一個(gè)二重積分的計(jì)算方法探討

景慧麗，屈 娜

(火箭軍工程大學(xué) 理學(xué)院, 陜西 西安 710025)

0 引言

二重積分是多元函數(shù)積分學(xué)中最基本、最重要的概念之一，能正確地計(jì)算二重積分是學(xué)員學(xué)習(xí)多元函數(shù)積分學(xué)必須掌握的基本能力之一，因?yàn)槿胤e分和兩類曲面積分的計(jì)算都要借助于二重積分，平面曲線積分通過(guò)格林公式也可轉(zhuǎn)化成二重積分，可以說(shuō)二重積分的計(jì)算是多元積分學(xué)的基礎(chǔ).計(jì)算二重積分的基本方法是把二重積分轉(zhuǎn)化為二次積分(即兩次定積分)[1]240，當(dāng)然有時(shí)候也可以利用對(duì)稱性來(lái)簡(jiǎn)化二重積分的計(jì)算，有時(shí)候還需要選擇恰當(dāng)坐標(biāo)系和積分次序，而另一方面，有的二重積分又可以用多種方法來(lái)計(jì)算.因此二重積分的計(jì)算問(wèn)題就顯得比較開(kāi)放，這種開(kāi)放性又可以用來(lái)培養(yǎng)學(xué)員的發(fā)散思維.所以，在教學(xué)中教員可以通過(guò)二重積分的計(jì)算來(lái)培養(yǎng)學(xué)員的發(fā)散思維.本文針對(duì)一個(gè)二重積分的計(jì)算問(wèn)題進(jìn)行探討，提出5種計(jì)算方法，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)員的發(fā)散思維.

1 轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下先對(duì)y后對(duì)x的二次積分

注2：解法1是最基本也是最常用方法，大部分初學(xué)者首先考慮的就是這種方法，這類方法的關(guān)鍵和核心是二次積分中兩個(gè)定積分的積分限的確定.可以利用“穿越定限法”來(lái)確定積分限，“穿越定限法”要領(lǐng)是“后積先定限，限內(nèi)畫(huà)條線，先交下限寫(xiě)，后交上限見(jiàn)”.意思是，如果積分區(qū)域D是X-型域，就要先確定x的積分限，然后再確定y的積分限，y的積分限的確定方法是：用垂直于x軸的直線從下向上穿過(guò)區(qū)域，直線與區(qū)域的邊界先交的就是y的下限，后交的就是y的上限；如果積分區(qū)域D是Y-型域，就要先確定y的積分限，然后再確定x的積分限，x的積分限的確定方法是：用垂直于y軸的直線從左向右穿過(guò)區(qū)域，直線與區(qū)域的邊界先交的就是x的下限，后交的就是x的上限.這種“穿越定限法”思想可以完全推廣到三重積分.

注3:化二重積分為二次積分時(shí)，不管選擇哪一種積分次序，內(nèi)層和外層的積分限都必須上限大于下限.一般情況下，內(nèi)層積分的積分限可以依賴于外層積分的積分變量，但外層積分限必須是確定的，即絕不能依賴于內(nèi)層積分變量[2]216.

2 轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系下先對(duì)ρ后對(duì)θ的二次積分

注5:利用極坐標(biāo)系(ρ,θ)計(jì)算二重積分也是一種常用的非常重要的方法.在極坐標(biāo)系下也是把二重積分轉(zhuǎn)化為二次積分來(lái)計(jì)算的，并且往往是化為先對(duì)ρ、后對(duì)θ的二次積分，二次積分的積分限的確定方法也是“穿越定限法”，只是這里“限內(nèi)畫(huà)條線”是從極點(diǎn)出發(fā)穿過(guò)區(qū)域畫(huà)線.

注7:解法1和解法2在計(jì)算定積分時(shí)，都應(yīng)用了定積分的對(duì)稱性來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算，其實(shí)對(duì)二重積分也可以利用對(duì)稱性來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算.

3 先利用重積分的線性性質(zhì)再利用對(duì)稱性最后利用極坐標(biāo)系化為二次積分

因此

1)積分區(qū)域D關(guān)于坐標(biāo)軸具有對(duì)稱性；

2)被積函數(shù)f(x,y)關(guān)于變量x或y具有奇偶性；

3)被積函數(shù)的奇偶性要與積分區(qū)域的對(duì)稱性“相匹配”.

“相匹配”是指如果積分域D關(guān)于x軸對(duì)稱，被積函數(shù)f(x,y)則要關(guān)于變量y具有奇偶性.如果積分域D關(guān)于y軸對(duì)稱，被積函數(shù)f(x,y)則要關(guān)于變量x具有奇偶性.只要上述三個(gè)條件有一個(gè)不滿足，就不能應(yīng)用對(duì)稱性來(lái)簡(jiǎn)化二重積分的計(jì)算.

注9:利用對(duì)稱性計(jì)算二重積分的思想可以完全推廣到三重積分、第一類曲線積分和第一類曲面積分，對(duì)三重積分和曲面積分來(lái)說(shuō)，積分域要關(guān)于坐標(biāo)面具有對(duì)稱性.

4 先利用重積分的線性性質(zhì)再利用對(duì)稱性最后利用直角坐標(biāo)系化為二次積分

5 利用形心公式

注10:也可以利用形心公式計(jì)算三重積分、第一類曲線積分、第一類曲面積分.

6 結(jié)語(yǔ)

由上述計(jì)算方法可以看出，對(duì)一道題目的解法往往有不同的思路，知識(shí)點(diǎn)之間表面上看是相互獨(dú)立的，實(shí)際上它們具有一定的聯(lián)系.另外，《高等數(shù)學(xué)》課程中很多題目都可以用多種思路和方法來(lái)求解，教員在應(yīng)用這類一題多解的題目組織教學(xué)時(shí)，必須以學(xué)員為本，鼓勵(lì)學(xué)員積極參與教學(xué)活動(dòng)，鼓勵(lì)學(xué)員敢于標(biāo)新立異，勇于提出問(wèn)題、開(kāi)展交流和討論，這樣才有利于學(xué)員突破思維的局限性，培養(yǎng)學(xué)員的發(fā)散思維和綜合能力[3]26.

[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(下)[M].7版.北京：高等教育出版社,2014.

[2] 崔榮泉.高等數(shù)學(xué)重點(diǎn)內(nèi)容重點(diǎn)題[M].1版.西安：西安交通大學(xué)出版社，2004.

[3] 景慧麗，楊寶珍，劉 華，等.一個(gè)不等式的證明方法探討[J].重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2014,31(8).