多種方法分析二自由度球面并聯機構位置正反解

劉存生，韓先國

(北京航空航天大學 機械工程及自動化學院，北京 100191)

0 引言

傳統的串聯機構是由很多關節按順序連接而成的一個開鏈式結構，這種機構由于自身結構特點而存在承載能力差、剛度低以及精度不高的缺點，限制了其在某些領域的應用。并聯機構則是采用多個并行鏈構成的機構，與傳統串聯機構相比，具有剛度高、高精度、高承載能力、結構簡單緊湊，容易實現組裝和模塊化。球面并聯機構作為并聯機構中的一類，具有十分重要的使用價值，其特點是所有轉動副的軸線都交于一點，動平臺可繞交匯點自由轉動。該機構廣泛應用于機器人的腕關節、肩關節、腰關節，衛星天線的方位跟蹤系統，攝像機定位系統以及機床加工(如機床底座和工件的定位)等。

以二自由度球面并聯機構為例，分別利用螺旋理論、歐拉角公式、矢量分析法3種方法分析其位置正反解，為后續球面并聯機構理論研究開拓了思路。

1 自由度分析

二自由度球面并聯機構屬于少自由度球面并聯機構，一般情況下是5桿球面并聯機構，由靜平臺、5根連桿、5個轉動副及動平臺組成的，動平臺繞軸線中心點作兩自由度的球面運動，2個自由度分別是繞2個軸線的擺動運動。圖1是二自由度球面并聯機構的三維模型。

圖1 二自由度球面并聯機構的三維模型

二自由度球面并聯機構結構示意圖,如圖2所示。圖中1為固定機架，即為靜平臺，S1、S2是兩個驅動機構，桿件2、5、6是3個連桿，7是輸出機構，即動平臺，桿件3、4和動平臺8連接在一起，S3、S4、S5分別是3個轉動副的軸線。在動平臺上建立靜坐標系和動坐標系，坐標原點在動平臺中心點，其中x軸方向和S2軸線方向一致，z軸方向和S1軸線方向一致，坐標系建立符合右手螺旋法則，剛開始，靜坐標系o-x0y0z0與動坐標系o-xyz重合，假設繞x軸轉角是α，繞z軸轉角是β。

圖2 二自由度球面并聯機構運動簡圖

采用旋量理論分析二自由度球面并聯機構自由度，旋量或者螺旋指的是兩個矢量的對偶結合且內積不為零，用螺旋來表示物體的螺旋運動或者物體受到的力螺旋，為了研究機械結構喪失一部分自由度的情況，引進了一個新概念反螺旋。反螺旋和螺旋式互逆的，當機械結構自由度少于6時，其螺旋量必然存在反螺旋[1]。從物理意義上來看的話，互易積為零的兩個旋量，一個反應物體的運動，另一個反應物體的受力情況，因此互易積就是力螺旋對運動螺旋做的功。

球面并聯機構的運動簡圖中，很容易求出機構運動螺旋$i：

$1=[0，0，1;0，0，0]

$2=[1,0,0;0,0,0]

$3=[-sinβ,cosβ,0;0,0,0]

$4=[0,-sinα,cosα;0,0,0]

$5=[S5;0,0,0]

由桿件2、3組成的支鏈2，對應的運動螺旋為：$2、$4，與之相對應的反螺旋系為：

(1)

由桿件5、6組成的支鏈1，對應運動螺旋為：$1、$3、$5，與之相對應的反螺旋系為：

(2)

從$6、$7組成系統的反螺旋中可以看出，其矩陣的秩為4，其中移動副矩陣的秩是3，轉動副的秩是1，表示移動副限制三個自由度，轉動副限制一個自由度，因此球面并聯機構只有兩個轉動自由度。

2 正反解分析

并聯機構位置正解是指根據機構的輸入值，計算動平臺的位姿；位置反解就是已知動平臺位姿，求出輸入機構[2-3]。位置正反解是動力學以及控制系統設計的基礎，因此研究并聯機構的正反解十分必要。本節分別用歐拉角公式、螺旋理論、矢量分析法等多種理論研究二自由度球面并聯機構正反解模型。

2.1 歐拉角法求正反解

對于本機構二自由度球面并聯機構，輸入量是2個電機的輸入角θ1、θ2，動平臺輸出量是FG的法向矢量ν。研究2個電機輸入角θ1、θ2與動平臺輸出矢量ν的關系，如圖3。

圖3 歐拉角法正反解簡圖

根據歐拉角公式，繞動坐標系zxz分別旋轉ψ、θ、φ角，轉動矩陣為R。將3個矩陣相乘得到用歐拉角表示的剛體姿態矩陣R，R=R(z,ψ)R(x,θ)R(z,φ)。

(3)

其中Ψ為進動角，它表示被描述剛體的偏轉方向；θ為章動角，它給出了被描述剛體朝著進動角所指方向偏轉的角度大?。沪諡樽孕?，它與進動角共同描述了剛體繞其自轉軸(前面定義中的z軸)的轉動角度。

同理，可以根據歐拉角求出OF、OG、V在靜坐標系下的坐標。

因此，二自由度球面并聯機構反解：

θ2=arctan(tanθcosψ)

(5)

正解：

(6)

上式求出了動平臺位姿和電機輸入角之間的關系，其中動平臺有兩個轉角是自由轉動的，另一個轉角由這兩個轉角唯一確定的。

2.2 螺旋理論求正反解

圖4 螺旋理論正反解簡圖

其中：

(7)

(8)

其中：

b=‖S5×S4‖=1

(9)

(10)

位置正解：

(11)

(12)

(13)

2.3 矢量分析法求正反解

二自由度球面并聯機構矢量分析法，如圖5，機構由桿D1E、EG、D2F、FG組成。示意圖坐標系以各軸線交點o為坐標原點，x0、y0、z0坐標如圖，各個轉動副軸線坐標系為zi(i=1,2,3,4,5,6)，zi軸線采用矢量ei表示。工作平臺法向量為v。為了研究2個輸入角θ1、θ2與輸出矢量v的關系，將D1E桿旋轉某個角度ε，考察D2F轉動對輸出的影響。

圖5 矢量分析法正反解簡圖

對于桿D1E：

(14)

對于桿D2F：

(15)

平臺輸出量為矢量v,矢量e4和矢量u垂直，因此v=e4×u,則輸出矢量v值如下：

(16)

如圖5矢量e3、e4相互垂直，法向量為u,因此：u=e4×e3，則u的值如下：

(17)

因此位置反解：

(18)

位置正解：

(19)

(20)

以上3種方法在求解并聯機構位置正反解中都有十分重要的應用價值，其中歐拉角公式和螺旋理論基于理論推導，具有普遍適用性；矢量法基于分析機構幾何特征，應用于結構簡單的機構中。在求解正反解時要根據結構特征選擇適當的方法，可以使分析過程更加合理。

3 結語

隨著球面并聯機構應用越來越廣泛，研究球面并聯機構相關理論十分重要。本文通過以二自由度球面并聯機構為例，利用螺旋理論分析自由度及其自由度的類型，并應用歐拉角法、螺旋理論以及矢量分析法等3種理論研究了球面并聯機構的位置正反解，并比較3種方法的應用場合，為后續球面機構的運動學分析和控制系統設計奠定基礎。

[1] 劉延龍，金建新，汪法根. 基于螺旋理論的并聯機構構型設計[J]. 中國機械工程，2003，14(24)：2096-2098.

[2]孔憲文，黃真. 3-RPS控制位置用并聯機器人機構的位置反解[J]. 機械科學與技術，1999，18(3)：424-426.

[3]楊加侖，高峰，戚開誠,等. 正交三自由度球面并聯機構的位置反解新方法[J]. 機械設計與研究，2008，24(3)：30-42.

[4]張均富，王進戈，徐禮鉅. 基于旋量理論的球面并聯機構的動力學解析模型[J]. 農業機械學報，2007，38(4)：122-126.