基于改進的MDAL算法的圖像復原研究

摘 要 目前基于小波框架的圖像復原模型研究較為普遍，它在圖像方面的成功應用主要是因為稀疏逼近的分段光滑函數。雖然基于l0平滑的圖像復原算法中能夠提供圖像的稀疏表示，但基于l0范數的約束項會使得計算量較為復雜，且代碼運行時間較長。針對此問題，提出一種改進的MDAL算法。算法中采用光滑高斯函數近似代替l0范數，通過牛頓迭代法來更新小波框架的系數。實驗結果表明，與其他算法相比，提出的改進的MDAL算法具有自適應的魯棒性，很好地保持了圖像的邊緣特征，能夠明顯改善圖像的視覺效果，且具有較高的峰值信噪比（PSNR）。

【關鍵詞】小波框架 圖像復原 l0最小化 MDAL算法

1 引言

圖像恢復技術是圖像處理領域一類重要的處理技術，與圖像增強等其他基本圖像處理技術類似，該技術也是以獲取視覺質量得到某種程度改善為目的的。圖像恢復過程需要根據指定的圖像退化模型來完成，根據這個退化模型對在某種情況下退化或惡化了的退化圖像進行恢復，以獲取到原始的、未經過退化的原始圖像。換句話說，圖像恢復的處理過程實際是對退化圖像品質的提升，并通過圖像品質的提升來達到圖像在視覺上的改善。圖像復原技術在航空航天、生物醫學、國防公安等領域具有廣泛的應用。目前，在非平穩圖像先驗知識未知等前提下，圖像復原方法得到了不錯的復原效果。

較早的復原方法有Wiener濾波、RL方法等，但復原圖像有大量的振鈴效應。Fergus 等人[1]利用混合高斯模型來逼近重尾分布，取得了具有標志性的的進展，然而復原出的圖像中含有振鈴效應。Shan等人[2]采用新的分段函數模型來逼近梯度分布，有效地抑制了圖像復原過程中造成的振鈴現象，但是恢復出的圖像中含有噪聲。Xu等人[3]提出一種選擇顯著性邊緣的方法，很好地保持了模糊核的稀疏性，但未考慮模糊核的連續性。

基于小波框架的圖像復原模型研究較為普遍，比較常見的算法有PD算法和MDAL算法。通常情況下，采用l0范數來度量數據的稀疏性比較準確，即考察數據集中非零元的個數。但在實際應用中，一方面，當優化模型中存在基于l0范數的約束項時，就會使得求解方法較為復雜，且時間復雜度較高；另一方面，l0范數對于數據中的噪聲是極其敏感的。為了克服l0范數的不足，本文通過光滑高斯函數近似代替l0范數，提出了一種改進的MDAL算法。改進的MDAL算法具有自適應的魯棒性，很好地保持了圖像的邊緣特征和視覺特性。

2 小波框架下的圖像復原模型

為了獲得高質量的圖像復原，目前各種正則化方法在文獻中被提出。在所有關于圖像復原的正則化模型中，變分方法和小波框架是很成功的，并且在實際中得到了廣泛應用。

基于文獻[4]的小波框架能根據基本解的奇異性，適應性地在給定圖像的不同區域選取適當的微分算子，所以它們優于一些變分模型。在離散設置時，w表示快速的張量積框架分解，wT表示快速重構。然后通過單一的擴展原理（UEP）[5]，得到一個更好的重構：因為WTW=1，所以對于任何矩陣u，滿足u=WTWu。小波框架的構造也能通過UEP來獲得。在數值模擬中，Haar框架將以特定[7]形式被構造使用。用以下公式來表示u的L層的框架系數分解：

I表示所有框架帶的指數集，Wl，ju是u在j帶l層的小波框架。我們也使用α表示小波框架系數，即α=Wu，

使用基于文獻方法[6]的分析來解決圖像重構問題：

其中f表示噪聲模糊圖像，A表示模糊算子。l0范數||w||0被定義為w的非零項的數目。在小波變換的確定層和波段的給定的像素位置上，用（Wu）i表示Wu的值（與λi類似）。為了符號的簡單，優化模型（3）可以重新寫成：

3 小波框架中基于l0最小化的MDAL算法

均值雙重增強拉格朗日問題可以被定義為：

基于l0范數的約束項會使得計算量較為復雜，且代碼運行時間較長。同時，l0范數對于數據中的噪聲是極其敏感的。光滑高斯函數的傅氏變換還是它本身，其頻譜圖是一個單瓣，因此能比較好地保留圖像的低頻和高頻信息，并在保留圖像信息和濾出噪聲之間找到一個平衡點。高斯函數的計算上的可分離性，使得其高維計算可以高效進行。例如二維高斯函數的卷積計算，可以先用原始二維圖像對一個一維高斯函數卷積，再對另外一個方向垂直的一維高斯函數進行第二次卷積。本文采用光滑高斯函數近似代替l0范數，提出一種改進的基于l0最小化的MDAL算法。考慮到帶參數σ1的連續高斯函數[6]：

逼近的準確性受參數來控制，同時用來逼近克羅內克函數（Kronecker delta）[13]。在數學術語上，有：

函數h是α中零項數目的一個指示器，重構向量α通過以下公式逼近：

其中，。在上面的公式中，N代表了所有包括在α中的元素的數量和，所以可以用重建優化后的模型來代替（6）：

對于均值雙重增強拉格朗日（MDAL）問題，可以用以下三步迭代來描述，并通過應用光滑算法來解決最小化問題：

通過牛頓迭代法來更新小波框架的系數。通過牛頓下降梯度法求解α中所有元素的導數。在這種情況下，小波框架的系數有更少的非零項，小波框架系數得到最小值。在整個操作過程中，內循環通過牛頓法來控制小波系數，并采用合適的終止標準終止外循環。

4 模擬和結果

在這一部分，本文提供了改進的MDAL方法與其它方法進行圖像恢復質量比較。本文選取四幅不同的模糊圖像做測試，使用MATLAB中的“fspecial（‘gaussian，11，2）”函數來生成模糊核。恢復圖像的質量通過下面定義的PSNR值來測定：

其中，是待復原的清晰圖像。

本文測試兩種算法的信噪比和時間復雜度。所有的計算都在MATLAB上進行。電腦配置為Intel Core i7（3.4GHz）CPU， 16GB RAM， Window7操作系統。通過實驗，我們為兩種方法選擇相同的停止標準。

在Haar框架下，對于所有的圖像進行測試。對于改進的MDAL方法，設定參數σ1=0.5，step=0.68，k=6，μ=0.01，γ=0.003。這些參數的優化調整可能會提高呈現的結果，但也可能降低算法的實用性，因為更多的參數是需要使用者自行調整的。

圖1是本文與其他方法的復原實驗對比結果。圖1（a）是一副模糊圖像，圖1（b、c、d）分別是Fergus，Shan以及Xu等人的結果，圖1（e）是本文改進的MDAL方法的結果。Fergus等[1]和Shan等[2]采用模糊核閾值截斷的方法，復原圖像中存在一定的模糊，如圖（b）和（c）所示。Xu等人[3]的復原結果中有明顯的振鈴效應，如圖1（c）所示。實驗結果顯示，本文方法的峰值信噪比（PSNR）的值比其他方法至少高2db，如表1所示。從圖1（e）和（f）中可以發現，本文在復原的同時，有效地抑制了振鈴效應，很好地保持了圖像的邊緣特征和視覺特性。

5 結束語

光滑高斯函數能比較好地保留圖像的低頻和高頻信息，同時由于高斯函數計算上的可分離性，使得其高維計算可以高效進行。在小波框架下，本文利用光滑高斯函數近似代替 范數，提出了基于改進的MDAL算法的圖像復原模型。實驗結果表明，改進的MDAL算法具有自適應的魯棒性，很好地保持了圖像的邊緣特征和視覺特性。采用峰值信噪比（PSNR）作為基于誤差敏感的圖像質量評價。與其他方法的定量結果相比，本文方法的PSNR值遠高于其他方法的PSNR值，具有很好的理論研究意義和實用價值。然而，對于一些特殊的圖像，改進的MDAL算法比其他兩種算法要慢。在未來的工作中，一方面要減少計算成本，另一方面，為了獲得更好的圖像質量，我們需要進一步優化我們的算法，處理一些非光滑的圖像。

參考文獻

[1]Fergus Rob，Singh Barun， Hertzmann Aaron，et al.Removing camera shake from a single photograph[C].ACM Transactions on Graphics，2006，25（03）：787-794.

[2]Q.Shan，W.Xiong，and J.Jia.Rotational motion deblurring of a rigid object from a single image.In Proc.Int. Conf.Comput.Vision.IEEE，2007.

[3]Xu L and Jia J.Two-phase kernel estimation for robust motion deblurring.In Proc.10th European Conf.Comput.Vision.IEEE，2010.

[4]J.Cai，S.Osher，and Z.Shen，“Split Bregman methods and frame based image restoration，”Multiscale Modeling and Simulation：A SIAM Interdisciplinary Journal，vol.8，no.2， pp.337-369，2009.

[5]J.Cai，S.Osher，and Z.Shen，“Split Bregman methods and frame based image restoration，”Multiscale Modeling and Simulation：A SIAM Interdisciplinary Journal，vol.8，no. 2，pp.337-369，2009.

[6]王志堅.基于大氣模型的圖像復原改進算法及應用[J].計算機工程與應用，2007（03）：239-241+248.

作者簡介

張靜（1990-），女，山東省濱州市人。碩士學位。吉林建筑大學城建學院助教。主要研究方向為圖像處理，計算數學。

作者單位

吉林建筑大學城建學院基礎部 吉林省長春市 130000