大壩安全監(jiān)測的ARIMA-BP組合預(yù)測模型

王 成 胡添翼,2 顧艷玲 張 磊 姓海濤

(1. 河海大學(xué)水利水電學(xué)院，南京 210098； 2. 上海市政工程設(shè)計(jì)研究總院水利水運(yùn)設(shè)計(jì)研究院，上海 200092；3.中國水利水電科學(xué)研究院，北京 100038；4.中水北方勘測設(shè)計(jì)研究有限責(zé)任公司，天津 300222；5.南京市溧水區(qū)水務(wù)局，南京 211200)

大壩的變形、應(yīng)力和滲流等觀測資料均為典型的時(shí)間序列，故可通過實(shí)測資料來進(jìn)行預(yù)測．近年來，學(xué)者們對大壩安全監(jiān)控模型的研究越來越深入，時(shí)序分析法、灰色系統(tǒng)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、小波理論、混沌理論及向量機(jī)等一些新的理論和方法不斷被引入到該領(lǐng)域中．但是，單純用一種模型進(jìn)行分析時(shí)存在較大的局限性，難以全面地揭示時(shí)間序列的發(fā)展變化規(guī)律．針對這個(gè)問題，Bates和Granger在1969年首次創(chuàng)造性地提出了組合預(yù)測理論[1]，該理論認(rèn)為不同的模型和方法承載著不同的獨(dú)立有效信息，單一的模型無法體現(xiàn)問題的全面性，需要將同一個(gè)問題不同方面、不同角度的信息結(jié)合起來，以求更好地反映問題的實(shí)際情況，換言之就是采取科學(xué)的方式，實(shí)現(xiàn)不同模型和方法的組合，得到一個(gè)全面綜合的預(yù)測模型，這樣可以達(dá)到取長補(bǔ)短的效果，發(fā)掘出更多的有用信息，預(yù)測效果也必然會得到一定的提高．

在時(shí)序分析法中，ARIMA模型由于簡單性、可行性和靈活性，已經(jīng)成為主要的時(shí)間預(yù)測方法，因其時(shí)間序列變量的未來值被認(rèn)為是變量過去值和隨機(jī)誤差值的線性函數(shù)，用于預(yù)測短序列小樣本且具有線性關(guān)系的數(shù)據(jù)時(shí)精度較高，但在處理非線性數(shù)據(jù)時(shí)會產(chǎn)生較大的誤差，效果欠佳；而BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型因其強(qiáng)大的學(xué)習(xí)和數(shù)據(jù)處理能力，能夠挖掘數(shù)據(jù)背后復(fù)雜的非線性關(guān)系，在解決非線性問題時(shí)具有很大的優(yōu)勢，但在處理線性數(shù)據(jù)時(shí)的效果不及ARIMA模型，將兩者進(jìn)行有機(jī)組合即可實(shí)現(xiàn)對絕大多數(shù)變形序列的處理．堯姚等將ARIMA-BP組合模型用于民航旅客運(yùn)輸量的預(yù)測[2]，趙杰等將其應(yīng)用于高鐵沉降預(yù)報(bào)的研究[3]，趙成柏等將其用于我國碳排放的強(qiáng)度預(yù)測[4]，俞凱加等將其應(yīng)用于某心墻堆石壩的沉降量預(yù)測[5]，都取得了較好的預(yù)測效果．

大壩變形時(shí)間序列同時(shí)包含了線性時(shí)序和非線性時(shí)序的成分，因此本文將ARIMA模型和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型結(jié)合起來，構(gòu)建ARIMA-BP組合預(yù)測模型，旨在發(fā)揮兩者的優(yōu)勢，最大化利用序列的有效信息，從而實(shí)現(xiàn)對大壩變形時(shí)序更好的預(yù)測，實(shí)例表明該模型比單一模型更加有效．

1 相關(guān)理論

1.1 ARIMA模型

ARIMA模型(Autoregressive Integrated Moving Average Model， ARIMA)，全稱是差分自回歸滑動平均模型，通過差分運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)處理，其基本原理是：預(yù)測對象隨時(shí)間的變化會形成一定的數(shù)據(jù)序列，將這個(gè)數(shù)據(jù)序列看作一個(gè)隨機(jī)序列(本文的隨機(jī)序列為壩頂順河向位移數(shù)據(jù))，然后用已知的數(shù)學(xué)模型來刻畫這個(gè)序列，模型和序列匹配成功后就可以根據(jù)時(shí)間序列的過去值和現(xiàn)在值對序列的未來值進(jìn)行預(yù)測[6]．在ARIMA模型中，d為非平穩(wěn)時(shí)間序列通過差分運(yùn)算成為平穩(wěn)序列時(shí)所做的差分次數(shù)．

ARIMA(p，d，q)模型數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(1)

式中，φm(m=1，2，…，p)是自回歸模型的系數(shù)，θj(j=1，2，…，q)是移動平均模型的系數(shù)，p為自回歸階數(shù)，q為移動平均部分的階數(shù)，ai為白噪聲序列．

有一點(diǎn)需要注意，使用ARIMA模型對數(shù)據(jù)進(jìn)行運(yùn)算的前提條件是，時(shí)間序列必須滿足平穩(wěn)性的要求．對于非平穩(wěn)的時(shí)間序列，必須通過平穩(wěn)化處理方法使之平穩(wěn)，然后才能投入到ARIMA模型中運(yùn)算．檢驗(yàn)序列平穩(wěn)性的方法有圖檢驗(yàn)法和構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的假設(shè)檢驗(yàn)法，下文采用圖檢驗(yàn)法對原始序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)．

貝葉斯信息準(zhǔn)則(BIC)與最小艾卡信息量準(zhǔn)則(AIC)可以用來確定模型的自回歸階數(shù)p和滑動階數(shù)q的值．由于BIC準(zhǔn)則比AIC準(zhǔn)則具有更好的收斂性[7]，故本文采用BIC準(zhǔn)則計(jì)算模型的階數(shù)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

(2)

式中，k為參數(shù)的數(shù)量，n為觀察數(shù)．模型優(yōu)先選擇BIC值最小組對應(yīng)的p、q值．

1.2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

BP網(wǎng)絡(luò)是一種多層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，通過信號正向傳播與誤差反向傳播來實(shí)現(xiàn)運(yùn)作，擁有3層結(jié)構(gòu)(輸入層、隱含層、輸出層)，每一層均由節(jié)點(diǎn)組成，每個(gè)節(jié)點(diǎn)為一個(gè)神經(jīng)元，上層節(jié)點(diǎn)與下層節(jié)點(diǎn)利用權(quán)值連接，而每層內(nèi)之間的節(jié)點(diǎn)不存在連接，上一層神經(jīng)元的輸出經(jīng)連接權(quán)值的作用，轉(zhuǎn)到下一層神經(jīng)元即成為輸入，逐層轉(zhuǎn)換實(shí)現(xiàn)樣本的計(jì)算．

神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)在學(xué)習(xí)的過程中，首先使網(wǎng)絡(luò)的輸入等于學(xué)習(xí)樣本的輸入，接下來依靠系統(tǒng)的復(fù)雜程度，對樣本進(jìn)行若干次的訓(xùn)練，神經(jīng)元連接的權(quán)值與閾值在訓(xùn)練的過程中被不斷地修改，驅(qū)使網(wǎng)絡(luò)的輸出盡可能接近樣本的輸出，從而滿足一定的訓(xùn)練目標(biāo)．整個(gè)過程分為以下4個(gè)步驟：1)輸入模式順傳播即正向傳播；2)輸出誤差逆?zhèn)鞑ゼ捶聪騻鞑ィ?)循環(huán)記憶訓(xùn)練；4)學(xué)習(xí)結(jié)果判別．

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型優(yōu)點(diǎn)在于良好的非線性組合與強(qiáng)大的學(xué)習(xí)、自適應(yīng)能力，它可使系統(tǒng)輸入與輸出間存在高度的非線性映射關(guān)系，理論上來講每一個(gè)連續(xù)函數(shù)均可以用它來逼近．

2 組合預(yù)測模型

2.1 模型權(quán)重的確定

ei=k1e1i+k2e2i

(3)

2.2 組合模型建模步驟

ARIMA-BP組合模型的流程圖如圖1所示．

圖1 組合模型的計(jì)算流程

ARIMA-BP組合模型的建模流程如下：

1)通過對時(shí)間序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)，確定差分次數(shù)d，采用BIC準(zhǔn)則確定模型的p、q值，最小二乘法得到模型表達(dá)式的參數(shù)，從而完成ARIMA模型的建立，并對大壩順河向位移進(jìn)行擬合預(yù)測．

2)給定輸入向量和期望輸出，通過隱含層和輸出層神經(jīng)元的作用求出實(shí)際輸出，判斷期望輸出和實(shí)際輸出的偏差以及是否達(dá)到最大訓(xùn)練次數(shù)來調(diào)整權(quán)值參數(shù)，最后都滿足條件即可輸出預(yù)測值，完成BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的建立．

3)利用最優(yōu)加權(quán)法對兩種模型的擬合結(jié)果進(jìn)行計(jì)算，確定模型權(quán)重，檢驗(yàn)組合模型的擬合效果，最后結(jié)合單一模型的預(yù)測值得出組合模型的預(yù)測值，完成組合模型的建立．

3 工程應(yīng)用

某水電站位于云南省和四川省交界的金沙江下游河段上，攔河大壩的壩型為混凝土重力壩，壩頂高程384 m，最大壩高162 m，該水電站是我國第三大水電站，是西電東送工程的主要電力來源之一，該電站的建成還有效解決了三峽的泥沙淤積問題，在國民經(jīng)濟(jì)的發(fā)展中發(fā)揮了重要作用．本文以該壩壩頂某測點(diǎn)的順河向位移(2013年7月4日到2015年12月3日觀測的數(shù)據(jù))為例，首先利用ARIMA模型對數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合預(yù)測，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對數(shù)據(jù)進(jìn)行學(xué)習(xí)訓(xùn)練預(yù)測，按照組合原理計(jì)算出兩個(gè)模型的權(quán)重，接著算出組合預(yù)測結(jié)果，然后將3個(gè)模型的結(jié)果放入同一個(gè)表格中進(jìn)行對比，分析得出結(jié)論．表1為壩頂某測點(diǎn)順河向位移的觀測值，圖2為位移測點(diǎn)的時(shí)間序列，其中前92個(gè)數(shù)據(jù)用來擬合，后5個(gè)數(shù)據(jù)用來預(yù)測．

表1 壩頂某測點(diǎn)順河向位移的歷史觀測值

圖2 大壩順河向位移實(shí)測值時(shí)間序列

模型輸入9組參變量[8]：

3.1 建立壩頂順河向位移的ARIMA模型

利用SPSS軟件對壩頂某測點(diǎn)順河向位移建立ARIMA模型，為了使實(shí)測值轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列，將實(shí)測值進(jìn)行數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為一次差分值，新實(shí)測值序列xi與原實(shí)測值序列yi之間的關(guān)系可用下式進(jìn)行表述：

xi=yi+1-yi，i=1，2，…，n

(4)

利用圖檢驗(yàn)法對新的時(shí)間序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)，新序列對應(yīng)的自相關(guān)系數(shù)(ACF)和偏自相關(guān)系數(shù)(PACF)如圖3所示．

圖3 ACF(左)和PACF(右)系數(shù)圖

由圖3可以看出，ACF和PACF都是截尾的，根據(jù)系數(shù)圖和BIC準(zhǔn)則，選擇最小的BIC值對應(yīng)的模型，所以最終確定測點(diǎn)順河向位移的模型為ARIMA(1，1，2)，表達(dá)式為：

zt=-0.586zt-1+0.895at-1+0.414at-2+at

(5)

3.2 建立壩頂順河向位移的BP模型

本文采用的BP網(wǎng)絡(luò)模型選取影響壩頂順河向位移的全部因子數(shù)作為網(wǎng)絡(luò)輸入，即為9個(gè)；壩頂?shù)捻樅酉蛭灰谱鳛榫W(wǎng)絡(luò)輸出，即為1個(gè)；研究表明，3層結(jié)構(gòu)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)如果具有S型非線性函數(shù)，則網(wǎng)絡(luò)可以任意精度近似任何可微函數(shù)，大壩安全監(jiān)測中的變形預(yù)測采用典型的3層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行分析即可實(shí)現(xiàn)預(yù)期目標(biāo)[9]．在對BP網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練時(shí)，本文分別選取17、18、19、20、21等不同數(shù)量的隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)反復(fù)測試，對比不同隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)對應(yīng)的模型誤差，選擇擬合效果最好且沒有過擬合的模型．綜合來看，當(dāng)隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)取為20時(shí)，學(xué)習(xí)過程收斂速度最快，因而網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)為9-20-1．將數(shù)據(jù)歸一化處理，設(shè)定好網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)，部分參數(shù)設(shè)置如下：訓(xùn)練函數(shù)采用LM算法，學(xué)習(xí)函數(shù)采用GDM算法，隱層傳遞函數(shù)采用TANSIG函數(shù)，最后將樣本數(shù)據(jù)投入網(wǎng)絡(luò)即可進(jìn)行學(xué)習(xí)訓(xùn)練．

3.3 建立壩頂順河向位移的組合模型

根據(jù)上述理論部分的原理，編譯了相應(yīng)的MATLAB程序，計(jì)算出兩種模型對應(yīng)的權(quán)重分別為k1=0.1，k2=0.9．3種模型的擬合效果對比見表2，3種模型同一日期的預(yù)測值與相對誤差結(jié)果對比分別見表3和如圖4所示，表4列出了3種模型的誤差平方和對比結(jié)果．

表2 3種模型的擬合效果對比

圖4 3種模型預(yù)測值與實(shí)測值比較圖

表3 3種模型的預(yù)測值與相對誤差

表4 模型誤差平方和對比

由表2、表3、表4和圖4的結(jié)果分析可知：組合模型的擬合效果更好，預(yù)測值總體更接近于實(shí)測值，相對誤差總體小于各單一模型的相對誤差，誤差平方和明顯小于各單一模型的誤差平方和，和預(yù)期的目標(biāo)基本一致，與單一模型進(jìn)行對比，預(yù)測精度有了一定的提高，說明了該組合預(yù)測模型能夠用于大壩安全監(jiān)測中的位移預(yù)測問題．

4 結(jié) 論

本文提出的基于最優(yōu)加權(quán)法的組合預(yù)測模型，綜合運(yùn)用了ARIMA模型、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型和線性規(guī)劃的方法，將單一模型的優(yōu)勢進(jìn)行互補(bǔ)．工程應(yīng)用實(shí)例表明，本文提出的組合模型可以用來預(yù)測大壩壩頂順河向位移的未來值，預(yù)估大壩的工作性態(tài)；對于大壩安全監(jiān)測中不同監(jiān)測量的預(yù)測問題，難于選擇并確定模型的問題可以得到有效的解決．如何將組合預(yù)測模型的使用范圍擴(kuò)大到更多的模型中去，組合的條件以及更完善的組合方法的提出，將是接下來的研究方向．

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