向量模的幾何意義的應用
——一類向量模長最值問題的探究

蘇淑陽 李觀琴

（浙江省富陽中學，浙江 杭州）

向量是近代數學中重要和基本的概念之一，有深刻的幾何背景.向量的模即向量的長度，模的大小就是表示向量的有向線段的長度，即兩點間的距離.如果教師能對模的幾何意義進行深度挖掘，引導學生深刻理解，并靈活應用，就能找到解決與模有關的最值問題的優化解法[1].

平面向量模長的最值問題是浙江省高考命題的熱點之一，筆者對近幾年浙江省高考卷和各地模擬卷中有關平面向量模長的最值問題進行了整理與分析.利用向量模的幾何意義，數形結合，轉化成幾何問題來解決，可以更好地幫助學生理解向量模的幾何意義，提升學生的數學核心素養.

一、體會高考，理解向量模的幾何意義

A

a→

a→-e→成立，故選C

O te→

圖1

e→

B的最小值為1.（ ）

圖2

圖3

圖4

小結：上述四個浙江省高考題皆有共同的地方，將差向量（和向量可以轉化成差向量）的模長問題轉化成共起點的兩個向量終點的距離問題來解決，使得這一類向量模長的最值問題更加簡潔直觀.在各地的高考模擬題中，也有很多考查向量模長的最值問題，我們同樣可以利用向量模長的的幾何意義，通過數形結合的思想解決問題.

二、觸類旁通，應用向量模的幾何意義

圖5

圖6

小結：上述兩個試題都考查了兩個差向量模長的和的最值問題，利用向量模的幾何意義可以將問題轉化成直線上的動點到兩個定點的距離和的最值問題來解決.

圖8

小結：上述兩個試題都將差向量模長的最值問題轉化成了圓上的動點到直線距離的最值問題，與2018年浙江省平面向量高考題有一定的相似性.深刻理解了向量模的幾何意義之后，我們也可以嘗試創編有關向量模長的問題.

圖9

該題在例8的基礎上進行了創編，將差向量的模長最值問題轉化成了兩個圓上的動點間距離的最值問題.

圖7

三、歸納總結，提高解題能力

向量模是平面向量中的重要概念，理解向量模的幾何意義來解決涉及模長的最值問題，充分體現了平面向量的“數”和“形”的雙重性和數形結合的數學思想.本文深入挖掘了向量模的幾何意義，將差向量模長問題轉化成定點到直線的距離、定點到平面的距離、圓上的動點到直線的距離、兩圓上的動點間的距離問題來解決.利用多題一解的形式，充分說明理解向量模的幾何意義的重要性，更好地激發了學生學習向量的興趣，提升學生的數學核心素養.