基于拓展微分方程模型的高等教育成本分擔

茍靈生，柯什托巴耶娃·阿勒馬古麗

（1.西北工業大學明德學院，西安710124；2.西安交通大學管理學院，西安710049）

0 引言

高等教育是一種特殊活動過程和資源耗費。高等教育成本是高等教育活動過程當中所要耗費的教育資源價值，它以有效、有用價值的使用和社會必要勞動耗費所支付的尺度來確定。它具有補償的多元性、成本與效益的差異性和正外部性等特征。

本文通過微分方程模型的拓展，擬從如下高等教育成本分擔相關問題展開探討：

問題1：高等教育成本的分擔是保證了高等教育正常運轉，是在個人分擔的比例與貧困生的無支付條件之間保持穩定或偏移之間進行均衡。

問題2：高等教育成本正外部性，存在高校收費的極值現象，分擔的極小值，極大值和穩定值是國家分擔、社會分擔和個人分擔所占的比例及最優化。

問題3：依據高等教育成本分擔的現實狀況，高校教育成本能否穩定、提高或者降低收費，取決于高校學生個人分擔的教育成本所占比例指數。

1 基于高等教育成本分擔概念描述

1.1 高等教育成本的概念

從經濟學的角度，教育成本被看成是各高等學校開展教育活動消耗的資源量。而教育異于物質生產領域的活動。高校向學生收取的學費不同于流通領域中商品或服務的價格，學生個人或家庭分擔了教育培養成本，這樣是對高等學校提供的部分成本補償。因此，教育成本是指各高等學校開展教育活動消耗的所有資源的價值量。

對高等教育成本的定義，主要取決于定義者的視角和目的。宏觀上成本把社會作為一個整體，一切以高等教育為目的活動的產出和結果都作為成本；微觀上的成本關注教育機構組織和活動，主要用于形成各種產出的所有經濟開支；學生視角的成本定義則包括所有學費、開支及機會成本。

1.2 非競爭性成本分擔的收費理論

高等教育由政府公共部門來提供，從“經濟人”視角來看，一種產品若是純粹的私人產品，則由市場運行來滿足供求的平衡。市場在提供上如果是失靈的，競爭性的市場不可能達到公共產品的帕累托最優，由于高等教育具有非排他性，所以，每個消費者是否享受到公共產品的好處，每個消費者都要付費。

高等教育成本主要分為以下幾種：

（1）特殊成本：高等教育使用的特殊成本包括教職員工的工資、額外福利、差旅以及燃油費等。經過換算全日制學生、圖書館、實驗室、計算機、以及用于教學、科研和服務產出的資源。

（2）活動投入：包括高校學生注冊管理成本、教學研究成本、學生服務成本以及建筑物維護費用等。

（3）部門成本：根據組織單位來劃分，比如說系、學院或整個學校各職能部門支出。

（4）歸屬性成本：成本按照其歸屬也可以分為直接成本、間接成本和全成本。直接成本是可以直接歸屬到某一特定組織單位的成本；間接成本主要用于轉移支付、資金合作等，導致目標成本從一個單位轉嫁到別的單位；全成本指一個單位的目標成本再加上從其他單位結轉而來的成本之和。

（5）變化成本：成本可以按照變化程度分為固定和可變成本。固定成本是指不隨活動變化的資源成本，可變成本是指直接隨著活動水平（如學生數量或者產量）變化的資源成本。

（6）產出成本：這類成本指標主要包括學分、畢業數量、研究出版量、超常規服務產出等。

2 高等教育成本分擔的影響因素

2.1 高等教育成本分擔的穩定因素

一個高等學校的主要教育支出是由政府所分擔的教育成本比例中，一是政府部門的財政預算，二是高校受教育者個人的分擔部分的所占教育成本比例，三是高等學校一部分貧困生無支付能力與較高的高等教育收取的學費所決定的，大量事實證明，提高高等教育成本效率措施是使每個高等學校都盡量籌措資金，然后將資金籌集到高等學校教育的效益最大化和質量上來。高等學校考慮貧困生支付能力、高等學校收取學費都是保持或者穩定高等教育成本的充分必要條件。

在這些影響因素中，高等學校的學術項目規模、學術項目類型（主要指碩士生、博士生培養）都對高等教育成本具有很大影響。此外，高等學校人事津貼、服務質量也可能對教育成本有重要影響。

從市場經濟地位來看，高等教育的付費使得受教育者獲得最廣泛的、與他人相同的自由，獲得的優等的待遇、地位、職位和利益，相對于政府部門來說，他們的主要目標是政府的財政效率優先投資到教育領域，同時，他們也會考慮到個人與他人相應地兼顧相同的自由公平的教育機會。

2.2 高等教育的成本分擔的函數因素

目前，中國高校辦學經費的籌集仍是以國家投資為主，私人和其他社會力量投資相結合的模式，這與過去國家“包辦”的模式有區別。從社會主義市場經濟理論方面來看，目前高等教育實行成本補償和分攤制度是有必要的。而到目前為止，國家對高等教育經費投入絕對量不斷增加，政府所分擔的教育成本比例中財政預算、受教育者個人所分擔的教育成本比例明顯呈上升趨勢。本文通過總成本、投入、產出為理論因素建立研究高等教育成本函數。成本函數反映了成本和產出之間的關系，總成本是關于一系列產出的函數，當投入要素給定（a），生產一定水平的產出（y）所需的最小成本可以由該函數式得到。教育成本函數如下：

其中，C代表生產產出向量y所需的總成本，a是投入的價格向量。由于企業使用的投入要素（如高等教育教職工工資福利待遇）會影響總成本，成本和生產投入要素有關，因此，該函數還可以被寫做：

其中，C是生產一定水平的產出y的總成本，x(x1、x2、x3……xn)是投入要素數量的向量（數量組合），a是各種投入要素向量，如，政府所分擔的教育成本比例中財政預算、受教育者個人所分擔的教育成本比例等。

有效的高等學校的經營是效率與質量的統一。高等學校作為獨立主體在生產教育服務產品時教育投入產出后的經濟效益，即是指高等學校教育資源的投入與產出比較的極小值，極大值，也就是高等學校經營過程中生產和銷售教育服務產品后獲得的經濟收益，正外部性和穩定值。

3 基于高等教育成本分擔的微分方程模型

3.1 變量說明

N：高校在校學生數

α(N)：政府分擔比例函數

β(N)：社會分擔比例函數

γ(N)：個人所分擔比例函數

R(N)：學費關于人數的函數

P(N)：高等學校貧困生無支付能力函數

σ：關于g(γ(N))的比例系數

δ：關于γ(N)的比例系數

g(y(N))：貧困生無支付能力的大小關于y(N)的函數

f(R(N))：受教育者個人分擔的教育成本比例關于高校的學費R(N)的函數

g(R(N))：貧困生無支付能力的大小關于高校的學費R(N)的函數

3.2 模型建立

根據高等成本分擔理論和微分方程變量關系，現以某高校每年的學費為單位，校學生人數N為連續變量，確定影響高等教育成本變化的函數關系，如，由政府部門，社會和受教育者個人所分擔，高等教育成本比例可以成為為N的函數，函數關系表述如下：α(N),β(N),γ(N)，所以有：

或者

由式（1）中，可知，一個封閉的高等教育成本系統，或政府部門的投入、社會捐資本的捐助、個人分擔所占的教育成本比例與整個辦學開資比例是有關聯的。根據高等教育成本內在的機理分析，一方面，政府部門的投入和社會捐資本的捐助一旦減少或赤字時，個人分擔所占的教育成本比例毫無疑問要增加很多，而政府部門增加了投入或者社會捐資相應增長時，個人分擔的成本一定比例就相應減少。在國家對貧困生資助一定時，當政府規定分擔的人均教育成本較低時，有利于高校擴大自主招生規模。所以個人分擔高等教育成本比例增長，高校的生源的擴大也緩慢增長，高校的招生規?？梢猿^政府的規模，并且收費增長得較慢，這是一種較好的確定各種量之間的平衡與博弈的高校學費模型。

由此，高等教育成本收費補償的必要性原則，如式（2），有：學費與人數的函數的影響R(N)，是由主要因素為γ(N)和P(N)決定。如果γ(N)越來越高，則R(N)就越來越高；另外，高等學校貧困生無支付能力P(N)越大，而我們越是要我們來想辦法降低R(N)。因此，可假設R(N)的變化率與γ(N)是成正的線性相關，而與P(N)是成負的線性相關，于是，就得到了描述高校學費問題的微分方程模型：

其中，是比例系數。

利用微分值相關分析，可以得到高校擴大招生人數的預估值，其實，各高校一定要想達到自己預定的招生目標，高校的學費標準和政府部門投入是保障狀態穩定平衡，政府部門的投入（比例系數）很關鍵，而且當高等教育成本低時，政府規定的高校招生基數可控制在一個較大的范圍內。

3.3 模型分析

求解微分方程的通解及滿足定解的條件。由于高校貧困生的大量存在，要盡量減少無支付能力、輟學和教育不公，根據學生家庭收入水平的不同，高校貧困生個人分擔的γ(N)的單調增加趨勢，所以有P(N)=g(γ(N))，如g(γ(N))是一個單調線性增加函數式，可以設g’，它表示貧困生無支付能力的大小關于高校的學費R(N)的函數增長率關系。有關于高校收費的微分方程模式：

進一步說明，現實中實際上受教育這個人分擔的教育成本比例和貧困生無支付能力的大小關于高校的學費R(N)的函數是直接關聯的函數關系。

如：

其中，f′(R(N))≥0,g′(R(N))≥0。則得到高校學費問題的微分模型：

從式（3）可知，學費R(N)為常數的充要條件是：

高等教育成本分擔其相關因素變化給高等教育成本分擔帶來的影響，在政府規定的招生基數上擴大招生時，要綜合考慮政府的人均分擔、貧困生的人均未支付的費用、高校的收費和生均投入學費的相關性，學生學費的承受力和高校收費的情況，因而，要能夠考慮宏觀調控學費，并在相關因素變化時，穩定收費等的一些方案。

4 結論

微分方程模型所描述的研究對象固有特性會隨空間（或時間）而演變，是動態的，這表明，一方面是個人分擔不變時，要增加國家、社會對未能支付學費貧困學生的人均補貼，能減少貧困生的人均未支付的費用。保持收費不變的充要條件是：要在個人成本分擔比例γ(N)和貧困生的無支付能力gγ(N))之間來平衡。為實現平衡，就要求方程（6）有正根N0，因而在校學生人數N0和個人分擔的教育成本比例γ0=γ(N0)是確定的。根據模型（6）這都是通過增加這一因素來調節學費的具體表現。

目前，我國將個人分擔的教育成本比例的上限為25%，而高校中貧困生的比例為30%，容易使學費標準超過個人分擔的教育成本的比例的上限，或者通過學費補償部分（政府投入）。現實中，各高校一方面想擴大招生規模和數量，一方面也想爭取降低高等教育成本的分擔，想盡量照顧大多數人的利益來彌補不平衡。

本文認為，高等教育提高了社會效益和人力資本效益，也就是改進中的“帕累托最優”狀態的效率原則，以高等教育成本的例子，可以看到成本分擔的本質，變量、成本的正外部性，影響因素、變量關系、博弈與均衡的視角定性描述，應用拓展的微分方程模型是這些矛盾體的相互轉化，分析得出保持或穩定高等教育成本分擔的幾個條件。而對高等教育的公平、成本、效率的原則引起關注。高等教育成本標準達到極值（最大承受力）時，整個社會的高等教育產品是效率和公平事項實現了最優化，那么高等教育是基于高等教育成本分擔的收費理論而存在的。

進一步，保持高校學費不變的充分條件：

（1）高等教育收費達到極值就引起成本系統的改變。

（2）高等教育成本是高校系統內部自我發展所引起的。

（3）高等教育成本分擔的關系是貧困生有無支付能力的增長率。

（4）高等教育成本分擔系統具有外部作用與自身變化的機理。

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