利用思維導圖優化高三學生數學各種題型的解題方法

曹穎慧

（保定市第二中學，河北 保定）

2017年我校申請的保定市教育科學“十三五”規劃課題：《利用思維導圖優化高三學生數學知識體系的研究》開展優化高三學生數學知識體系的實驗研究，是在具有一定知識儲備的基礎上，尋求知識體系的表達方式、探索知識形象化、可視化工具的過程。有助于學生從整體上把握知識概要，局部上內化理解知識點，形成舊知與新情景的鏈接能力，有效避免了對知識的機械性記憶，實現了知識體系之間的貫通理解和轉換。高三的學生已經有高一和高二的基礎知識，在高三可以從兩方面利用思維導圖優化學生的思維體系，第一方面：將高中數學各章節知識進行優化；第二方面：將各種題型的解題方法進行優化。下面是以求函數的最值為例將各種題型的解題方法進行優化。

在高中求函數的最值通常有四種方法：一、知道函數的圖象；二、用重要不等式；三、幾何意義；四、對稱性。

一、要知道函數的圖象需要分析函數單調性

下面從兩類函數出發以幾個習題為例分析函數的最值。一類函數是基本初等函數，包括一次函數、二次函數、反比例函數、指數函數、對數函數、三角函數。另一類是綜合函數需要用導函數分析函數的單調性。

（一）基本初等函數

1．將一條長為l的鐵絲截成兩段，分別彎成兩個正方形，要使兩個正方形的面積和最小，兩段鐵絲的長度分別是多少？

分析：設一段長度為x，則另一段長度為l－x，能推導出兩個正方形的面積和為是一個二次函數。由二次函數圖象可知（fx）在上單調遞增，在上單調遞減，所以 （fx）在處取最小值

2．已知函數 （fx）＝cos4x－2sinxcosx－sin4x。當時，求（fx）的最小值以及取得最小值時的集合。

3．在平面四邊形 ABCD 中，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1。若點 E 為邊 CD 上的點，則的最小值是______。

分析：連接AC，由初中三角形知識容易得到BC＝DC且AC⊥BD。分別以DB、AC為x軸、y軸建立直角坐標系，設點E坐標為（x，y），點 A、B、C、D 的坐標分別為由E在CD上可得經計算得是關于x的一元二次函數，求最小值方法同例題1。

（二）綜合函數

1．一邊長為a的正方形鐵片，從鐵片的四角截去四個邊長為x的小正方形，然后做成一個無蓋的方盒。x多大時，方盒的容積V最大？

分析：這是含有指數函數類型的綜合函數，需要用導數知識求函數的單調性。由導數知識得（fx）在上單調遞減，在上單調遞減，所以函數的最大值是

3．已知函數（fx）＝excosx－x。求函數（fx）在區間上的最大值和最小值。

分析：這是指數函數和三角函數的綜合試題，由函數的導數可知函數上單調遞減，∴函數（fx）在區間上的最大值是最小值是（f0）。這道題的特殊性在于需要對（fx）的導函數再求導分析導函數的單調性。

如果知道函數的圖象就能求函數的最值，導數是很好的分析單調性的工具，知道了函數的單調性就能知道函數的圖象。

二、下面以幾個習題為例分析用重要不等式求最值

2．在△ABC 中，角 A、B、C 的對邊分別為 a、b、c，已知 2（tanA＋

（Ⅰ）證明：a＋b＝2c；

（Ⅱ）求cosC的最小值。

分析：第（Ⅱ）問也是二元函數求最值問題。由第（Ⅰ）問知道代入余弦定理得利用不等式：a2＋b2≥2ab，得得到cosC的最小值為當且僅當△ABC為等邊三角形時，cosC取最小值。

3．已知數列{an}滿足 a1＝33，an+1－an＝2n，則的最小值是____。

注意：在用重要不等式求函數最值時需要注意條件，檢查最值能否取到。

三、下面以幾個習題為例分析用幾何意義求最值

1．直線 l：x＋y＋2＝0 分別與 x軸、y 軸交于 A、B 兩點，點 P 在圓C：（x－2）2＋y2＝2 上，則△ABP 的面積的最大值和最小值分別是？

分析：直線l與圓C相離，AB長為定值，△ABP的面積的大小取決于點P與直線l的距離，由幾何意義可知過點P作直線l的垂線，垂線與圓交于兩點，一點與直線l最遠，一點與直線l最近。

四、下面以幾個習題為例分析用對稱性求最值

1．已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值是________。

分析：設正方體的八個頂點為ABCD—A1B1C1D1，平面α與AB、AD、AA1所成的角都相等，那么AC1⊥平面α。在平面α從點A向點C1移動的過程中，截面的形狀是由三角形變成六邊形再變成三角形，兩邊的情況是對稱的，所以面積是先大再小。這樣平面α過AC1的中點時面積最大，此時截面是邊長為的正六邊形。

注意：不到萬不得已不用這個方法，畢竟這只是猜測，沒有量化。

求最值可能出現在很多章節中，如函數、三角函數、數列、平面向量、立體幾何、解析幾何、概率統計等。不管出現在哪里，我們都要抽絲剝繭得到以核心變量為自變量的函數，再用上面的方法求最值。為了便于記憶，我把這些方法做成了思維導圖，教學生用思維導圖將求最值問題綜合在一起，讓學生能夠掌握知識、掌握解題方法、培養思維習慣、感悟數學思想，形成一個知識體系。