單壁碳納米管增強陶瓷基復合材料軸向應力分布影響因素分析

宋瑞蘭，謝 悅，宿曉如，羅冬梅

(佛山科學技術學院 土木與建筑工程系，佛山 528000)

0 引言

近20年來，碳納米管因其長徑比大、強度高、韌性好等優良性能，成為新型復合材料材料領域的研究熱點。其中，CNTs金屬基、CNTs聚合物的研究相對較多，也較為成熟，CNTs陶瓷基復合材料的研究還不多見，主要原因是陶瓷基體的脆性，在陶瓷基體加入CNTs，存在分散性和界面相容性等難以控制的問題，導致CNTs增強相對陶瓷基復合材料力學性能的影響無法準確表征[1]。目前，關于CNTs增強復合材料的研究主要以實驗為主，理論研究大多是利用連續介質力學方法，從細觀力學角度分析CNTs的特性對復合材料的強度和模量的影響，很少研究討論碳納米管的應力分布特性，所用模型大部分是將碳納米管等效為長徑比較大的實心短纖維。文獻[2-4]以Cox[5]提出的剪滯理論為基礎，研究了短纖維復合材料中纖維和界面的應力分布情況；高慶等[6]對短纖維增強金屬基復合材料應力傳遞的傳統剪滯理論進行了修正和改進。連建設等[7]將單壁碳納米管等效為實心柱體短纖維，采用柱形剪切滯后模型分析，得到復合材料的應力場；羅冬梅等[8]利用具有精確周期性邊界條件的均質化理論，用雙尺度宏微觀有限元法，分析了非連續實心碳納米管呈規則和交錯兩種排列情況下，碳納米管和基體沿管長方向的應力分布規律。文獻[9]利用剪滯理論，對中空增強體增強金屬基復合材料各相的應力進行了理論推導。由于碳納米管增強復合材料的界面應力實驗測量比較困難，一般只能給出拔出載荷的近似值，無法測量界面應力分布情況和數值大小，關于碳納米管應力分布的研究，主要采用數值模擬與理論分析相結合的方法[10-12]。

本文在現有理論的基礎上，通過材料力學的等效原理，將空心單壁碳納米管處理為不同彈性模量組成的復合材料，在彈性力學基礎上，利用修正的剪滯理論，推導了空心單壁碳納米管增強復合材料中碳納米管及陶瓷基體沿碳納米管方向的軸向應力分布表達式的應力分布規律，同時通過ANSYS軟件建立空心碳納米管增強復合材料的有限元模型，分析軸向加載情況下，碳納米管的長徑比、體積分數、以及碳納米管的各向異性等因素對基體和碳納米管軸向應力分布的影響，并與理論方法進行對比，驗證兩種方法的一致性。

1 有限元模型的建立

首先，假設碳納米管完全分散在陶瓷基體中，呈規則或交錯排列且取向一致，只考慮復合材料的彈性性能，不考慮塑性性能及殘余熱應力的影響。

利用ANSYS有限元軟件，采用三維實體結構八節點SOLID45單元進行建模分析。圖1(a)為單根直線型空心碳納米管模型，為推導方便，橫截面取為圓形；碳納米管為多根直線型空心模型如圖1(b)所示，設橫截面為邊長為t的正方形，計算時取全模型進行模擬。陶瓷基體的長度為L，碳納米管的長度為l，外徑為2b，內徑為2a。材料參數：碳納米管的彈性模量Eof=700 GPa，泊松比νf=0.23；陶瓷基體的彈性模量Em=98 GPa，泊松比νm=0.3。

2 有限元法與理論方法的比較

假設陶瓷基復合材料的空心碳納米管在基體中均勻呈周期性規則排列，強界面接觸，即界面與基體材料參數完全一致，并屬于線彈性范圍。本文選用圖2所示特征體積單元體單胞進行分析計算，假設該單胞與其他單胞之間互相沒有力的作用。基體的外徑為2c，空心碳納米管的外徑為2b，內徑為2a。基體的長度為2L，碳納米管的長度為2l。以單胞正中心為原點，在其軸向、徑向和周向設立三維空間坐標軸，分別為z、r及θ軸。長徑比s=l/b，空心碳納米管內外徑比h=a/b。

利用空間軸對稱彈性力學基本方程求解，得到沿不同方向的應力表達式為

(1)

(2)

(3)

(4)

其中

σP為基體與纖維界面上的徑向應力。把空心碳納米管模型中的空心部分看成一種彈性模量為0的中間材料，根據材料力學等效彈性模量串并聯公式，得到空心碳納米管的等效彈性模量Ef。設k=1-h2，Ef=kEof。其中，Eof為碳納米管實際的彈性模量。

2.1 基體單元力平衡分析

利用圖3所示單胞基體的單位體積元模型進行應力平衡分析，得到基體截面沿軸向的平均應力為

(5)

利用單元體軸向受力平衡(如圖3所示)建立平衡方程，并整理得

(6)

聯立式(1)、式(4)～式(6)，經整理得到

(7)

基體正中心位置的軸向應力應等于整個基體的軸向應力，以此為邊界條件，得出

(8)

2.2 增強體代表性單元力學平衡分析

圖4所示為選取的單胞增強體的單位體積元模型及應力分布狀態，對其進行應力平衡分析。

考慮基體到增強體的應力傳遞，首先在基體與增強體(r=b)界面上，基體與增強體的徑向和周向應力也存在平衡關系

(9)

利用單元體軸向受力平衡(如圖4所示)建立方程：

(10)

聯立式(2)～式(4)、式(9)、式(10)，經整理得

(11)

在彈性條件下，參考文獻[13-14]取增強體的根應力σf0=Emεm+Emd(εm-εf)。求解上述微分方程，并使用邊界條件σf(z=l)=σf0，可得

(12)

聯立式(6)、式(8)、式(11)、式(12)，可得

(13)

(14)

(15)

其中

式(13)、式(14)即為空心碳納米管增強陶瓷基復合材料中碳納米管與基體的應力分布與應變變化的關系式，式(15)是碳納米管和基體界面處的剪應力與應變的關系式。

2.3 有限元結果與理論計算結果比較

以單根空心碳納米管為例，基體與空心碳納米管均為各向同性材料，基體長度為150 nm，直徑為30 nm，納米碳管長度為120 nm，空心碳納米管的壁厚取1 nm，長徑比取20，利用有限元軟件ANSYS在軸向拉伸下計算復合材料中碳納米管和陶瓷基體的軸向應力，并與本文理論方法以及文獻[11]中理論方法計算出的結果進行對比，結果見圖5和圖6。

由圖5和圖6可看出，對陶瓷基體而言，單元體選擇圓形截面和選擇矩形截面情況下，用有限元法計算得到的軸向應力完全相同，略高于理論值；但對碳納米管而言，用有限元方法算出的圓形截面的軸向應力結果偏低，矩形截面的偏高，理論值介于兩者之間，整體來說單元體的截面形狀影響不大。由于文獻[11]中的理論分析沒有考慮碳納米管端部正應力的影響，導致在碳納米管的端部，陶瓷基體的理論計算結果變化急劇，與本文推導的結果以及有限元結果存在較大差異，本文推導得到的空心碳納米管進行修正后，得到的應力與有限元結果有更好的一致性。

3 有限元計算結果討論

3.1 碳納米管長徑比對基體和碳納米管應力分布的影響

首先，考慮單根和多根空心碳納米管排列情況下，碳納米管長徑比的變化對增強體與基體的應力分布造成的影響，基體與納米碳管均為各向同性材料，基體長度為150 nm，寬為30 nm，碳納米管長度為120 nm，空心碳納米管的壁厚取1 nm，長徑比通過改變碳納米管的直徑來實現，可分別取10、12、15、20、30。基體沿軸向的應力分布如圖7所示，碳納米管沿軸向應力分布如圖8所示。

由圖7可見，對于基體材料而言，碳納米管端部基體的應力有突變，單根碳納米管情況(圖7(a))沿碳納米管長度方向應力為常數，該常數會隨長徑比的增大而增大，增大的速度逐漸減弱，多根碳納米管情況下(圖7(b))，由于碳納米管的相互作用，應力不再保持常數，但隨長徑比增大而增大的趨勢不變，主要是因為在碳納米管長度不變時，長徑比越大，直徑越小，碳納米管承擔的應力越小，因此基體承擔的應力越大。空心碳納米管沿管長方向軸向應力隨長徑比增大而減小的趨勢如圖8所示，數值上碳納米管所承擔的應力為基體的2～3倍。因此，減小趨勢不如基體明顯，但端部的應力集中明顯增大，碳納米管的應力承擔作用發揮顯著。

基體與碳納米管界面處的剪切應力沿管長方向的分布如圖9所示，碳納米管中心部位的剪切應力基本上為0，不隨長徑比的變化而變化，也不隨碳納米管的分布規律而變化，但在碳納米管的兩端附近，多根碳納米管情況下的剪切應力達到最大，幾乎是單根情況的2倍，且隨長徑比的增大而減小，表明多根碳納米管承擔剪切應力的能力強于單根碳納米管。

3.2 碳納米管體積分數對基體和碳納米管應力分布的影響

本節通過調整碳納米管加入量的變化，研究碳納米管體積分數的變化對復合材料應力分布的影響，通過調整基體的寬度，獲得體積分數分別為 2%、5%、10%、22%的碳納米管為單根的復合材料分析模型。設基體長度為150 nm，碳納米管長度為120 nm，空心碳納米管的長徑比取20。

圖10和圖11分別為不同碳納米管體積分數下陶瓷基體和碳納米管軸向應力沿軸線方向的應力分布。

由圖10可看出，從碳納米管中部到兩端部的范圍內，基體的軸向應力分布都是平穩的。在碳納米管端部，基體軸向應力急增，而碳納米管應力驟減，充分體現碳納米管在基體中承擔基體轉化應力的作用。隨著碳納米管的體積比增大，基體沿碳納米管長度方向的應力逐漸減小，碳納米管的應力也隨體積比增大而減小，但減小程度不明顯。由此可見，通過調整碳納米管的體積比來提高碳納米管的承載能力是有限的。

由于應力提取困難，目前的實驗主要集中在材料的硬度、斷裂韌性和抗彎強度的測試[15-16]。文獻[15]采用熱壓真空燒結工藝制備了氮化硅陶瓷復合材料，研究了碳納米管含量時，碳納米管增強陶瓷復合材料的力學性能變化。研究結果表明，當碳納米管含量低于1%時，隨著碳納米管含量的增加，試樣的抗彎強度和斷裂韌性都隨之增大。當碳納米管含量較大時，在基體中難以均勻分散，出現大量團聚現象，導致試樣的抗彎強度和斷裂韌性急劇下降，降低碳納米管的增強作用。圖10和圖11表明，碳納米管的含量越大，碳納米管的軸向應力越小，不利于發揮碳納米管在復合材料中的增強作用。比較兩者可知，雖然研究的內容和方法均不一樣，但結論是一致的。

3.3 碳納米管材料性質對基體和碳納米管應力分布的影響

將碳納米管按照各向同性和各向異性兩種材料情況進行分析。仍建立單根和多根空心碳納米管有限元模型，基體視為各向同性材料，基體的彈性模量為Em=98 GPa，泊松比νm=0.3；各向異性納米碳管的彈性常數分別取為C11=457.6 GPa，C12=C13=8.4 GPa，C22=C33=14.3 GPa，C23=5.5 GPa，C44=C66=27.0 GPa，C55=4.4 GPa，泊松比νf=0.42，碳納米管長徑比取20，其他材料參數不變。各向的軸向應力沿軸向方向的分布如圖12所示。

由圖12可看出，不管是單根碳納米管模型，還是多根碳納米管模型，各向異性情況下，陶瓷基體軸向應力都比各向同性情況下的小，而且變化趨勢相反。從整體變化而言，碳納米管軸向應力的變化較顯著，且各向同性情況下的值遠大于各向異性情況下的值。可見，碳納米管的各向異性大幅度降低碳納米管軸向應力，不利于碳納米管發揮在復合材料中的增強作用。

4 結論

(1)有限元計算結果與利用剪切滯后理論推導出的應力計算公式計算出的結果比較吻合，利用有限元分析應力分布結果是可靠的。

(2)空心碳納米管長徑比比較小時，對空心碳納米管復合材料各相的軸向應力分布有較大影響，但達到一定值以后，碳納米管直徑的進一步減小，對復合材料各相軸向應力的影響程度逐漸減小，碳納米管的幾何尺寸具有一個最佳值。同時，碳納米管之間的相互作用對復合材料各相的應力分布也有一定影響，需要進一步研究分析。

(3)在靠近碳納米管端部位置時，基體軸向應力明顯增大，空心碳納米管體積分數越大，這種現象越明顯，而碳納米管的軸向應力則有所降低。可見，過度地增大空心碳納米管的體積分數，不利于基體與碳納米管之間應力的傳遞。

(4)各向異性碳納米管增強復合材料的軸向應力明顯低于各向同性碳納米管增強復合材料情況，碳納米管的各向異性降低了碳納米管的軸向應力，不利于發揮碳納米管在復合材料中的增強作用。

[1] 馬青松，陳朝暉.碳納米管增強復合材料研究進展[J].材料工程，2007(2)：58-61.

MA Qingsong,CHEN Zhaohui.Research and development of carbon nanotubes reinforced ceramic matrix composites[J].Material Engineering,2007(2):58-61.

[2] Wong E W,Sheehan P E,Lieber C M.Nanobeam mechanics:elasticity,strength and toughness of nanorods and nanotubes[J].Science,1997,277(26):1971-1975.

[3] Treacy M M J,Ebbesen W,Gibson J M.Exceptionally high Young's modulus observed for individual carbon nanotubes[J].Nature,1996,381(20):678-680.

[4] Wei B Q,Vajtai,Jayan P M A.Reliability and current carrying capacity of carbon nanotubes[J].Applied Physics Letters,2001,79(8):1172-1174.

[5] Berber A，Kwon Young-Kyun,Tomanek D.Unusually high thermal conductivity of carbon nanotubes[J].Physical Review Letters,2000,84(20):4613-4616.

[6] 高慶，康國政.短纖維復合材料應力傳遞的修正剪滯理論[J].固體力學學報,2000,21(3):12-16.

GAO Qing ,KANG Guozheng.The revised shear-lag theory for stress transfer in shortfiber composites[J].Acta Mechanica Solida Sinica ,2000,21(3):12-16.

[7] 連建設,江中浩,楊德莊,等.短纖維增強金屬基復合材料剪切滯后分析[J].復合材料學報,1999,16(4):35-40.

LIAN Jianshe,JIANG Zhonghao,YANG Dezhuang,et al.Shearlag analysis of stress distribution of short fiber reinforced metal matrix comporites[J].Acta Materiae Compositae Sinica,1999,16(4):35-40.

[8] 羅冬梅,汪文學,高雄善裕.均質化法在分析非連續碳納米管增強復合材料微觀應力分布規律中的應用[J].復合材料學報,2007,3(6):185-192.

LUO Dongmei,WANG Wenxue,Takao Yoshihiro.Application of homogenization method on the analysis of micro-stress distribution in non-continuous carbon nanotube reinfrced composites[J].Acta Materiae Compositae Sinica,2007,3(6):185-192.

[9] 劉延超.短柱增強體金屬基復合材料的剪切滯后分析[D].沈陽：沈陽工業大學,2014.

LIU Yanchao.The shear lag theory analysis of stress distribution of the short column reinforced metal matrix composite[D].Shenyang:Shenyang University of Technology,2014.

[10] 劉貴立，謝萌.碳納米管增強鈦基復合材料的界面應力分布[J].沈陽工業大學學報,2015,37(6):684-689.

LIU Guili,XIE Meng.Stress distribution at interface of bon nan otubes reinforced titanium matrix composites[J].Joumal of Shengyang University of Technology,2015,37(6):684-689.

[11] GAO X L ,LI K.A shear-lag model for carbon nanotube-reinforced polymer composites[J].Int.J.Solids Struct,2005,42(5/6):1649-1667.

[12] 李四年，肖岸純，陳慧敏，等.納米碳管增強鎂基復合材料應力傳遞有限元分析[J].特種鑄造及有色合金,2010,30(3):200-202.

LI Sinian,XIAO Anchun,CHEN Huimin,et al.Analysis and calculation of residual stress in carbon nanotubes reinforced Mg matrix composites[J].Special Casting &Nonferrous Alloys,2010,30(3):200-202.

[13] 何才啟，張俊乾.碳納米管復合材料的應力分析[J].復合材料學報,2008,25(5):120-124.

HE Caiqi,ZHANG Junqian.Stress analysis of carbon nanotubes reinforced composites[J].Acta Materiae Compositae Sinica,2008,25(5):120-124.

[14] Shen Y L,Finot M,Needleman A,et al.Effective elastic resonse of two-phase composites[J].Acat metall,1994,42(1):77-79.

[15] 徐明，方斌，李祥龍.碳納米管增韌氮化硅陶瓷復合材料的研究[J].齊魯工業大學學報，2016，30(1)：38-41.

XU Ming,FANG Bin,LI Xianglong.The study on carbon nanotube toughened Si3N4composites[J].Journal of QiLu University of Technology,2016,30(1):38-41.

[16] 趙東林，喬仁海，沈曾民.碳納米管/連續碳纖維增強環氧樹脂復合材料的微觀結構與力學性能研究[C]//中國化工學會年會，2006:170-174.

ZHAO Donglin,QIAO Renhai,SHEN Zengmin.Microstructure And mechanical property of carbon nanotube and continuous carbon fiber reinforced epoxy resin matrix composites[C]//The Chemical Industry and Engineering Society of China,2006:170-174.