不成比例交易費的極大極小模型

靳海娟

（長治學院 數學系，山西 長治 046011）

自Markowitz的投資組合理論發表以來，對投資組合的選擇問題的研究在金融界引起了極大的關注，并取得了豐碩的成果，同時也帶動了金融經濟學、數理統計學、運籌學、計算數學等相關學科的理論和方法的發展。

眾所周知，任何投資組合的選擇都是在資產價格或收益的不確定性條件下得出的。因為在實際中，對于某些風險資產，或是缺乏足夠的歷史數據，或者很難獲得樣本數據，信息的不完全性或非對稱性，使得人們無法得到甚至估計收益的分布形式。

文章就風險資產的期望收益率無法精確知道的情況，結合不確定性決策的方法，并在考慮交易費的情況下建立了以最大最小準則為條件的投資組合選擇模型，并給出了模型求解的方法。

1 模型的建立

假設市場中有一個確定收益率的無風險資產和n個收益率不確定的風險資產，投資者想要在該無風險資產和這n個風險資產之間分配財富，追求扣除交易費后的投資組合收益最大化。

先對相關符號作簡要說明：

Ri：i的隨機收益率，i=1，2，…，n；

R=（R1，R2，…Rn）T；

ri：i的期望收益率，i=1，2，…，n；

r=（r1，r2，…，rn）T；

rn+1：無風險資產的收益率；

xi：i的未投資比例，i=1，2，…，n+1；

x=（x1，x2，…，xn+1）；

x0i：i的已投資比例，i=1，2，…，n；

W0：投資者的初始財富；

ki：i的交易費率，i=1，2，…，n；

Ci（xi）：i的交易費用；

C（x）：總交易費用。

i的交易費可表示為：

其中 μi，i=1,2，…，n 是常數。

那么，總的交易費C（x）可分為三種情況：

情況2：

當對前m（1≤m≤n）種資產的投資比例超過us，即｜xs-x0s｜＞us，（s=1,2，…，m），對后（n-m）種資產的投資比例不超過μi。

在建立模型之前，先作如下假設：

（1）假設協方差矩陣V是正定的。

（2）假設事先并不精確知道風險資產的收益率。

但能已知如下幾點：

①對風險資產而言，期望收益率不都相同，即

②風險資產產生的期望收益率可排成一個序

（3）假設在交易過程中，總資產的價值和每一個資產的股數保持不變。

（4）交易費在期初就已經可以確切知道，但一般在期末支付。

（5）不允許賣空風險資產和借貸無風險資產。

投資組合 x=（x1，x2…，xn+1）在扣除交易費后，的凈收益率為：

其中0≤m≤n。

當不存在無風險資產時，只要去掉rn+1，xn+1既可。

總之，在扣除交易費后，新的投資組合產生的均值和方差分別為：

令（1-λ）和 λ 分別是指標 E[R（x）]和 Var[R（x）]的權系數。λ為風險厭惡因子，λ越大，作為投資者，就會越厭惡風險。當λ=1時投資者為極度保守狀態，因為此時他僅考慮了投資的風險，而沒有關注投資的收益，在實際中，其實并不可取。相反，當λ=0時投資者為最極端的狀態，即只追求投資收益，而不考慮風險，這種狀態是最危險的。設0＜λ＜1，即投資者處于既不極度保守也不極度冒險的狀態，是我們一般考慮的狀態。但另一方面，由于ri（i=1，2，…，n）并不精確知道，對投資者來說，一般會選擇最低風險下最大收益的策略。因此，投資者將求解如下極大極小問題。

其中 0＜λ＜1，0≤m≤n。

則該問題概括為：

2 模型解的討論

我們先引入Fan的一個著名結果。可查閱其著作[4]。

引理1 令X是一個非空間集合，Y是一個非空緊拓撲空間。令F：X×Y→R。在Y上下半連續。設F在X類凹。在Y上類凸。即：

固定x，考慮以r為變量的極小化問題P2（λ）：

定理3問題P2（λ）必有最優解，記為：若。則

這是由于，問題P2（λ）是一個線性規劃，且原始約束區域有界。由線性規劃相關理論可知，上述問題必有最優解，對于最優解的求解，還有待進一步研究。