對失效衛星特征點的自適應位姿跟蹤控制

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1. 北京航空航天大學 宇航學院，北京 100191 2. 中國科學院 空間應用工程與技術中心 中國科學院太空應用重點實驗室，北京 100094

對失效航天器的在軌操作對于航天技術的長遠發展意義重大。為對其進行相應操作，需要服務航天器在失效衛星附近?？恳员銠C械臂等設備工作。面向非合作航天器的自主?？考夹g是實施對失效目標近距離?？亢蛯κl星跟蹤瞄準的基礎。為保證安全，避免顧此失彼，同時完成對兩衛星間相對位置和相對姿態的跟蹤，有必要建立追蹤航天器與目標航天器的相對位姿動力學模型，并設計控制器以實現跟蹤相對位姿的期望狀態[1-2]。

為解決這一問題，文獻[3]給出了主動航天器本體坐標系下的相對姿軌耦合動力學方程，并設計了自適應控制律。文獻[4]利用狀態相關黎卡提方程設計了姿軌跟蹤控制器。文獻[5]在姿軌耦合模型下設計了最優滑?？刂破?。文獻[6]提出了基于對偶四元數的自適應位姿跟蹤方法。文獻[7]進一步從減小能量的角度優化了自適應位姿跟蹤控制器。文獻[8]在考慮存在模型不確定性下設計了自適應姿軌耦合控制器。文獻[9]進一步拓展存在質量不確定性和擾動不確定性下的控制器設計。文獻[10]采用Lyapunov最小-最大方法在視線坐標系下設計了自主接近隨動跟蹤控制器。文獻[11]根據目標衛星的繞飛指向任務需求設計了相應控制器。文獻[12]考慮了結合對接機構的相對姿態軌道耦合動力學模型。文獻[13]分析了姿軌耦合項并設計了θ-D次優控制器。

以上的研究工作較好地解決了對目標星和追蹤星質心之間的相對位姿進行建模與控制問題，但對目標上的特征點停靠及姿態跟蹤瞄準任務的研究仍存在不足。事實上，對于非合作目標，若要對其實現精準的在軌操作(如零部件替換等)，則對其上某些特殊位置的懸停及視線跟瞄是必不可少的。且在這一過程中，由于系統存在多種外界未知擾動，以及系統慣性參數不可精確測量獲得，因此對系統的抗干擾能力及其魯棒性提出了較高要求。

為彌補這一不足，文章將對失效衛星上的特征點跟蹤問題轉化為傳統的對質心跟蹤問題。并基于自適應控制理論，設計了針對包含追蹤星質量、追蹤星轉動慣量、系統所受擾動力、擾動力矩和失效衛星轉動慣量在內的5種不確定性的復合自適應反饋控制器。同時，文章對于執行機構受限情況下，設計了控制參數調節過程并對輸出采取限幅措施。

1 相對運動模型

1.1 坐標系建立

為方便問題描述，采取如下坐標系：

1)地心慣性坐標系Oxiyizi(i系)。

2)定義目標星本體坐標系Oxbtybtzbt(bt系)。

3)追蹤星本體坐標系Oxbcybczbc(bc系)，假設xbc軸上搭載有對目標觀測的星載敏感器。

4)參考坐標系Oxdydzd(d系)，原點在追蹤航天器質心，xd軸指向目標星特征點，其他兩軸與xd軸的關系與ybc和zbc與xbc的關系一致。

1.2 問題描述

圖1 相對位置關系示意Fig.1 Relative position relationship diagram

定義S(w)∈R3×3，對向量w=[w1,w2,w3]T滿足：

在bc系下，追蹤星的質心C滿足[14]：

(1)

式中：qc=[qc1,qc2,qc3,qc4]T是表示追蹤星姿態的四元數；{rc,vc,qc,ωc}分別為bc系下的質心C相對于慣性系的位置、速度、姿態和角速度，{f,df}分別為bc系下的質心C所受到的控制力和擾動力，{τ,dτ}分別為bc下質心C所受到的控制力矩和擾動力矩，{m,Jc}分別為追蹤星的質量和轉動慣量；Ω(qc)為姿態矩陣。

假設目標星無機動，并忽略目標星所受干擾力及干擾力矩，則目標星的旋轉狀態被簡化為零干擾零機動情況下的自然旋轉演化狀態。在目標星本體坐標系bt下，目標星質心T滿足如下方程[14]：

(2)

式中：qt=[qt1,qt2,qt3,qt4]T；{rt,vt,qt,ωt}分別為bt系下質心T相對于慣性系的位置、速度、姿態和角速度；Jt為目標星的轉動慣量。

1.3 期望相對位置與姿態

對目標星上的特征點S直接進行相對動力學建模并設計對其懸?？刂频姆椒ㄝ^為復雜，此處通過目標特征點S與目標質心T之間的幾何關系，將對目標特征點的S懸停問題轉化為對目標質心T的懸停問題。

為使追蹤星上的敏感器對準目標星上特征點S，需使前文定義的追蹤星本體坐標系中的xbc軸指向該點，如圖2所示。

(3)

1.4 相對動力學模型

在圖1中，用{vt,vpt}分別表示bt系下目標星質心T和P點相對于慣性系原點的速度，則可得：

(4)

則追蹤星質心C相對于目標星質心T的相對位置、相對速度，相對于目標星的相對角速度、相對姿態{re,ve}可表示為：

(5)

設qe=[qe1,qe2,qe3,qe4]T，{qe,ωe}為表示追蹤星相對于目標星的相對姿態與相對角速度：

(6)

式中：M(qc)為計算四元數差值的特殊矩陣：

(7)

其中，

2 控制律設計

2.1 位姿聯合自適應控制律

假設1：轉動慣量Jc和Jt均是對稱矩陣。

假設2：df和dτ是有界的。

假設3：各狀態量的初始值是已知的。

假設4：變量{rc,vc,qc,ωc}可通過追蹤星上安裝的傳感器直接得到，變量{re,ve,qe,ωe}可通過追蹤星上攜帶的測量設備得到(ωt可由ωc和ωe做差得到)。

假設5：追蹤星上搭載的姿態與軌道發動機均為理想的連續變推力發動機。給出控制律如下：

(8)

(9)

2.2 閉環系統穩定性證明

(10)

(11)

定義：

(12)

(13)

(14)

利用關系：

可得：

(15)

(16)

則有：

(17)

(18)

將式(18)帶入式(17)，可得：

(19)

2.3 執行機構輸出受限下的改進措施

式(9)中所設計的控制律在不考慮追蹤星執行機構能力的情況下可以直接使用，但在初始偏差較大的情況下，可能會造成初期{f,τ}數值較大的情況，使得執行機構難以滿足輸出要求。為了改進這一問題，此處對{u1,u2}中的控制參數大小進行一定程度的調節：

(20)

(i=1,2,3,4)

(21)

除此之外，還可人為對{f,τ}的數值進行強制限幅，定義限幅函數sat(κ,ε)，其中κ為任意實數，ε為任意非負實數：

(22)

對{f,τ}做限幅處理如下：

fi=sat(fi,εf)，τi=sat(τi,ετ),i=x,y,z

(23)

式中：εf和ετ為設定推力和推力矩的限定最大輸出值。通過強制限幅，可使得輸出滿足既定要求。但限定值的大小需選取得當。否則，限定值過小容易造成系統發散，難以收斂。

3 數值仿真

3.1 對失效衛星特征點懸停指向數值仿真

假設失效衛星(目標星)在太空中不受干擾且無機動，呈自然旋轉狀態，初始姿態相對于慣性系為qt=[1，0，0，0]T，并假失效衛星的初始角速度為ωt=[0.1，0.1，0.1]Trad/s。在滿足安全條件的情況下，追蹤星對目標星上一特征點S進行懸停。仿真期望目標為：對目標星特征點進行懸停，同時使追蹤星上搭載的敏感器(搭載于xbc軸上)指向特征點。

圖3 目標星上特征點與期望懸停位置示意Fig.3 Diagram of characteristic points on target and desired hovering position

取追蹤星與目標星的初始狀態相關參數如表1所示。

表1 初始狀態相關參數

假設追蹤星的實際質量為m=450 kg，追蹤星和失效衛星的轉動慣量(單位kg·m2)分別如下：

假設，追蹤星受如下干擾力和干擾力矩：

df=0.2[sin(0.01t)，cos(0.01t)，-sin(0.01t)]TN

dτ= 0.2[cos(0.01t)，sin(0.01t)，

-cos(0.01t)]TN·m

控制器相關參數如表2所示，自適應參數初始值如表3所示。

表2 控制相關參數

表3 自適應參數初始值

取仿真時間50 s，仿真步長0.1 s，采用第2.1節中的控制率，仿真結果如圖4所示。

圖4 各相對狀態跟蹤誤差Fig.4 Relative state tracking error

由圖4可知，當初始狀態給定后，隨著時間推移，相對位置、相對姿態、相對速度,以及相對角速度都漸漸趨近于0。20 s后，系統基本穩定。以上結果表明，上文給出的自適應位姿聯合控制律在存在不確定有界干擾力、不確定干擾力矩和存在不確定追蹤星質量、轉動慣量的情況下，能夠實現預期位姿跟蹤效果。相對位置誤差、相對姿態誤差、相對速度誤差，以及相對角速度誤差在自適應位姿聯合控制律下，均能以較高精度收斂，表明了控制律的有效性。

為了確定上文給出的自適應控制律在仿真算例中對各相對變量的末端控制誤差量級，取45～50 s時觀察各相對變量，如圖5所示。

圖5 穩定時各相對誤差Fig.5 Relative state error in stable situation

由圖5可知，在45～50 s末端穩定狀態時，相對位置誤差(約1 cm)和相對姿態誤差(轉為角度誤差后約0.01°)在10-2量級，相對速度和相對角速度誤差在10-3量級。除去控制參數的影響，引起位置跟蹤誤差的原因還與目標星的旋轉有關。由于特征點跟隨目標星旋轉，其懸停點亦隨之變化，故追蹤星不得不時時追蹤懸停點，這也是對特征點懸停與傳統質心懸停的區別所在。對于姿態誤差，受轉動慣量不確定性的影響相對較大，這是由于轉動慣量是三維矩陣，對系統影響比其他的不確定項更明顯，對姿態跟蹤造成一定難度。但考慮到追蹤星的觀測器件(如相機等)一般均具有一定視場，故此誤差仍可被接受。

3.2 不確定性參數增大后的數值仿真

為觀察追蹤星的質量m、轉動慣量Jc、追蹤星所受干擾力df、干擾力矩dτ及目標星的轉動慣量Jt的不確定性對系統的影響。使第3.1節中算例m的值和Jc、Jt的主對角線值設置為每秒遞減3個單位，并將df和dτ放大50倍，其他條件同第3.1節，再次仿真，結果圖6所示。

圖6 增加偏差后的跟蹤曲線Fig.6 Tracking curves with adding deviations

由圖6可得，系統在受到追蹤星的質量m、轉動慣量Jc、目標星轉動慣量Jt和追蹤星所受干擾力df及干擾力矩dτ多種偏差共同干擾時，位置跟蹤誤差增至約7 cm，姿態跟蹤誤差增至約0.1°(由四元數轉化而得)，速度和角速度跟蹤精度下降1個量級?？梢?，各相對狀態在自適應控制律的作用下，仍然能夠以較高精度收斂，系統具有較強的魯棒性。

3.3 輸出受限下的數值仿真

為驗證輸出受限狀態對系統的影響，此處采用第2.3節中對控制律進行的改進。選取控制律調節參數Fk1=3.4，Fk2=3.8，Fk3=1.8，Fk4=2.2，最大輸出力εf=50 N和最大輸出力矩ετ=20 N·m。其他仿真條件見第3.1節，數值仿真結果如圖7～9所示。

圖7 調節參數后各相對誤差Fig.7 Relative state error after adjusting parameters

圖8 調節參數后的控制力與控制力矩Fig.8 Control force and control moment after adjusting parameters

圖9 調節參數后的控制力與控制力矩Fig.9 Control force and control moment after adjusting parameters

為計算懸停指向過程代價，用Ef和Eτ分別表示平動和轉動所需沖和沖量矩：

(24)

按照式(24)分別計算不考慮輸入受限改進措施時(第3.1節中算例)所需沖量與沖量矩與考慮后所需的沖量與沖量矩，作如下對比(橫坐標3.1和3.3分別表示第3.1節和第3.3節中的算例)。

結合圖7和圖4可看出，對輸出受限情況施加調節措施后，相對位置、速度、姿態、角速度跟蹤誤差量級未改變。結合圖8可知，調節后的控制力與控制力矩可按照設定最大值進行限幅，有效地限定了系統所需輸出。圖9對比了第3.1節中未調節的算例需求沖量和沖量矩與此處(第3.3節)調節后的算例需求沖量和沖量矩，可看出調節后的算例需求沖量和沖量矩均有下降。其中，所需沖量下降9%，所需沖量矩下降30%?？梢?，增加控制參數調節環節和限幅后，系統可在幾乎不影響跟蹤精度的情況下限定輸出，同時減小所需總能量。

綜上所述，針對追蹤星對失效衛星上特征點的位置懸停和姿態跟蹤瞄準任務，在存在目標性轉動慣量、追蹤星質量、轉動慣量和追蹤星所受擾動力和擾動力矩不確定性的情況下，相對于任務期望狀態的相對位置、相對姿態、相對速度和相對角速度在位姿跟蹤自適應控制律的作用下可在有限時間內收斂，且跟蹤精度高。在各不確定項參數拉偏的情況下，追蹤星仍然可以較高精度完成任務，系統具有較強魯棒性。在針對輸出受限情況添加控制參數調節環節并對控制力與控制力矩限幅后，系統能在不影響跟蹤精度的情況下按設定值限制輸出并減小跟蹤所需能量。

4 結束語

論文提出了一種在滿足姿態跟蹤瞄準情況下針對失效衛星上特征點的懸停的控制方法，通過上述研究工作得到的結論如下：

1)給出的自適應位姿控制律使得追蹤星在存在追蹤星質量、轉動慣量、所受擾動力、擾動力矩和目標星轉動慣量不確定性的情況下完成對失效衛星上特征點的位置懸停和姿態跟蹤瞄準任務。

2)在數值仿真條件下，穩定時的跟蹤相對位置和相對姿態誤差在10-2量級；相對速度和相對角速度誤差在10-3量級。

4)在拉偏追蹤星的質量和轉動慣量值，放大追蹤星所受擾動和擾動力倍數的情況下，相對位置與姿態跟蹤誤差分別增至約7 cm和0.1°，速度和角速度跟蹤精度下降1個量級。

5)針對輸出受限，調節控制參數同時對控制力與控制力矩限幅后，系統跟蹤精度不變，所需控制力與力矩可在規定范圍內，同時系統跟蹤所需沖量減小9%，沖量矩減小30%。

論文所提出的自適應位姿跟蹤方法對失效衛星特征點位姿跟蹤任務具有一定參考價值。

References)

[1] 崔乃剛，王平，郭繼峰,等. 空間在軌服務技術發展綜述[J]. 宇航學報，2007，28(4):805-811.

CUI N G，WANG P，GUO J F，et al. A review of on-orbit servicing[J]. Journal of Astronautics，2007，28(4):805-811 (in Chinese).

[2] 梁斌，杜曉東，李成，等. 空間機器人非合作航天器在軌服務研究進展[J]. 機器人，2012，34(2):242-256.

LIANG B，DU X D，LI C，et al. Advances in space robot on-orbit servicing for non-cooperative spacecraft[J]. Robot，2012 ，34(2):242-256(in Chinese).

[3] PAN H， KAPIL V. Adaptive nonlinear control for spacecraft formation flying with coupled translational and attitude dynamics[C]∥Proc. of 40th IEEE Conf. on Decision and Control.Orlando:IEEE，2001：2057-2062.

[4] STANSBERY D T，CLOUTIER J R. Position and attitude control of a spacecraft using the state-dependent Riccati equation technique[C]. The 2000 American Control Conference,Chicago,USA,28-30 July,2000. Chicago:IEEE，2000：1867-1871.

[5] WANG X，YU C. Unit dual quaternion-based feedback linearization tracking problem for attitude and position dynamics [J]. Systems & Control Letters，2013，62(3)：225-233.

[6] FILIPE N，TSIOTRAS P. Adaptive position and attitude-tracking controller for satellite proximity operations using dual quaternions[J]. Journal of Guidance Control & Dynamics，2015，38(4)：566-577.

[7] GUI H，VUKOVICH G. Dual-quaternion-based adaptive motion tracking of spacecraft with reduced control effort[J]. Nonlinear Dynamics，2015，83(1-2)：1-18.

[8] SINGLA P，SUBBARAO K，JUNKINS J L. Adaptive output feedback control for spacecraft rendezvous and docking under measurement uncertainty[J]. Journal of Guidance Control & Dynamics，2015，29(4)：892-902.

[9] SUN L，HUO W. Robust adaptive control of spacecraft proximity maneuvers under dynamic coupling and uncertainty[J]. Advances in Space Research，2015，56(10)：2206-2217.

[10] 高登巍，羅建軍，馬衛華. 基于Lyapunov方法的非合作目標接近與視線跟蹤[J]. 西北工業大學學報，2013(4)：577-583.

GAO D W，LUO J J，MA W H. Approaching and tracking a maneuvering non-vooperative object using Lyapunov approach[J]. Journal of Northwestern Polytechnical University,2013(4):577-583(in Chinese).

[11] 蘇晏，黎康. 近距離星間相對姿軌耦合動力學建模與控制[J]. 空間控制技術與應用，2014，40(4)：20-25.

SU Y，LI K. Coupled relative attitude-orbit dynamics and control of a near satellites[J]. Aerospace Control and Application，2014，40(4)：20-25(in Chinese).

[12] 靳永強，張慶展，康志宇，等. 服務航天器超近程逼近失控目標的建模與控制[J]. 中國空間科學技術，2015，32(3)：1-9.

JIN Y Q，ZHANG Q Z，KANG Z Y，et al. Modeling and controlling for servicing spacecraft approaching a tumbling target in close proximity[J]. Chinese Space Science and Technology，2015，32(3)：1-9(in Chinese).

[13] 李鵬，岳曉奎，袁建平. 基于θ-D方法的在軌操作相對姿軌耦合控制[J]. 中國空間科學技術， 2012， 32(4)：8-14.

LI P，YUE X K，YUAN J P.Coupled control of relative position and attitude based on θ-D technique for on-orbit operations[J]. Chinese Space Science and Technology，2012，32(4)：8-14(in Chinese).

[14] XIN M，PAN H. Nonlinear optimal control of spacecraft approaching a tumbling target[J]. Aerospace Science & Technology，2009，15(2)：79-89.

[15] 閔穎穎，劉允剛. Barbalat引理及其在系統穩定性分析中的應用[J]. 山東大學學報(工學版)，2007，37(1)：51-55.

MIN Y Y，LIU Y G，Barbalat Lemma and its application in analysis of system stability[J]. Journal of Shandong University(Engineering Science)，2007，37(1)：51-55(in Chinese).