基于運動學正解的Delta機器人工作空間分析

韋巖，李冉冉，張魯浩，周萬里，郁漢琪

(南京工程學院 工業中心，江蘇 南京 211167)

0 引言

廣義的并聯機械臂是末端的執行裝置由幾個獨立的運動支鏈連接到基座，形成的閉環運動鏈機構[1]。瑞士的Reymond clavel教授于1985年提出的Delta機器人是應用最為廣泛的并聯機構之一。由于Delta機器人的結構特點，使它只有3個平移自由度，設計、制造、控制都比較簡便，在輕工業分揀與包裝中應用廣泛。機器人的工作空間是衡量機器人工作性能的一個重要性能指標，在進行機構設計、控制、軌跡規劃時，工作空間是首先必須要考慮的重要問題。本文介紹一種Delta機器人的結構及工作原理，使用蒙特卡羅方法，在位置正解的基礎上，結合MATLAB軟件對工作空間進行探索研究。

1 Delta機器人簡介

Delta機器人是由動平臺、靜平臺、3根主動臂以及3根平行四邊形結構的從動支鏈組成[2]，結構簡圖如圖1所示。靜平臺和動平臺一般成正三角形，靜平臺三角形的3邊通過3條運動鏈與動平臺三角形的3條邊相連。每條運動鏈都是由4個球鉸鏈與4根桿組成平行四邊形，3個電機帶動主動臂旋轉，進而控制動平臺的運動。3組平行四邊形采用閉環結構，這保證了動平臺與靜平臺能夠始終保證平行，即保證動平臺只能進行平動，而不能進行任何方向的旋轉。

圖1 Delta機器人機構簡圖

根據Delta機器人的結構及空間機構自由度計算公式[3]來計算其自由度：

其中：M是自由度，n是機構總的構件數，g是n個構件之間的運動副數目，fi是第i個運動副的相對自由度數，根據公式能夠得到Delta機器人的自動度數：

M=6×(17-21-1)+3×6+15=3

2 Delta機器人的運動學模型

2.1 Delta機器人的運動學逆解

機器人的運動學逆解是已知機器人末端在參考坐標系的位姿T的情況下，求機器人各個關節變量qi的取值。運動學的逆解是控制機器人的關鍵，因為只有各關節變量在按照逆解所求值進行運動時，才能使機器人末端達到目標位置。

首先對Delta機器人模型進行簡化處理，由于從動臂運動鏈呈平行四邊形(平面結構)，平行四邊形中的2條相對邊總是平行，所以平行四邊形左右2根桿的運動與上下2邊中點連線的運動始終相同，所以簡化為圖2所示。O為靜平臺正三角形B1B2B3的中心點，O′為動平臺正三角形P1P2P3的中心點，Ei、Pi(其中i= 1,2,3，下同)分別是平行四邊形從動臂上下2邊的中點，分別在2個平臺上建立直角坐標系O-xyz、O'-x'y'z'，且ox⊥B1B3，o’x’⊥P1P3。

設OBi=R，O’Pi=r，則點Bi在坐標系O-xyz中的位置矢量和Pi在坐標系O'-x'y'z'中的位置矢量分別為：

圖2 Delta機器人結構示意圖

設θi是3根主動臂與靜平臺之間的夾角，|EiBi|=l1,|PiEi|=l2,則:

得到等式：

[(R+l1cosθi-r)cosηi-x]2+[(R+l1cosθi-r)sinηi-y]2+[-l1sinθi-z]2=l22

(1)

式(1)為運動學逆解公式，即主動臂與靜平臺張角(輸入量)θi與動平臺中心點(輸出量)位移之間的方程。

化簡式(1)，令R-r=Δr，展開得：

(2)

將式(2)寫成Acosθi+Bsinθi+C=0

(3)

代入式(3)并化簡得到：

(C-A)ti2+2Bti+(A+C)=0 (i=1,2,3 )

這是3個一元二次方程,解方程可得

(4)

根據以上公式，當給定動平臺的位置坐標時，即可以求出3個主動臂的角度，由于每個方程有2個解，所以逆解共有8組。Delta機器人在運行過程中會受到運動轉角的限制，所以并非所有的解都滿足要求，結合實際情況選取“±”中的值，即為最終的逆解。

2.2 Delta機器人的位置正解

運動學正解即已知機器人各個運動關節的關節變量，求解機器人末端(動平臺中心點)的位置。利用式(2)可以得到O'在O-xyz中的位置矢量x,y,z的方程組，該方程組有3個等式，3個未知量(x,y,z)，通過解方程組可以得到末端位置。但是，該方程組是非線性方程組，解析解不易求得，而且還存在多解問題，需要對解進行取舍。哈爾濱工業大學的趙杰[4]采用幾何法，構造出特征四面體，求出它的唯一正解，如圖2所示，分別將E1P1，E2P2，E3P3沿著P1O’、P2O’、P2O’平移，并交于O’點，設此時的E1，E2，E3分別移動到Q1，Q2，Q3點，由于Qi點的坐標已知，而O’到Qi點的距離始終等于l2，可據此列出方程，求出O’的位置坐標。

將圖2中的三棱錐單獨提出來分析，如圖3所示，H為△Q1Q2Q3的外心，K為邊Q1Q3的中點，容易證明O’H⊥△Q1Q2Q3，且H為垂足。

(5)

△Q1Q2Q3的外接圓半徑：

(6)

(7)

OO'=OH+HO'=OK+KH+HO'

(8)

式(8)就是運動學正解方程，已知θ1，θ2，θ3，l1，l2，R，r幾個參數，代入式(5)、式(6)、式(7)、式(8)，即可以求出O’的坐標。

3 Delta機器人的工作空間

機器人的工作空間是機器人操作器的工作區域，它的大小是衡量機器人性能的重要指標[5]。影響并聯機器人工作空間大小的因素主要有：1) 桿長的限制：當桿長達到極限時，動平臺給定參考點也達到了工作空間的邊界；2) 運動副轉角的限制：球面副和轉動副的轉角在實際并聯機器人產品上通常都有限制；3) 連桿的干涉：連桿在運動過程中可能會發生干涉。并聯機器人的工作空間的解析求解是一個很復雜的問題，故采用數值積分法來計算工作空間的范圍。

常用的工作空間的計算方法有幾何法、離散化方法、數值方法等，這幾種方法各有優缺點，在不同機構中所用的方法也不盡相同。

對于Delta機器人而言，選擇動平臺的中心點為參考點，則該點可以到達的點的集合即為Delta機器人的工作空間。Delta機器人結構相對簡單，輸入變量為主動臂的3個轉角θ1，θ2，θ3，動平臺在運動過程中始終保持與靜平臺平行(即保持水平)，所以不存在姿態角度的變化，在分析工作空間時，只要分析單一姿態下參考點所達點的集合。

式(8)為運動學的正解方程，它反映了輸入量與參考點坐標與輸入量之間的關系，通過給定合理的輸入變量并代入該方程，即可得到參考點坐標，這些坐標點的集合就是Delta機器人的工作空間范圍。

4 仿真

Delta機器人仿真使用的結構參數如下：靜平臺外接圓半徑R=195mm，動平臺外接圓半徑r=65mm，主動臂桿長l1=200mm，從動臂l2=500mm。根據實際的結構，主動臂轉角θi限制為20°～160°，通過給定具體數值，使用MATLAB編程，分別使θ1，θ2，θ3從20°～160°之間等間距取50個值，代入正解方程，生成可視化的工作空間仿真圖形，如圖4所示。

圖4 工作空間仿真結果

從圖4中可以清晰地看到Delta機器人的工作范圍，Delta機器人的工作空間呈橢球型，且在靠近z=0平面時會有一段不可達的區間(空洞)，這段區域的大小是由主動臂桿長，從動臂桿長，動靜平臺尺寸共同決定的，通過合理設計各桿長，可以優化Delta機器人結構，使機器人有更大的工作范圍。

5 結語

機器人工作空間的分析對于機械本體設計、軌跡規劃

及控制系統設計都有重要的意義。本文通過對Delta結構的分析，根據Delta結構的特點建立了約束方程，并借此求出了運動學逆解，采用幾何法求取運動學正解方程，并在運動學正解的基礎上，借助MATLAB軟件，得到了Delta機器人的可達工作空間，為衡量Delta機器人性能提供參考依據。

[1] J.-P., 梅萊,黃遠燦. 并聯機器人[M]. 北京：機械工業出版社, 2014.

[2] 梁香寧, 牛志剛. 三自由度Delta并聯機器人運動學分析及工作空間求解[J]. 太原理工大學學報, 2008(1):93-96.

[3] 黃真, 劉婧芳, 李艷文. 150年機構自由度的通用公式問題[J]. 燕山大學學報, 2011(1):1-14.

[4] 趙杰, 朱延河, 蔡鶴皋. Delta型并聯機器人運動學正解幾何解法[J]. 哈爾濱工業大學學報, 2003(1):25-27.

[5] 黃真, 趙永生, 趙鐵石. 高等空間機構學[M]. 北京：高等教育出版社, 2014.