建模思想在“常微分方程”教學中的應用

賈對紅

（長治學院 數學系，山西 長治 046011）

物理、化學、生物等各種領域中的許多實際問題都可以通過建立微分方程來解決，如能量守恒定律、人口發展規律、生物種群競爭、市場價格均衡等。常微分方程的應用如此廣泛，因此其教學顯得尤為重要。

然而，我們在教學過程中還是過多的強調理論基礎，其應用不重視，這樣就不能有效的培養學生的動手與應用能力，也就達不到我們的教學目標。所以如何在重視理論的同時又要突出應用性來適應院校的轉型發展已經成為我們教學改革中的重中之重。

在常微分方程教學中融入建模思想，同時與數學軟件相結合正是解決該問題的一種實用與可行的方法。它既能從理論上讓學生掌握如何求解常微分方程，又能從實際問題出發，讓學生了解常微分方程的“由來”，即通過實際問題和學生一起建立常微分方程模型，再利用數學軟件來解方程。這樣既不會讓整個課堂顯得枯燥無味，又能讓學生們自己參與進來，從而更好地調動學生的積極性和培養其創造性。

1 建模思想

如今越來越多的實際問題需要用到“建模思想，用建模方法解決實際問題的步驟主要有三步：提出問題、分析問題和解決問題。作為應用如此廣泛的常微分方程，用建模思想來解決實際問題，是學生們需要掌握的一種應用能力。

在傳統的教學方法中，我們都是先給出一種類型的方程，然后介紹其求解方法。學生們只需要掌握怎么求解即可，他們并不知道為什么要解這類型的方程而不去解其它類型的方程，并不明白這樣的方程從何而來，他們只知所以然，而不知其然。現在我們要讓學生了解方程從何而來。可以先給出一個實際問題（不需要太難），讓學生思考該如何解決。這時候可以對學生進行分組，讓他們先討論，然后結合學生們的回答，老師和學生一起給出解決問題的方案。這個過程即是建模思想中的提出問題和分析問題的過程，隨后對建立的方程模型求解則真正實現解決問題。在這個過程中既調動了學生的積極性，又能培養學生分析和解決問題的能力，同時讓學生真正明白“方程從哪兒來”“為什么要解方程”“方程怎么解”這一系列的問題，從而激發學生的學習熱情。

2 數學軟件的輔助

不是所有的微分方程都可以用初等方法來求解，同樣對于一些復雜的實際問題建立起來的微分方程，隨后的求解過程也會變的冗長繁瑣。這是為了不讓學生們的學習熱情有所減少，我們可以適當的借助數學軟件，既讓學生體會到了方程求解方法的多樣性，同時也讓他們明白方程的解析解和數值解之間的聯系，也為他們的后續課程奠定一個良好的基礎。

下面以生物種群中一對典型的歡喜冤家的逃生問題為例加以說明。

有一只兔子，一匹狼，兔子位于狼的正西100米處。假設兔子和狼同時發現對方并一起跑，兔子往正北60米處的洞穴跑，而狼在追兔子，狼是勻速跑而且狼的速度是兔子的兩倍。試建立模型研究以下問題：

（1）根據已知條件，建立狼的運動軌跡的微分方程模型。

（2）用解析法和數值法求解，判斷兔子能否安全回到洞穴。

第一步：在給出問題之后,我們讓學生三個人一組進行討論，對于一些基礎差的學生可以適當的增加人數。在建立運動軌跡模型期間，教師根據學生們的問題給出提示，最后在學生們的各種回答和老師的一一解答中共同得出正確的解答。

假設狼不知兔子遠處有洞穴，故狼的運動方向始終是朝著兔子，而兔子為了躲避狼的追擊是不斷奔跑的，所以狼的速度方向一直變化，它的運動軌跡是一條光滑的曲線。

設兔子的速度是v，以t=0時兔子的位置為原點，兔子朝向狼的方向為x軸，逆時針旋轉90°的方向為y軸建立直角坐標系。t時刻狼的坐標為（x，y），兔子的坐標為（0，vt），狼的速度方向與 x軸負半軸的夾角為θ。

圖1 狼的運動軌跡草圖

t時刻，y對 x求導等于曲線在（x，y）處的切線斜率，即

狼的運動方向指向兔子，所以

將狼的速度分解成沿x軸和y軸方向，即

由（3）得：

對t求導得：

將（5）式兩端同乘以（dt dx）2得：

由（6）得：

（8）式即為狼的運動軌跡的微分方程模型。

第二步，方程是一個二階的微分方程，如何求解這一類型的方程，這是我們重點解決的的問題。通過解這個方程，讓學生掌握高階微分方程求解的一個基本思想“降階”，同時讓學生們了解如何在實際問題中尋找方程的定解條件。

判斷狼是否能追上兔子，可先求出狼在追上兔子的時候跑了多少距離，具體過程如下：

上式兩邊平方得

當x=100時，y=0求得：

由此可得：

可以看出當狼追上兔子之前，兔子已經安全回到洞穴中。

第三步，通過用數學軟件MATLAB讓同學們了解如何用數值方法求解微分方程。

前面已經用解析方法判斷出狼沒有追上兔子，那么我們現在用數值方法求出x=0時y的值，再將其與60比較來判斷狼能否追上兔子。下面就用數值方法借助matlab軟件判斷狼是否能追上兔子的方法。

先建立odefun函數：

再在主程序中輸入下列程序：

即可輸出結果：

x=0.1 時，y=63.5007＞60，而當 x=0 時，y＞63.5007當然也大于60，所以在狼追上兔子之前，兔子已經安全回到洞穴。