橢球罩作用下的水下爆炸沖擊波反射聚焦模型*

郭 銳，劉 磊

(1.南京理工大學機械工程學院,江蘇 南京 210094;2.埃因霍溫理工大學機械工程系,荷蘭 埃因霍溫 5600MB)

由于能帶來可觀的定向性和壓力增益，沖擊波聚焦技術被廣泛應用于醫療、探測和水聲對抗中[1-2]，但相應的工程技術還不完善，對沖擊波反射和聚焦機理的研究正日益受到重視[3-4]。

研究人員首先對波聚焦進行了大量實驗和數值觀察。Müller[5]通過實驗研究了反射罩幾何參數和材料特性對水下波反射聚焦的影響。陳景秋等[6]、韋春霞等[7]結合雙特征法和CCW法模擬了球面反射罩條件下的水下聚焦過程，并指出實際焦點往往不與幾何焦點重合，但雷開卓等[8]則通過多次實驗結果觀察到幾何焦點也可能是實際焦點。Taieb等[9]利用帶寬優化后的WENO格式模擬了沖擊波聚焦過程，并對比實驗結果指出了該方法對流動特性細節捕獲的有效性，Oshita等[10]則利用高速攝影技術可視化水下聚焦細節，發現聚焦后的氣泡破裂引起的壓力可與焦區壓力比肩。結合實驗和數值模擬，張振福[11]進行了更細節性的研究，特別指出金屬罩變形會引起實際焦點的輕微后移。

在理論研究方面，Coleman等[12]、Hamilto[13]分別引入一維頻域和改進線性頻域模型來模擬反射聚焦沖擊波的傳播過程。王鴻樟等[14]則基于線性聲學理論，對空氣背景下的內外聚焦聲場進行建模分析，并指出焦平面位置的聲壓可近似為高斯分布。Cates等[15]進一步考慮了沖擊波的非線性，將幾何動力學應用于聚焦分析過程中，提出了反射壁面附近的三波點形成機理。Zhou等[16]則從等效源角度，將橢球罩等效為一個具有自適應球面波分布的聚焦源，據此研究了空氣中的聚焦過程。對于水介質背景，Liu等[17]通過對反射模型的近似化，建立起剛性無損反射條件下的非線性聚焦模型，模擬結果表明理想情況下的動力學焦點出現在幾何焦點之前。

綜上所述相對于水下情形，當前模型多著眼于空氣中的反射聚焦過程，且對于實際焦點的位置，現有結論間存在一些矛盾，故需進一步探究與解釋。本文中提出水下沖擊波(爆炸源)在橢球罩作用下的反射聚焦壓力模型，并對比文獻[11]的實驗進行初步驗證，此模型可在一定程度上解釋現有矛盾。

1 聚焦模型

線性聲理論表明從F1發出的波在經橢球罩作用后將到達F2，如圖1[11]所示。一般而言聲與光波符合該規律，但對于沖擊波[6,18]，入射角不等于反射角，且反射波束將在到達軸線前發散。

建模假設如下：(1)忽略聲源尺寸影響并考慮剛性反射罩；(2)忽略靜水壓力且并考慮常溫環境；(3)內聚焦過程中，各反射波束存在時間差，能夠沿著直線獨立傳播和匯聚；(4)反射波前和邊緣衍射波前均為球面；(5)忽略雜質和氣泡引起的空化效應，且忽略1次壓力波后續的脈動波。將整個過程分為自由傳播，壁面反射，定向聚焦階段，并逐一討論。

1.1 自由傳播

自由傳播中只存在直達波。水下沖擊波峰值壓力和衰減常數(指數衰減形式)與傳播距離的經驗關系為[19]：

(1)

式中：pm為峰值壓力，R為傳播距離，Kp和κ為pm對R的相似常數，m為裝藥質量，r為裝藥半徑，τ為衰減常數，Tp和γ為τ對R的相似常數。引入指數余弦形式描述壓力隨時間的波動衰減特征[20]：

φ(t)=exp[(t-t0)/τ′]cos[ω(t-t0)]

(2)

式中：t0為沖擊波前的到達時間，τ′為采用指數余弦形式代替常規指數形式時的等效衰減常數，ω為壓力脈動頻率。將兩式結合可快速計算自由傳播階段的壓力場，及其他階段的直達波壓力場。

1.2 壁面反射

壁面反射為瞬時階段，且不同來向波束的反射時刻不同。考慮規則反射并結合假設(1)，可寫出水中的入射和反射沖擊波關系[18]：

(3)

進一步考慮入射波的透射損失，得到的反射波后壓力修正為：

(4)

式中：反射系數Z(大小在0～1之間)由材料特性決定。將橢球罩內壁幾何離散化，利用式(3)～(4)可計算各入射波束的反射壓力和角度，作為后續聚焦過程計算的初值。

1.3 定向聚焦

定向聚焦分為內、外聚焦，分別定義為所有入射波束均完成反射過程之前、后的階段。在內聚焦中，各反射波束沿直線傳播，類似于線性匯聚，故可獨立考察各反射波束的傳播過程；進入外聚焦過程后，各反射波束將共同移動，因此相互干涉，從而不再能夠沿直線傳播，并會在焦區的高壓作用下發散開。定義幾何焦點連線中點為原點，近似描繪反射聚焦過程的波前與波法線幾何形狀見圖4。

在圖4中所示：Cw為波前中心，Ew為反射罩邊緣點，Uw為反射波法線上的點，Ow為波法線在Uw處的切線與軸線的交點；聚焦邊界為反射與邊緣衍射波接觸面。壓力分布的數值計算域可用各反射波束的波法線和波前幾何形狀確定。將反射罩內壁劃分為N個單元后，考慮波前中心位置為參考點并結合假設(5)，可將反射元j對應的反射波前及聚焦邊界外的衍射波前幾何方程分別表示為：

(5)

式中：“| |”表示兩點距離，(xw,yw)為波前上任意一點的坐標；(xo,yo)為Ow的坐標，(xe,ye)為Ew的坐標，(xu,yu)為Uw的坐標，(xc,yc)為Cw的坐標，h為人工邊界(壓力為零)對應的徑向坐標；對于yu的確定，考慮各反射元有且只有一條對應的反射波法線，并在折轉點位置引入一段圓弧來粗糙過渡，因此將單元j對應的反射波法線視作兩段直線段和一段圓弧段的組合。

1.3.1內聚焦

若不考慮介質吸收效應，則相同沖擊波的波前“1”和“2”間功率關系可寫作：

(6)

式中：A、p、ρ、和c分別為波前面積、相應的介質壓力、密度和聲速。根據水的Tait方程，密度和聲速關系可表示為[6]:

(7)

考慮B?p，則式(7)可簡化為[17]：

(8)

再將式(8)帶入式(6)，并考慮沖擊波功率吸收效應，可得完整的壓力關系式：

μ1Λ*2=(μ2Λ*+μ3)(μ4Λ*+μ5)

(9)

式中：Λ*=Λ[R1/(R1+ΔR)]η,指數η可通過實驗確定；Λ=p2/p1,μ1=A2/A1,μ2=p1/(Bn),μ3=1-μ2,μ4=p1(n+1)/(4Bn),μ5=1-μ4。將假設(3)與式(9)相結合，可得內聚焦過程中的壓力分布。

1.3.2外聚焦

將各波前視作一個壓力不均勻的整體，則相鄰的整體波前間的功率關系可寫作為：

(10)

其中對于p(xw,yw)的形式，假設能用一個顯式函數充分近似：

(11)

在此假設下，波前壓力分布將具有前向遞推關系。至此完成了整個反射聚焦壓力分布建模。

2 模型驗證

基于文獻[11]的實驗條件，利用所建模型對聚焦過程進行模擬和驗證。橢球反射罩的長半軸a為500 mm，短半軸b為250 mm，深度L為300 mm，材料為不銹鋼，聲阻抗為45.6×106kg/m2·s遠大于水介質聲阻抗1.48×106kg/m2·s，典型正反射系數0.92；液電聲源放電間隙為2 mm，輸出電壓22.627 kV，電容1×10-6F；采用138A05壓力傳感器，各軸向傳感器與聲源距離依次為233、433、643、723、800、866和953 mm。

2.1 材料與介質參數

由于模型中使用爆炸源，因此需要首先按照能量等效理論對液電源進行等效TNT球形裝藥處理。相應地，等效TNT裝藥質量m=0.012 1 g，等效TNT裝藥體積V=7.43 mm3，等效TNT裝藥半徑r=1.2 mm，爆熱Q=4 227 J/kg，密度ρ=1 630 kg/m3。

進行反射聚焦模擬前，需要確定材料和介質參數Kp、κ、Tp、γ和η。首先利用直達波壓力數據[11]來確定壓力隨爆距的相似系數Kp和κ，擬合結果如圖5所示。

由圖5可知，擬合值Kp=27.75 MPa、κ=1.17和R2=0.987 7。盡管擬合結果與經驗值有出入，但是能較好地反映該實驗真實情況，且不影響模型本身使用，再根據文獻[18]可得Tp=0.084 ms，γ=-0.23。圖6表明，與直達波相比，聚焦壓力脈動周期隨著傳播距離的增加而明顯增大。通過指數擬合可近似描述聚焦壓力脈動周期Tf和傳播距離R間的關系為：

Tf(R)=0.012 5e1.121RR/r>12

(12)

以初始波前中心壓力為參考，利用最小二乘法可估計出參數為0.63。

2.2 波前壓力分布函數

(13)

2.3 壓力歷史

對軸向特定位置的壓力歷史進行求解，并與文獻[11]實驗結果對比如圖8所示。圖中所示的曲線1～7所屬軸向傳感器距離聲源依次為233、433、643、723、800、866和953 mm。可以看出7個位置所計算出的壓力波形(忽略后續脈動波)與文獻[11]中實驗結果相似(文獻[11]中的實驗值為虛線所示，本文中所建模型得到的計算值為實線)，靜水聲速設為1 500 m/s。隨著反射聚焦波的軸向傳播，峰值壓力先是增加，在經過動力學焦點后不斷減小，拉伸波同樣產生聚焦現象，并帶來明顯的局部負壓，但是其變化較為平緩，且峰值相比于正壓峰要出現得更早，約提前20 mm；計算所得波前到達時間稍小于測試值，可認為是初始聲速設置偏差所引起的；計算所得聚焦正壓的極大值小于實驗結果約8%，且相應的動力學焦點(幾何焦點前約50 mm處)比測量值提前約35 mm出現，究其原因：實際的反射罩在沖擊波作用下將產生一定的壓縮變形和背向位移(約數十微米[11])，使得反射角輕微減小，反射波的傳播軌跡受到影響，因此“折轉點”將向F2靠近(見圖4)，使得動力學焦點向正軸向方向偏移，且相應的焦斑尺寸也會縮小，從而產生比理想情況更高的聚焦壓力。可見該機制為動力學焦點在F2處及其后方出現提供了可能性。綜上所述，所建模型能較好地描述各位置上的聚焦壓力特性，尤其對于正壓峰值，預測誤差多在10%以下。

3 全場結果與討論

為了細致地觀察聚焦過程，給出壓力分布隨時間的變化關系如圖9所示。圖中可以看出經反射后，波前壓力突然增加；在內聚焦中，各反射元對應的反射波束陸續匯聚到同一波前上，使得近軸的局部高壓區不斷擴展，但由于存在先后關系，故各波束間干涉不明顯，從而壓力隨傳播距離的衰減效應占據主導，使得整體波前的壓力趨于減小，幾乎沒有聚焦效果；在外聚焦中的前半階段，各反射波束均趨于向幾何焦點附近移動，由于聚焦區域內較外側的波束法線與軸線的夾角較大(銳角)，故其除了壓縮前進方向上的介質外，還會對較內側介質產生側向壓縮作用，因此越靠近軸線，介質受到的側向壓縮作用越強，壓力增加得越快，換言之，能量趨于向近軸區集中，最終局部高壓區的快速收縮將占據主導地位，使得聚焦壓力快速增加，但相應的焦區阻抗也不斷增大；當到達一極限位置時(動力學焦點附近，不一定重合)，較外側的波束再也無法對較內側介質產生側向壓縮作用，相反地，較內側介質由于具有更高的壓力，開始壓縮較外側介質，使得高壓區再次不斷擴展，能量開始向側向擴散，相應的聚焦壓力快速減小；整個波前的形狀不斷改變，特別是在動力學焦點附近時，中間部分幾乎為平面，這是由于越靠近軸向，介質密度越大，沖擊波傳播速度越快；拉伸波也發生了明顯的聚焦現象，并引起一道持續收縮的拖尾，可以認為是波后水介質存在慣性，難以立即跟上波前運動所引起的。

全場的聚焦壓力峰值和增益分布云圖分別如圖10～11所示。從圖中可以看出，由于橢球反射罩的聚焦作用，使得大部分爆炸能量集中于軸向方向，并產生出具有一定幾何尺寸和較高的壓力增益區(9.5～12.5 dB)，峰值增益約12.5 dB，高壓力增益區的軸向跨度約500 mm(a的長度)，側向跨度約50 mm(0.1a的長度)；從反射位置開始，壓力峰值先減小，然后緩慢增加直至在動力學焦點附近達到極大值，之后再次緩慢減小。此外，應當注意波前壓力分布近似函數(誤差見圖7)引起的，內/外聚焦壓力場間的輕微不連續現象。綜上所述，聚焦效應很好地削弱了波壓力隨距離的衰減作用，使得近軸方向上的沖擊波能夠在較長的距離內保持高壓力進行傳播。

4 結 論

建立水下爆炸沖擊波經橢球罩作用下的非線性聚焦模型，并結合實驗結果進行模型驗證和全場壓力變化模擬，主要結論如下：

(1)雖然存在一些粗糙的假設，但所建模型依然能在一定細節上反映聚焦機理，并對聚焦壓力提供良好預測，尤其是正壓峰值的預測誤差多在10%以下，基本滿足工程要求；

(2)橢球反射罩能有效地實現水下沖擊波聚焦，產生一個具有和長半軸長相當跨度的狹長增益區(9.5～12.5 dB)，使得近軸方向沖擊波隨距離的衰減效應顯著削弱，此外還伴隨著拉伸波聚焦和持續拖尾現象，出現了局部負壓區，相應峰值要早于正壓峰值出現；

(3)理想情況下的動力學焦點將處于另一幾何焦點之前，但實際中反射罩在沖擊波作用下會發生些微變形和背向位移，使得動力學焦點重合于幾何焦點，乃至其后方成為可能。

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