運用投影正弦圖和點擴展函數法確定CT系統旋轉中心＊

羅福婷，鄭繼明，張 亞，謝婷婷

（重慶郵電大學 理學院，重慶 400065）

計算機斷層成像（ComputedTomography，CT）在醫療檢測、無損檢測和逆向工程中發揮著重大的作用，被視為20世紀影響人類發展的重大技術之一。安裝CT系統時往往存在誤差，會影響成像質量，因此，需要對安裝好的CT系統進行參數標定，根據標定模板來確定CT系統旋轉中心是首要問題。本文基于2017年“高教社杯”全國大學生數學建模競賽A題[1]，討論如何精確計算一種典型的二維CT系統旋轉中心的問題。

CT系統旋轉中心定位的方法有幾何校正法、迭代校正法和投影正弦圖重心法等[2]。幾何校正法需已知精準的中心射線束的位置、焦距，這在工程應用中是不容易做到的，且會受計算效率的制約，實用性差；迭代校正法將旋轉中心偏移轉換為焦點問題，與手動調整原理相同，煩瑣、精度低。張蔚等[3]根據CT系統投影正弦圖的對稱性、正弦性、參數信息等，提出投影圖邊緣法，先對投影正弦圖進行分割，并二值化投影正弦圖，將投影圖分割為空氣投影和工件投影兩部分，求物體投影在各個方向的質心，最后將所有質心位置加權求均值。該方法能達到10-1像素級，是理想的旋轉中心初始定位方法。為了進一步提高CT系統旋轉中心定位的精度，本文提出了點擴展函數法。

考慮到點擴展函數僅能精確在1像素內的偏移量，首先分析了模板投影正弦圖的特征，并對旋轉中心進行初步定位，然后利用圖像重建確定點擴展函數，從而較精確地確定出系統旋轉中心。運用本文方法處理文獻[1]中的數據，能夠更精確地定位旋轉中心。

1 預備知識

1.1 投影正弦圖

在CT系統中，探測器-X射線源組合圍繞模板旋轉，一般為180°掃描，探測器接收到的信息即X射線經過模板衰減后的強度。衰減后的強度受厚度、空氣、介質的影響，在不同的投影視角，不同位置的探測器采集到投影數據，即旋轉角度θ與探測器t之間的關系為一條投影正弦曲線，即投影正弦圖。投影正弦圖中蘊含著非常多的信息，其對稱性、正弦性、參數信息等都是不可忽略的重要內容。

1.2 點擴展函數與邊緣響應函數

點擴展函數（pointspreadfunction，PSF）在CT系統重建圖中表示空間中任意一點經過CT系統投影、重建之后在圖像中的灰度強度分布[4-5]。邊緣響應函數（edgeresponsefunction，ERF）是沿任意邊緣法線方向的灰度分布曲線。在重建圖像中，根據邊緣的任意一點法線方向灰度分布來繪制曲線，取任意方向上不同半徑的灰度值作曲線得邊緣響應函數。物體的任意質點經過CT系統檢測和圖像重建之后，重建的圖像并非一個質點，而是一個區域。獲取實際點擴展函數的方法是，先獲取圖像的邊緣響應函數，然后根據邊緣響應函數計算圖像的點擴展函數。

當旋轉中心偏移量過大時，重建的圖像模糊，由單邊緣過渡到雙邊緣，邊緣出現一層穩定灰度中間帶，點擴展函數會出現雙峰，無法判斷極值與偏移量之間的關系。

1.3 Canny邊緣提取

在確定旋轉中心的過程中，需要通過Canny邊緣提取對投影圖、重建圖進行處理。Canny邊緣檢測算法[6]首先用二維高斯函數的一階導數對圖像進行平滑。

用分解的方法加快速度，把▽G的2個濾波卷積模板分解為2個一維行列濾波器，即：

式（2）中：k為常數；σ為濾波器參數，它控制著平滑程度；h1（t）＝ktexp（-t2/2σ2），h2（t）＝exp（-t2/2σ2）.

對于σ小的濾波器，雖然定位精度高，但信噪比低；而σ大的情況則相反。經測試，本文高斯濾波器參數σ取0.27.

2 CT系統旋轉中心定位算法

2.1 確定初始旋轉中心

運用PSF僅能精確在1個像素內的偏移量[2]，對于偏移較遠的旋轉中心，需要進行初始定位。不同模板投影正弦圖有不同特征，本文僅考慮在橢圓模板情形下運用投影正弦圖確定初始旋轉中心的問題。

對于N個探測器，從M個角度分別掃描得到投影圖，對任一像素位置 E（i，j）（i∈[0，M]，j∈[0，N]）做如下處理：①對于投影圖 E（i，j）（i∈[0，M]，j∈[0，N]），通過 Canny 邊緣提取，得到邊緣結果 T（i，j）（i∈[0，M]，j∈[0，N]）。②當旋轉中心不發生偏移時，探測器中心與旋轉中心對齊，所以，可通過旋轉中心所在探測器位置來校正旋轉中心。通過T（i，j）計算當前視角v下旋轉中心偏移量△Pv，單位為像素。

當前視角v下旋轉中心偏移量△Pv，即為在該視角下偏移量的投影，如圖1所示，其中A為待定旋轉中心，B為精確的CT系統旋轉中心。

圖1 旋轉中心偏移量△Pv說明

橢圓模板的優勢在于△Px、△Py對應的投影數據容易判斷，探測器接收的數據最多，該列投影最長時對應偏移量△Py；探測器接收的數據最少，該列投影最短對應偏移量△Px，得到初始旋轉中心A＝（△Px，△Py）。

2.2 偏移旋轉中心計算及重建圖像

通過初始旋轉中心位置A或投影中心校正值d0校正旋轉中心。設校正后旋轉中心A1為p＝0的位置，PSF法僅能精確在1像素內的偏移量，所以，從p＝1開始依次偏移0.1像素到p＝1和p＝-1的位置，并依次運用直接反投影算法重建各個偏移量對應的CT圖像。

2.3 基于Canny邊緣提取確定REF和PSF

傳統的Canny算法在2×2鄰域內求有限差分來計算梯度幅值，該方法對噪聲比較敏感。本文采用在3×3鄰域內計算梯度幅值[7]，考慮了像素對角線方向，增加了計算像素偏導數的方向，改進了傳統梯度幅值計算方法，使得邊緣定位更準確。建立邊緣響應函數的具體步驟是：①在Matlab軟件中讀取重建的圖像，并通過rgb2gray命令得到灰度矩陣R＝（rij）n×n；②通過Canny邊緣提取結果確定出橢圓模板中心M（a，b），其半徑近似為r；③在模板中，以M（a，b）為起點，在水平正方向上分別取長度為r1和r2的2點，使得區間[r1，r2]跨越邊緣（本文取區間長度為30）。于是，邊緣響應函數為x（j）＝raj，j∈[r1，r2].

在重建圖像中，對比度強、邊緣清晰的圖像邊緣響應函數曲線的過渡帶短；對比度低、模糊的圖像，其邊緣響應函數曲線的過渡帶相對比較長，可以跨越幾個像素甚至幾十個像素。邊緣響應函數的一階導數為點擴展函數y（j）。在工程實際中，點擴展函數y（j）可通過差分格式計算，即y（j）＝Dx（j）＝x（j+1）-x（j），j∈[r1，r2].

2.4 CT系統旋轉中心的確定

點擴展函數具有極大值，極值與偏移量間可以通過高斯函數擬合。當旋轉中心不發生偏移，邊緣響應函數陡峭變化，點擴展函數極值最大。通過擬合點擴展函數極值與偏移量，其高斯曲線峰值對應的偏移量即為旋轉中心偏移量[2]。運用PSF精確定位旋轉中心的步驟如下：①在不同偏移量下重建圖像，得到邊緣響應函數和點擴展函數；②求出不同偏移量下的點擴展函數極值；③擬合點擴展函數極值與偏移量之間的關系曲線G；④求出曲線G的峰值所對應的偏移量，即旋轉中心偏移量。

由步驟①②③④分別得出x軸、y軸上偏移量△Px，△Py.如果以待確定旋轉中心的位置為原點，對應的以重建圖像中心為原點建立直角坐標系，則得到旋轉中心坐標為（△Px，△Py）。

3 橢圓模板旋轉中心的確定

下面以2017年“高教社杯”全國大學生數學建模競賽A題給出的模板與相關數據為基礎確定其旋轉中心。

3.1 運用投影正弦圖確定初始旋轉中心

賽題模板如圖2所示，根據接收信息畫出其投影正弦圖，如圖3所示。

先通過投影圖邊緣法確定初始旋轉中心，確定△Py＝22.5，△Px＝-33，得到初始旋轉中心A＝（-33，22.5）（單位為像素，下同）。依據初始旋轉中心A進行校正，校正后的旋轉中心為A1，得到投影圖、重建圖如圖4、圖5所示。

3.2 偏移旋轉中心及重建圖像

水平方向為x方向，從校正后旋轉中心A1開始（設此時偏移量p＝0），分別依次偏移0.1像素到p＝1和p＝-1的位置，運用直接反投影算法重建各個偏移量對應的CT圖像。圖6給出了x方向上部分偏移量時的重建圖像。豎直方向（y方向）同理。

3.3 確定邊緣響應函數

通過x（j）＝raj，j∈[r1，r2]得出不同偏移量下ERF函數。圖7給出了x方向、y方向上部分ERF曲線，從中可以看出其曲線有差異。旋轉中心偏移后越靠近系統精準的旋轉中心，重建圖像越清晰，其ERF函數曲線陡峭下降，如圖7（a）中p＝-0.5，圖7（b）中p＝0.1所示；反之，重建圖像越模糊，其ERF函數曲線下降越平滑。

圖2 賽題模板示意圖

圖3 賽題模板投影正弦圖

圖4 校正后的投影圖

圖5 校正后的重建圖像

圖6 x方向不同偏移量時重建圖像

圖7 各方向上不同偏移量對應的ERF函數曲線

3.4 確定點擴展函數

通過 y（j）＝Dx（j）＝x（j+1）-x（j），j∈[r1，r2]得出不同偏移量下PSF函數。圖8給出x方向、y方向部分PSF曲線，從中可看出曲線有明顯差異。在圖8（a）中，從p＝-0.7到p＝-0.3，圖8（b）中從p＝-0.1到p＝0.3，對應PSF極值先增大再減小，越接近系統精準的旋轉中心，其PSF函數極值越大。

圖8 各方向上不同偏移量對應的PSF曲線

3.5 根據旋轉中心偏移量和PSF極值確定旋轉中心

通過高斯函數擬合x方向、y方向上的偏移量與PSF函數極值的關系，得到圖9.圖9（a）峰值對應x軸上偏移量為-0.527 3，圖9（b）峰值對應0.103 6，旋轉中心A1＝（-0.527 3，0.103 6）；精確旋轉中心為A+A1＝（-33.527 3，22.603 6），單位為像素。

圖9 偏移量與PSF函數極值擬合

由PSF法精確后校正旋轉中心，再掃描模板并重建圖像。圖10由于旋轉中心偏移比較遠，未校正重建圖像十分模糊，邊緣偽影、陰影嚴重；圖11初始校正后陰影減小，但邊緣依然不夠光滑；圖12通過PSF精確定位并校正后，重建圖像明顯清晰，邊緣光滑。

4 結束語

安裝CT系統會導致旋轉中心偏移，其誤差會使重建圖像出現偽影，降低成像質量。系統旋轉中心位置定位越準確，重建圖像質量越好。本文先運用投影正弦圖法進行初始定位，再運用PSF法進一步精確定位了CT系統的旋轉中心。在未來的研究中，將用更具有特征的模板來標定旋轉中心，例如均質圓盤模板，其可以降低噪聲影響，便于分析和觀察。

圖12 PSF法校正

圖10 未校正

圖11 初始校正

［1］全國大學生數學建模競賽組委會.2017年競賽A題［EB/OL］.［引用日期不詳］.http://www.mcm.edu.cn.

［2］劉明進.工業CT系統旋轉中心定位方法研究［D］.重慶：重慶大學，2014.

［3］張蔚，羅守華，陳功.Micro-CT系統中對投影圖像旋轉中心的校正［J］.醫療衛生裝備，2009，30（3）：4-6.

［4］孫怡，朱佩平，于健，等.X射線衍射增強成像中吸收、折射以及散射襯度的計算層析［J］.光學學報，2007，27（4）：749-754.

［5］張曉瑞.基于Radon變換的濾波反投影重建算法研究［J］.電腦知識與技術，2016，12（27）：259-261.

［6］王植，賀賽先.一種基于Canny理論的自適應邊緣檢測方法［J］.中國圖象圖形學報，2004，9（8）：957-962.

［7］文章，張欣，周昌順，等.一種基于Canny的邊緣檢測改進算法［J］.通信技術，2017，50（10）：2236-2240.

［8］孟凡勇，王維，李靜海.利用正弦圖自動校正CT投影中心［G］//全國射線數字成像與CT新技術研討會論文集.綿陽：中國體視學學會，2008：265-271.