CAE軟件操作小百科（41）

續文龍

1 隨機振動的定義

振動現象的完整定義需描述量值及其隨頻率和時間的變化。各種類型的振動均以數學式表示，位移、速度和加速度等量值常用其隨時間變化的函數表示。振動可分為定則（確定性）振動和隨機振動2類。隨機振動是指無法用確定性函數描述，但又有一定統計規律的振動其規律一般不是單個現象，而是大量現象的集合。因此，隨機振動雖然不能用確定性函數描述，卻能用統計特性描述。定則振動問題可以考察系統的輸入與輸出之間的確定關系，而隨機振動問題只能確定輸入與輸出之間的統計特性關系。

隨機振動按隨機性的來源分為2類：一是激勵過程的隨機性，這是隨機振動理論主要解決的問題；二是振動系統參數的隨機性，即參數隨機振動理論。隨機振動按已知條件和未知結果分為2類：已知輸入和系統參數求輸出，這是正問題，稱為響應確定問題；已知輸入和輸出求系統的參數，這是反問題，稱為系統識別問題。在進行隨機響應分析時，隨機激勵以功率譜密度（power spectral density， PSD）的形式進行輸入。PSD是隨機振動的主要特征參數之一。

在機械系統中，隨機振動的研究始于20世紀50年代，主要是航空科學的需要。后來，這一理論在土木建筑工程、交通運輸工程和海洋工程等方面也得到廣泛應用。自20世紀60年代以來，振動測試技術和計算機技術飛速發展，為復雜的振動問題提供強有力的解決手段。

2 PSD的定義

一個隨機振動過程的特征可以用數學期望、方差和相關函數描述，但這些都是在時間域內描述幅值的統計特性，而在工程技術問題中，常采用功率譜密度PSD描述。PSD從頻域的角度反映隨機振動的平均功率按頻率的分布密度，

是一種概率統計結果，是對隨機變量均方值的度量，一般用于隨機振動分析。連續瞬態響應只能通過概率分布函數描述，即出現某水平的響應所對應的概率。PSD是單位頻帶內的功率（均方值），是隨機振動在頻域上統計性質的一種方法，是結構在隨機動態載荷激勵響應下的統計結果，是一條PSD-頻率關系曲線。把振動歷程的時域信息進行傅里葉變換，即可得到表示頻域特性的功率譜密度，可明確表示各頻率所含功率（加速度）的強弱。PSD可以有位移PSD、速度PSD、加速度PSD和力PSD等形式。隨機振動響應符合正態分布，PSD實際上將原來對時間域的振動描述轉化為對頻率域的振動描述，是隨機變量的能量分布，也就是振動能量在不同頻率上的方差值。根據帕塞瓦爾定理，信號在時間域的總功率等于在頻率域的總功率，計算后得到隨機過程的功率譜密度，可反映隨機過程統計參量均方值在頻率域上的分布，即各個頻率域上振動能量的概率分布。為獲得功率譜密度，將隨機振動信號通過一組具有不同頻率的濾波器（即由計算機提供的數學算法器）分別過濾，分解成多個單獨的正弦波。生成正弦波成分后，每個濾波器輸出平均頻率和強度，完成時域到頻域的轉換。這種轉換是由計算機通過傅里葉變換實現的，可以避免高頻區的噪聲混雜。

PSD曲線所圍成的面積是隨機變量總響應的方差值。將PSD曲線包絡面積開平方即為隨機變量的標準方差。隨機振動輸出的位移、應力和應變等都對應不同頻率的PSD值，量綱為x-2，也可以輸出這些變量的均方根值。

3 Abaqus中如何定義PSD

Abaqus中通過Randomresponse分析步進行基于模態的隨機響應分析。

3.1 PSD的類型

Abaqus中可以施加以下類型的PSD：（1）集中載荷；（2）分布載荷；（3）基礎運動。

3.2 PSD的定義

PSD為模型數據，必須在分析步之前定義。

（1）定義隨機激勵PSD曲線的關鍵字為

*PSD Definition，Name=psd-name

（2）CAE環境定義PSD見圖1。

圖1中：Specification units選擇Power時為集中力、分布載荷等；選擇Decibel時為分貝；選擇Gravity時為基礎激勵。參考加速度g默認為1，用戶可以根據實際自行定義。

（3）PSD數據行的PSDRE表示實部，PSDIM表示虛部，Frequency為頻率，單位為Hz。

（4）利用關鍵字定義PSD的過程為

*PSD-Definition

Specification units = Gravity， G=9.81

0.032， 0.0， 1.0

0.032， 0.0， 2001.0

上述定義得到的曲線見圖2。

在Abaqus中定義PSD曲線時以離散點的形式輸入，將關鍵點上的數據以數據列表的形式輸入。Abaqus默認將2個頻率點間的PSD值進行線性插值，便可得到整個PSD曲線。

（摘自同濟大學鄭百林教授《CAE操作技能與實踐》課堂講義）

（待續）