基于結構動態響應的載荷識別研究

李旭娟，繆炳榮，李國芳，史艷民

(1. 西南交通大學 牽引動力國家重點實驗室 四川 成都 610031； 2. 蘭州交通大學 機電工程學院 甘肅 蘭州 730070)

0 引言

工程中的許多實際結構部件都可以簡化為懸臂梁結構模型，對其進行動態響應分析能夠了解在各種載荷條件下的結構特性，并得到變形、轉矩以及動態力等設計的必要信息[1]。載荷響應分析屬于振動力學的第一類問題，即已知結構上的載荷和結構系統的參數，來求系統的動態響應。在沒有充足數據的情況下來開發一個完整的模型，其屬于振動力學的第二類逆問題，它是在已知結構系統參數的情況下，根據結構承受載荷時測得的內部有限點的響應，反過來求出作用在結構上的載荷，這類問題被稱為動態載荷識別或者載荷重構[2-3]。

X. Q. Zhu和S. S. Law[4]研究了從測量的結構振動響應來識別作用在連續梁上的移動載荷的時域方法 。C.-K. MA等[5]研究了基于Kalman濾波器和回歸最小二乘算法的逆方法來估計了懸臂梁結構的輸入力，仿真結果表明該方法識別效果較好。S.S.Law和Z.R. Lu[6]等研究了將橋面模擬為簡支梁的預應力識別問題，是基于通過模態疊加法求解預應力的動態響應，以及系統識別方法和Tikhonov正則化技術解決逆問題病態的研究。R. Hashemi和M. H. Kargarnovin[7]研究了作用在簡支梁的脈沖力識別，利用遺傳算法來求解被考慮為優化問題的力識別問題，其中，目標函數是分析和測量的響應之差。Z.R. Lu和S.S. Law[8]研究了基于結構響應敏感性來識別結構系統參數和輸入激勵力的方法，包括正弦的輸入力和脈沖輸入力，并且假設輸入力位置已知。Roza Sieniawska等[9]提出了一種線性結構的彈性剛度識別方法，通過整合輸入和輸出信號將動態問題轉換成靜態問題。Tsung-Chien Chen[10]研究了從測量橋梁結構的動態響應來估計輸入力的逆方法，利用了Kalman濾波器(KF)和回歸最小二乘估計器(RLSE)的算法。

1 理論背景

1.1 動力學方程

以懸臂梁模型為研究對象，基于伯努利-歐拉梁理論，對結構加載隨時間和空間變化的外部動態激勵f(x,t)。

圖1 懸臂梁結構受力示意圖

在只考慮彎曲變形的情況下，分析其受力情況，如圖1所示，建立懸臂梁結構在受到外部動態激勵時的彎曲振動方程[12]。

(1)

其中，懸臂梁結構的長度為L，矩形截面面積為A，橫截面尺寸為h×b(b表示梁截面的寬度，h表示梁截面的高度)，截面慣性矩為I，彈性模量為E，梁的密度為ρ，且認為采用的結構材料為均勻線彈性材料。w(x,t)表示在y軸方向x位置、t時刻的梁的撓度響應。具體的材料參數如表1所示。

表1 懸臂梁結構參數

1.2 特征值求解及模態響應

模態分析是用來確定結構振動特性以及結構固有頻率和陣型，是所有動力學分析的基礎，為結構動態特性的分析提供了有效的手段。針對懸臂梁結構的模態分析，其運動學方程為：

(2)

通過求解，得到懸臂梁在彎曲變形下模態主振型的一般表達為：

(3)

其中：i=1，2，3，...，10，表示模態的階數。

根據模態主振型表達式，得到系統的模態響應為：

w(x,t)=

(4)

針對懸臂梁結構的模態響應分析，通過ANSYS求解出系統的固有頻率和主振型。MATLAB計算得到的準確固有頻率值和ANSYS分析得到的固有頻率值的比較如圖2所示。其中，誤差計算公式為：

(5)

圖2 準確值和ANSYS得到的固有頻率值比較

1.3 動態響應

首先進行正問題研究，即已知系統的外部激勵和結構系統參數，求解系統響應。載荷識別的一個關鍵是系統的動態特性(這里指懸臂梁結構系統的動力學方程)，及結構系統所測量的動態響應[15]。動態響應關系到輸入的激勵力的識別，因此動態響應的準確求解也是非常關鍵的。

圖3 兩個輸入力作用的懸臂梁

對懸臂梁結構在x=0.2，x=0.4處同時施加外部垂直動態激勵力分別為：f1(t)=10sin(10t)，f2(t)=20sin(10t+π/2)，如圖3所示。由于是線性系統，施加的外部動態激勵可以表示為簡諧載荷：

f(x,t)=f1(t)δ(x-0.2)+f2(t)δ(x-0.4)。

其中，δ(x)表示狄拉克函數。且δ(x-C)具有以下性質：

(6)

其中：C為常數。

同樣的，根據式(1)，應用分離變量法并進行整理，采用振型疊加法求解，且引入模態坐標，取前10階，得到：

(7)

寫出懸臂梁結構系統的物理參數模型：

(8)

由單自由度無阻尼系統受迫振動問題相關理論，在零初始條件下，得到[14]：

(9)

(10)

其中：式(10)表示在懸臂梁的長度范圍內的積分。將外部激勵力式(10)代入到式(9)中，求解系統在外部動態激勵的響應：

(11)

2 輸入力識別

根據懸臂梁結構的動力學方程以及求解的動態響應，建立系統的動載荷識別模型。力識別問題屬于載荷識別問題研究范疇，而單自由度系統的結構載荷識別則是載荷識別問題中最簡單典型的一種，通常載荷識別問題最終都歸結為單自由度系統的載荷識別模型[15]。

對于懸臂梁結構系統，分別施加2個輸入力載荷，如圖3所示。根據式(11)，進行傅里葉變換，得到系統動態響應的頻域表示形式：

(12)

其中：系統輸出、輸入的傅里葉變換式分別為：

(13)

(14)

(15)

且F1(w)、F2(w)表示系統輸入力載荷，W1(w)、W2(w)表示系統的輸出。

令：

(16)

其中：a表示輸入力作用在懸臂梁結構上的位置，取a=0.2、0.4；k表示懸臂梁結構上的響應所研究的位置，取k=0.6、0.8。

系統的輸入(多輸入)輸出(多輸出)關系為：

[T0.2,0.6,T0.4,0.6;T0.2,0.8,T0.4,0.8][F1;F2]=[W1;W2]

(17)

對式(17)直接求逆可得到輸入力的頻域表示式：

[F1;F2]=[T0.2,0.6,T0.4,0.6;T0.2,0.8,T0.4,0.8]-1[W1;W2]

(18)

再對梁結構的頻域外部激勵F1、F2分別進行傅里葉逆變換，得到輸入力載荷的時域表達式分別為：

f1=10sin10t-0.002 818cos10t

(19)

f2=20sin(10t+π/2)+8.72×10-5cos(10t+π/2)

(20)

圖3和圖4所示為識別的力載荷時間歷程，可以看出，這種方法對于正弦波輸入力具有良好的識別效果，誤差約為0.09%，這是因為所建立的載荷識別模型比較好，使得力載荷識別的精度較高。

圖4 識別的外部激勵F1

圖5 識別的外部激勵F2

3 結語

主要研究了基于系統動態響應來識別結構輸入力的求解方法。對懸臂梁結構施加動態簡諧載荷，根據其數學物理方程求解動態響應，然后對響應進行傅里葉變換和傅里葉逆變換，獲得輸入力的時間歷程。識別結果表明，這種方法對于正弦波輸入力具有良好的識別效果，識別誤差約為0.09%；建立的載荷識別模型比較好，使得動態載荷識別的精度較高。對于單自由度系統的載荷識別問題，該方法具有一定的可行性。

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