充分發揮“直觀想象”讓解題更具韻味

張圣官

“直觀想象”指的是借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用圖形理解和解決數學問題的過程.主要包括：借助空間認識事物的位置關系、形態變化與運動規律；利用圖形描述、分析數學問題；建立形與數的聯系；構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路.直觀想象是發現和提出數學問題、分析和解決數學問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行邏輯推理、構建抽象結構的思維基礎.

在數學解題中充分發揮直觀想象，可以讓解題過程具體、生動、形象，更具韻味.

一、利用圖形變換，讓解題過程更形象

英國心理學家查得·斯根普認為，幾何圖形是一種視覺符號，與表象的形成密切相關.因此，圖形以及圖形的加工、變換能力在培養與發展空間想象能力的過程中起了關鍵作用.圖形的變換一般有三種類型：（1）圖形的運動與變式；（2）圖形的分解與組合；（3）平面圖形與空間圖形的對比、類比與轉換。

例1 如圖1，在四面體S-ABC中，∠SAB=∠SCB=∠ABC，∠SBC=∠SAC=∠ACB，∠SBA=∠SCA=∠BAC，求證：SA=BC，SB=AC，SC=AB.

解析

本題用常規方法非常困難.現將四面體S-ABC沿SA，SB，SC剪開后鋪到平面ABC上得△S1S2S3（如圖2）.由條件知，∠S2AB=∠ABC=∠BCS3，從而S2A∥BC，S3C∥AB.同理，S1A∥BC.這樣就有Sl，A，S2共線且A為S1S2的中點，同樣可得B，C分別為S2S3，S3Sl的中點.所以結論成立，即SA=BC，SB=AC，SC=AB.

例2 給出兩塊相同的正三角形紙片，要求用其中一塊剪拼成一個正三棱錐模型，另一塊剪拼成一個正三棱柱模型，使它們的全面積都與原三角形的面積相等.

（1）請設計一種剪拼方法，分別用虛線標示在圖中，并作簡要說明；

（2）試比較你剪拼的正三棱錐與正三棱柱的體積的大小.

二、利用以形助數，讓解題過程更豐富

數學是研究客觀世界空間形式和數量關系的一門科學.有些數學問題，在代數范疇內也可以解決.但是如果加入幾何因素，將“數”與“形”有機結合起來，往往能夠使解法更多樣，讓解題過程更豐富.華羅庚教授對此很準確地進行了論述：“數缺形時少直觀，形少數時難入微。”