基于尖點突變理論的拱壩安全性分析

陳迪輝 包騰飛 金盛杰 錢秋培

(1. 河海大學 水文水資源與水利工程科學國家重點實驗室， 南京 210098； 2. 河海大學 水資源高效利用與工程安全國家工程研究中心， 南京 210098； 3. 河海大學 水利水電學院， 南京 210098)

拱壩是在平面上凸向上游的空間殼體結構，能充分利用筑壩材料的強度．由于其具有較好的經濟性和安全性，在國內外水利行業得到廣泛使用．目前研究拱壩整體安全度的方法有很多，常見的有剛體極限平衡法、有限元法、模型試驗法等，有限元法通過突變性判據、塑性貫通判據、收斂性判據等，判斷拱壩-地基系統失穩時的安全度[1]．然而采用不同的判據得到的拱壩安全度卻存在著差異．研究表明：突變性判據以壩體或壩肩部分巖體的測點位移變化判斷拱壩的運行狀態．該方法的優點是具有明確的物理意義．但在分析過程中受主觀性因素影響較大，并且考慮到失穩部位的不明確，選取的監測點和相應的位移方向沒有統一的認識，分析結果存在不確定性；塑性區貫通判據概念清楚，意義明確，但是在有限元計算中，塑性區分布受模型材料的彈性模量和泊松比等參數影響較大，且塑性區貫通沒有一個明確的客觀指標，因此采用這種方法來判斷具有局限性；有限元迭代計算不收斂判據所得結果整體安全度偏高，且干擾因素較多，采用的有限元模型網格形式、計算單元的類型、計算邊界范圍、不同計算軟件、選擇的破壞準則等均對模型收斂性有不同程度的影響[2]．

為了解決上述判據的缺點，本文將引入尖點突變模型，以此作為拱壩整體失穩的判據．突變理論是20世紀70年代初期發展起來的理論，可研究連續發展的過程中由量變到質變的突然現象．突變理論的優點在于不需要考慮整個系統的復雜微分方程，僅需幾個控制變量就可以分析系統的特性[3，4]．由于突變研究的是系統整體的變化，體現系統在外界作用下的狀態，對于拱壩這種復雜非線性系統，可以通過局部特征點的變化來反應出整個拱壩地基系統從穩定狀態變為失穩狀態時的變化過程[5，6]．因此，選用關鍵部位的特征變量來判斷拱壩整體安全穩定是可以接受并且可信的．

為分析拱壩安全狀態隨折減系數改變而發生失穩破壞的情況，建立拱壩-地基系統整體安全度分析的尖點突變模型，以特征值Δ的正負作為拱壩整體失穩的判據，Δ>0，拱壩處于穩定狀態，Δ<0，拱壩處于失穩狀態[7]．此方法可以有效地避免常規判據中主觀性的影響，最終實現拱壩安全度的定量分析[8]．

1 尖點突變理論

突變模型有7種不同形式，尖點突變是目前最廣泛應用的模型，形式簡單，只有兩個控制變量，容易構造臨界點，且直觀性強．尖點突變模型的標準勢函數形式為

V(x)=x4+ux2+vx

(1)

式中，x為狀態變量；u，v為控制變量．

V(x)表示一種勢函數，表征系統儲存的能量．尖點突變模型的標準勢函數對應的相空間是三維的，當系統處于穩定狀態時，勢函數僅有一個極值，而當系統處于失穩狀態時，勢函數有多個極值．通過式(2)求解勢函數的極值點，其平衡曲面由式(2)確定，式(2)在對應空間是一個有褶皺的連續曲面，被分為上、中、下三葉．上下葉是穩定平衡區，中葉是不穩定平衡區[9]．

(2)

在平衡狀態下，空間相點在上葉或下葉變化，當空間相點到達上下葉的邊緣時，瞬間跨越中葉，系統發生突變．體系的奇點集必須符合式(1)一階導和式(1)二階導為零的條件，即

(3)

聯立式(2)、(3)，消去X，得到分叉集．根據尖點分叉理論，整理得特征值：

Δ=8u3+27v2

(4)

式(4)可以用于表征系統的狀態，當Δ>0時，系統處于穩定狀態；當Δ≤0時，系統發生突變，處于失穩狀態．

對于三維拱壩模型，隨著材料強度的折減得出每級強度條件下模型的典型點位移值，假定位移是強度折減系數的連續函數，并進行Taylor公式展開，可得：

V(k)=a0+a1k+a2k2+

a3k3+a4k4+…+ankn+…

(5)

式中，a0，a1，…，an，…為待定系數；k為強度折減系數．一般取(5)式4次截斷，可以滿足精度要求，得到

V(k)=a0+a1k+a2k2+a3k3+a4k4

(6)

對上式作變量代換，化為尖點突變模型的標準形式．

V=c4x4+c2x2+c1x+c0

(7)

式中：

(8)

當c4>0時，有

V=y4+uy2+vy+c0

(9)

當c4<0時，有

V=-y4-uy2-vy+c0

(10)

根據尖點分叉集理論，得到分叉方程為：

Δ=8u3+27v2=0

(11)

當Δ=8u3+27v2>0，拱壩處于穩定狀態；當Δ=8u3+27v2<0，拱壩處于失穩狀態[10，11]．

2 拱壩安全度實例分析

2.1 計算模型與計算方法

某混凝土拱壩，最大壩高為55 m，選用的拱壩三維非線性有限元計算模型范圍：壩體上游方向取1倍左右壩高(55 m)，壩體下游方向取2倍左右壩高(110 m)，左右岸壩肩巖體各取1倍壩高，河床建基面以下取1倍壩高．整體剖分17 992個結點，單元數為15 668，其中壩體的節點數和單元數分別為1 130和812．整體模型如圖1所示．圖2為選取的壩體下游面典型點位置分布．邊界條件為底面三向固定約束，上下游邊界為順河向約束，左右岸邊界為橫河向約束．

圖1 整體模型的剖分

圖2 壩體下游面典型點分布

壩體及地基材料采用基于Mohr-Coulomb屈服準則的彈塑性本構模型，壩體及地基的主要材料參數見表1．

表1 壩體、斷層和壩基的材料參數

選用強度折減法分析評價拱壩-地基系統的整體安全度，選取荷載計算工況如下：計算工況為正常蓄水位，其他荷載包括壩體自重和地基自重．施加荷載和邊界條件后，以0.5倍強度折減系數為間隔，逐步降低材料強度，直到有限元計算不收斂為止．然后依據有限元計算收斂情況，進一步加密折減系數[12，13]．

2.2 結果分析

在強度折減系數達到6.0時計算不收斂．從5.0開始，以0.1為間隔，加密強度折減系數再次進行計算，折減系數達到5.9時有限元不收斂．

考慮到位移的物理意義更為明確，且在實際工程中，位移觀測資料具有測量精度高，便于采集等特點，對壩體-地基系統進行安全性分析時采用關鍵測點的位移而非應力．選取壩體下游面8個典型點，繪制不同強度折減系數下典型點位移的變化情況．圖3為典型點位移隨折減系數的變化曲線．

圖3 壩體典型點順河向位移與強度折減系數關系曲線

從圖3可以看出，各典型點位移有相同的趨勢，在折減系數達到5.0前位移基本保持不變，從5.0開始逐漸減小．由于壩肩部位受水壓溫度等荷載影響較小，且位移變化不太明顯，從圖中可以看到右壩肩典型點位移的計算值和變化值均小于拱冠梁截面典型點，對模型的計算精度會產生影響．同時考慮到突變模型應用在實際工程中，位移計的讀取精度有限，故選用壩體拱冠梁處的位移進行特征值的分析．

表2 典型點順河向位移突變特征值Δ

為求解特征值Δ，取對應前5個k與典型點順河向位移進行四次多項式擬合，代入方程式(1)～(11)，獲得不同折減系數ki對應的突變特征值Δ，表2為拱冠梁典型點在不同強度折減系數下的特征值Δ．

由表2可知，在k=5.7時有3個點Δ值大于0，有1個點Δ值小于0．因此，從安全的角度來考慮，通過位移尖點突變模型判據，可以定量地確定該拱壩-地基系統的整體安全度為5.6．

2.3 結論

采用傳統的位移突變判據，依據圖3可以大致判斷出該拱壩-地基系統在正常蓄水位工況下的安全度介于5.5～5.8之間，但無法得出確切的數值．本文引入尖點突變模型，分析典型點位移與折減系數之間的聯系，得出拱壩的安全度為5.6，兩種判據綜合比較可知，位移尖點突變判據的結果在合理范圍內，驗證了尖點突變理論的可行性．

3 結 語

傳統的拱壩失穩判據主觀性較大，無法得出準確的安全度．本文采用尖點突變理論，在有限元分析軟件Abaqus中建立三維拱壩模型，通過特征值Δ的正負，分析拱壩整體安全度，并與位移突變判據的結果相比較，驗證了位移尖點突變判據的可行性．

結果表明，在利用強度折減法研究拱壩安全度時，利用尖點突變模型，可以定量分析拱壩安全度，有效降低人為判定的主觀影響，且所得結論與傳統方法基本一致，但在考慮拱壩-壩基整體安全性時還要參考其他數據資料，如應力、裂縫、橫縫開度等，綜合分析拱壩安全性．

[1] 余天堂，任青文．錦屏高拱壩整體安全度評價[J]．巖石力學與工程學報，2007，26(4)：787-794．

[2] 宋勝武，向柏宇，楊靜熙，等．錦屏一級水電站復雜地質條件下壩肩高陡邊坡穩定性分析及其加固設計[J]．巖石力學與工程學報，2010，29(3)：442-458．

[3] 凌復華．突變理論及其應用[M]．上海：上海交通大學出版社，1987．

[4] 付成華，陳勝宏．基于突變理論的地下工程洞室圍巖失穩判據研究[J]．巖土力學，2008，29(1)：167-172．

[5] 李雪紅，徐洪鐘，顧沖時，等．基于小波分析和尖點突變模型的裂縫轉異診斷[J]．河海大學學報：自然科學版，2005，33(3)：301-305．

[6] 丁曉唐，顧沖時，蔣 勇，等．基于有限元和突變理論的高拱壩壩體穩定研究[J]．河海大學學報：自然科學版，2008，36(2)：175-178．

[7] 胡建平，劉亞蓮．基于突變理論的土石壩綜合安全評價[J]．水力發電，2013，39(7) ： 33-35．

[8] 顧沖時，吳中如．用突變理論分析大壩及巖基穩定性的探討[J]．水利學報，1998(9)：48-51．

[9] 秦四清．斜坡失穩的突變模型與混沌機制[J]．巖石力學與工程學報，2000，19(4)：486-492．

[10] 付成華，陳勝宏．基于突變理論的地下工程洞室圍巖失穩判據研究[J]．巖土力學，2008，29(1)：167-172．

[11] 潘 岳，王志強，張 勇．突變理論在巖體系統動力失穩中的應用[M]．北京：科學出版社，2008．

[12] 蔡美峰，孔廣亞．巖體工程系統失穩的能量突變判斷準則及其應用[J]．北京科技大學學報，1997，19(4)：325-328．

[13] 洪文浩，徐鎮凱，馬連軍．拱壩穩定分析的非線性有限元強度儲備系數法應用研究[J]．南昌工程學院學報，2009，28(6)：52-55．