率課程.而后測采用的是高三學生數學課程中的概率知識（二項分布和正態分布）.

測試的問題如下所示.問題1涉及兩步驟的隨機實驗，而問題2則由三步驟的隨機實驗組成.

問題1.一對夫婦計劃生兩個孩子.假設生男孩或女孩的可能性相同，并且任何一個的性別不影響另一個的性別.

a.記下兩個孩子性別的所有組合.

b.假設問題a中列出的結果同樣可能，兩個女孩出生的概率是多少？

c.每種性別的孩子的概率是多少？

問題2.向空中擲了1美元硬幣、2美元硬幣和5美元硬幣.

a.寫出在空中拋擲三個硬幣的所有結果.

b.拋擲三個硬幣，結果一個反面都沒有的概率是多少？

c.拋擲三個硬幣，結果有一個反面的概率是多少？

d.拋擲三個硬幣，結果有兩個反面的概率是多少？

e.拋擲三個硬幣，結果三個都是反面的概率是多少？

基于SOLO分類法的五個層次，Pedro Landín-Vargas等研究人員根據高中生在解決概率問題的表現，完善了概率層次推理模型，補充了處于不同概率推理水平的具體表現特點，具體如表1所示[3].

根據實驗的前測和后測得分，結果發現：

（1）在前測中，近一半的學生使用樣本空間的概念；在后測中，大約有60%的學生使用這種概念.

（2）在前測中，71%的學生處于主觀或過渡水平，只有29%的學生處于不規則的量化或數值水平；在后測中，43%的學生處于主觀或過渡水平，而有54%的學生達到不規則的量化或數值水平.

（3）近60%的學生用拉普拉斯的概率定義來計算概率的值，另外三分之一的學生用加法或乘法法則來計算概率.

（4）從解題步驟來看，前測中有43%的學生通過列表法和枚舉法來構建樣本空間并計算概率；后測中有43%的學生使用樹狀圖來計算概率（29%通過概率的加法或乘法法則，11%通過拉普拉斯的概率定義，剩余的3%用了其他策略）.

此外，在Lydia和Makonye等人的研究中，大約90%的學生能利用樹狀圖正確求解問題，85%的學生通過列表求解，約50%的學生用列聯表（Contingency tables），還有的學生通過維恩圖和雙向表來幫助理解問題和求解[4]. 多個研究數據均表明，學生最常用的輔助方式是列表和樹狀圖，約21%的學生能用代數符號來表示隨機變量，從而進行解題.對高三學生來說，很少有學生能夠理解并通過代數符號表示隨機變量，從而來解決概率問題.

三、小結與展望

通過上述ICME-13的相關論文，可以發現美國大多數教師對事件獨立性的理解有所欠缺，自身的數學專業知識還需要加強；大多數學生可以利用不同的表征方式來列舉概率問題的結果，并且學生也表現出對隨機序列中連續事件的獨立性也有很好的理解.但是在研究中也發現，學生對隨機概念和樣本空間枚舉存在一定的誤解.同時，學生在解決概率問題時的抽象水平還不夠高，大部分學生處于概率層次推理模型中的主觀或過渡水平.

教師對事件獨立性的誤解會影響其教學.為了能勝任新世紀的教育教學工作，教師必須不斷學習，提高自己的數學專業知識水平和教育教學水平.同時，對高等師范院校而言，高等師范院校在概率統計的教學中應有針對性地結合中學數學課程改革的具體情況加強教學，以免造成師范生所學與中學教學實踐的嚴重脫節.另外，希望教師們注意自己平時上課的表述，以更恰當的表達方式幫助學生理解概率問題.

對于學生的學，一方面，概率內容的直觀性決定學生對概念、公式的理解需要從不同角度、不同方式進行多元表征，用多種數學語言表達同一個概念和公式，突出概念、公式的本質屬性；另一方面，概率中的概念和公式眾多、零散，并且多數概念表面上差異不明顯，容易混淆.這就要求學生不僅要善于用文字語言、圖像語言和符號語言對概率知識進行表征，而且要善于對概念、公式進行比較、歸納和概括，從而形成清晰的網絡圖示或知識網絡.

參考文獻：

[1]MOLNAR A. High school mathematics teachers understanding of independent events[C].Hamburg：13th International Congress on Mathematical Education， ICME-13， 2016.

[2]GANDHI H. Understanding children conception of randomness through explorations with symmetrical polyhedrons[C]. Hamburg：13th International Congress on Mathematical Education， ICME-13， 2016.

[3]LANDIN-VARGAS P， SALINAS J. Probability reasoning of high school students on sample space and probability of compound events[C]. Hamburg：13th International Congress on Mathematical Education， ICME-13， 2016.

[4]MUTARA L， MAKONYE J. Learnersuse of probability models in answering probability tasks in South Africa[C]. Hamburg：13th International Congress on Mathematical Education， ICME-13， 2016.