橢圓公式及定理推導竅門

趙馨妍（重慶市育才中學校高2019級，重慶）

一、橢圓標準方程推導

在目前的高中數學教學中，橢圓標準方程的運用非常廣泛，同時也是高考考查的熱點和難點。橢圓方程的運用經常與其他內容綜合考查，要求學生要深入理解橢圓方程的意義和推導過程。只有掌握了為什么，才知道怎么做。對橢圓標準方程的推導有很多方法，例如可以運用坐標法求動點軌跡方程的方法，借助等差數列的方法，三角換元的方法等來求。下面我們具體的對坐標系法推導橢圓軌跡方程的辦法進行了闡述，希望能幫助大家理解，更好的在實踐中運用。

如圖，建立直角坐標系，使x軸經過點F1，F2，并且點O與線段F1F2的中點重合。

設 M（x，y）是橢圓上任意一點，橢圓的焦距為 2C（C＞0），那么焦點 F1，F2的坐標分別為（-C，0）（C，0）.

又設點M與F1，F2的距離的和等于常數

由定義可知橢圓就是集合

將這個方程移項后兩邊平方，得

上式兩邊再平方得=a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2

整理得（a2-c2）x2+a2y2=a（2a2-c2）

由橢圓的定義知 2a＞2c，a2-c2＞0

令a2-c2，代入上式得b2x2+a2y2=a2b2

這個方程就是橢圓的標準方程，它所表示的橢圓焦點在x軸上。

二、橢圓面積公式推導

橢圓面積公式在高中數學中也是橢圓部分運用公式之一，其定理：如果一條固定直線被甲乙兩個封閉圖形所截得的線段比都為k，那么甲面積是乙面積的k倍。橢圓面積公式的推導可以采用三角代換法、參數方程法、極坐標法、分部積分法等方法。橢圓面積公式的推導方法很多，下面我們選取了比較簡單的一種方法來具體闡述。

推導：分析可知，在一個圓柱上作一斜截面可得一橢圓面

設圓柱oo1的底面直徑AB′=2b，斜截面橢圓的長軸長AB=2a，橢圓面M′與圓柱底面M所成角為，將橢圓圓周n+1等分，設其分點分別為 P′1、P′2、…、P′i、P′1+i、…、P′n、P′1+n，在底面圓周上的射影分別為 P1、P2、…、Pi、P1+i、…、Pn、P1+n，分別連結點 A、P′1、P′2；A、P′2、P′3；、…；A、P′i、P′1+i；…；A、P′n、P′1+n及點 A、P1、P2；A、P2、P3；…；A、Pi、P1+i；…；A、Pn、P1+n。設橢圓面的面積及圓柱底面面積分別為S′、S，因為圓柱底面面積 S′=πb2.

且b=acosa，則仿定理2（若一平面圖形M′是另一凸平面圖形M的射影，且凸平面圖形M與射影平面圖形M′所成角為a，則射影平面圖形M′的面積與凸平面圖形M的面積比為cosa.）可證

因此橢圓的面積公式為S=πab.（其中a、b分別是橢圓的長半軸、短半軸的長）.

三、橢圓焦點弦長公式推導

焦點弦長公式指直線與圓錐曲線相交所得弦長d的公式。直線與圓錐曲線的位置關系是平面解析幾何的重要內容之一，也是高考的熱點，反復考查。直線與圓錐曲線公共點的個數問題、弦的相關問題（弦長問題、中點弦問題、垂直問題、定比分點問題等）、對稱問題、最值問題、軌跡問題等都是高考考查的熱點，掌握焦點弦長公式的推導過程有助于幫助大家加深理解和認識，在各種考察點中靈活運用，提高解題的效率，為高考奠定基礎。下面我們以一個例題開始對橢圓焦點弦長公式進行推導。

直線直線L過右焦點，則可以假設直線為：x=my+c（m不等于0）

代入上式得：（b2m2+a2）+2mcb2y+b2c2-a2b2=0

整理得（b2m2+a2）y2+2mcb2y-b4=0

（2）若=90°，則 m=0，

當且僅當m=0時，過焦點弦長最短

橢圓部分有很多的定理和公式，其中有的更是高考考查的熱點和難點問題。通過對橢圓公式的推導，希望能幫助大家更好地掌握橢圓性質和定理，在解題中能夠更加靈活的運用。