考慮螺栓聯接的轉子系統振動特性分析

侯小捷，羅 忠，黃耀宇，張西廠

（1.東北大學機械工程與自動化學院，沈陽110819；2.中國航發沈陽發動機研究所，沈陽110015）

0 引言

螺栓聯接因具有安裝方便、結構簡單、聯接剛性好等優點[1-5]，成為航空發動機中應用最為廣泛的緊固聯接方式。但螺栓聯接特性會直接影響整個系統的動力學特性，特別對于帶有螺栓聯接結構的轉子系統，其影響更為明顯[6]，而目前在對轉子系統進行動力特性分析時，往往忽略螺栓聯接特性，直接按剛性結構處理，導致計算結果與實際情況出現較大偏差。為了更真實地分析轉子動力學特性，必須考慮螺栓對轉子特性的影響，建立包含螺栓聯接的轉子系統動力學模型。

目前國內外對于研究螺栓聯接的力學特性及螺栓預緊力對聯接結構本身固有特性的影響研究較多，而針對螺栓聯接剛度對轉子系統整體固有特性的影響還沒有系統研究。欒宇[7]通過物理實驗與仿真計算研究了螺栓法蘭聯接的軸向靜力響應特性，發現聯接結構存在明顯的軸向拉壓剛度不同特性；劉卓乾[8]從軸向、徑向和彎曲3個方面討論了螺栓聯接的力學特性；趙丹[9]對某型航空發動機螺栓聯接轉子進行數值仿真，分析了螺栓聯接結構對實際航空發動機的動力學特性的影響；Boeswald[10]采用試驗與數值方法研究了螺栓聯接的分段線性規律；QIN[11-12]等用有限元法計算螺栓轂筒聯接的彎矩特性，建立了盤鼓轉子接合部連接剛度解析模型，并將其引入轉子有限元模型中，采用多項諧波平衡法（multi-term harmonic balance method）對含連接非線性（分段線性）轉子系統響應進行了分析；GAO等[13]用有限元法給出了拉桿轉子聯接的數學模型，并將該模型應用于Jeffcott轉子，研究了其動力學響應特性和模態特性。

本文針對螺栓法蘭聯接對轉子系統影響，基于有限元方法建立了考慮螺栓法蘭聯接的轉子模型。應用該模型分析了聯接結構對轉子系統固有特性的影響，并且將結果與ANSYS仿真軟件結果進行對比驗證。

1 螺栓法蘭聯接轉子系統有限元模型

有限元的建模思路，就是將復雜的幾何和受力對象劃分為一個個形狀比較簡單的標準構件，稱為單元；然后給出單元節點的位移和受力描述，列寫單元動能、勢能表達式，通過拉格朗日方程建立單元的質量、剛度矩陣；再通過單元與單元之間的節點聯接關系進行單元的組集，最終得到結構的整體質量、剛度矩陣；進而根據位移約束和受力狀態處理邊界條件并進行求解。

為簡化說明，設研究對象為1個轉子系統，如圖1所示。2根軸通過法蘭由螺栓聯接，轉子兩端由軸承支承。建立坐標系oxyz，其中以轉軸左端面圓心作為坐標原點o；轉軸中心線為z軸；x軸和y軸分別為轉子的2個徑向方向。

1.1 螺栓法蘭聯接的彎矩特性

螺栓法蘭聯接通常有n個性質相同的螺栓均布在法蘭上。左右2個法蘭盤繞軸轉動，法蘭盤的上下2點受力方向相反，使聯接部位產生彎矩作用。n個螺栓共產生n/2個彎矩。為方便研究，把轉子聯接部分受到總彎矩分解到繞x軸和y軸2個方向

因為x軸方向與y軸方向類似，所以只分析x軸方向的彎矩特性，如圖2所示。將螺栓等效為1對彈簧，其中上邊彈簧受拉，下邊彈簧受壓。

圖1 轉子

圖2 螺栓彎矩

由于螺栓的拉、壓特性不同導致變形不相等。彈簧受拉、壓時的變形分別為

式中：D為螺栓的安裝直徑；kT、kC為螺栓法蘭聯接軸向拉、壓剛度。

在小變形條件下，聯接結構繞x軸轉角與軸向變形的關系為

1.2 螺栓法蘭聯接單元推導

轉子模型建立基于以下假設[14]：

（1）建模只考慮2個法蘭盤以及螺栓結構。

（2）法蘭盤考慮為剛性盤，聯接結構的作用力看作2個法蘭盤的直接相互作用力。

（3）法蘭盤軸心與重心重合。

（4）轉子建模忽略軸向位移。

（5）2段轉子之間的約束彎矩簡化為角剛度作用（用1對軸向彈簧kT代替）；螺栓法蘭聯接除考慮角剛度外，還考慮徑向剛度k。螺栓法蘭單元剛度如圖3所示。

根據上述假設建立螺栓聯接的法蘭盤模型如圖4所示。單元由2個盤組成，其中每個盤考慮x與y方向的平動及繞x與y軸的轉動，總共8個自由度。單元整體的廣義坐標為

式中：x1、y1分別表示沿 x、y 軸的位移；θx，θy分別表示繞x、y軸的轉角；下標1、2表示2個法蘭盤。

將式（2）、（3）帶入式（4）得到螺栓聯接彎曲角剛度

為簡化計算，將分段線性剛度簡化為線性剛度，即認為螺栓始終處于拉伸狀態，表現為拉伸剛度。則此時角剛度為

圖3 oyz平面上聯接單元

圖4 螺栓法蘭單元模型

法蘭盤的質量、盤的直徑轉動慣量和極轉動慣量分別為m、Jd和Jp，則聯接單元動能為

單元勢能為

不考慮廣義力項，系統的拉格朗日方程為

利用式（8）、（9）通過拉格朗日能量法導出聯接單元的質量矩陣、剛度矩陣、陀螺矩陣

式中：m1、m2分別為法蘭盤 1、2 的質量；Jd1、Jd2為法蘭盤 1、2 的直徑轉動慣量；Jp1、Jp2為法蘭盤 1、2 的極轉動慣量；k為螺栓法蘭連接聯接產生的徑向剛度；kθ為螺栓法蘭聯接產生的角剛度，可通過式（6）由kT求得。

1.3 轉子系統的動力學方程

利用第1.2節中得到的螺栓法蘭單元與前人提出的Rayleigh梁單元及盤單元有限元模型相結合，采用文獻[15]的有限元組集方法，組集得到考慮螺栓法蘭聯接的轉子系統整體質量矩陣M、剛度矩陣K、螺陀矩陣G。

建立轉子整體的動力學方程

式中：q為廣義坐標；F為廣義力；C為系統整體阻尼。將系統整體阻尼考慮為比例阻尼，其求解公式為

λ、η 由文獻[16]得到

式中：ξ1、ξ2為阻尼系數；ω1、ω2為轉子的第 1、2 階臨界轉速。

2 有限元模型模態分析

2.1 模型參數

建立的轉子模型如圖5所示。從圖中可見，轉子共包含20個單元、21個節點，每個節點具有2個平動和2個轉動自由度，因此轉子模型共有84個自由度，其中10號單元為螺栓法蘭結構，其余單元為參數相同的Rayleigh梁單元，具體參數見表1。由于工程中轉子多采用非對稱支承，因此模型采用非對稱支承，即在第5、20號節點處加入軸承，軸承剛度為2×106N/m。

圖5 轉子模型

表1 單元參數

需要注明的是，在以下分析中考慮2種剛度（徑向剛度和角剛度），由式（6）可知角剛度本質上表現為聯接結構的軸向拉伸剛度，因此在下文研究中用軸向剛度變化間接代替角剛度變化。

2.2 剛度變化對固有頻率的影響

固有頻率隨2種剛度（單元徑向剛度、軸向剛度）的變化規律如圖6所示。從圖中可見，當剛度k、kT均小于107時，各階固有頻率隨剛度增大而提高，此時處于上升階段；當剛度處于105～1010之間時，固有頻率幾乎不變，此時處于穩定階段。

圖6 轉子固有頻率隨剛度的變化

幾個不同剛度下及剛性聯接時（將2個法蘭盤之間固連，即考慮成一個整體），前3階固有頻率對比見表2。當剛度處于穩定階段時，此時的固有頻率與剛性聯接時的固有頻率基本不存在誤差，這與一般認知一致，也從一定程度上驗證了建模的正確性。

表2 不同剛度下轉子前3階固有頻率

以上討論了固有頻率隨剛度變化情況，為看清總體趨勢，剛度選取范圍較大，下面針對常見的剛度范圍做相應的敏感性分析。

螺栓法蘭單元的徑向剛度k恒等于1×109N/m時轉子固有頻率隨軸向剛度kT變化的規律如圖7所示。角剛度由式（6）得到，通過式（17）分別求解不同軸向剛度下轉子固有頻率

圖7 轉子固有頻率隨軸向剛度的變化

不同軸向剛度下及剛性聯接時的前3階固有頻率見表3。當單元徑向剛度不變時，增加軸向剛度，轉子各階固有頻率都有所提高。其中第1、3階固有頻率對于軸向剛度變化較為敏感，第2階固有頻率則不受其影響。

表3 不同軸向剛度下轉子前3階固有頻率

當軸向剛度kT=1×109N/m時轉子固有頻率隨螺栓法蘭單元徑向剛度k的變化規律如圖8所示。

圖8 轉子固有頻率隨單元徑向剛度的變化

不同徑向剛度下轉子固有頻率對比見表4。當單元徑向剛度不變時增大軸向剛度，轉子各階固有頻率都有所提高。其中第2、3階固有頻率對于徑向剛度變化較為敏感，第1階固有頻率則不受其影響。

表4 不同徑向剛度下轉子固有頻率對比

2.3 剛度變化對振型的影響

軸向剛度為106N/m、徑向剛度為107N/m及剛性聯接時轉子的前3階振型對比分別如圖9、10所示。

圖9 軸向剛度穩定，徑向剛度變化

圖10 徑向剛度穩定，軸向剛度變化

從圖中可見，當徑向剛度較小時，在法蘭聯接處出現明顯的徑向滑移；當軸向剛度較小時，在法蘭聯接處出現彎折；同時，當剛度大到一定程度時，振型開始穩定，并且與剛性聯接時一致。

3 聯接剛度對轉子振動響應的影響

圖11 剛性聯接時轉子的不平衡響應

圖12 考慮聯接剛度時轉子的不平衡響應

對比剛性聯接（如圖11所示）與剛度較大時（如圖12所示），不同轉速下轉子各點的振幅變化可見，在求解不平衡響應時，如果考慮螺栓法蘭結構計算結果中第2、3階臨界轉速下的振幅會有減小，而第1階轉速下振幅沒有明顯影響。

在1000～12000 r/min轉速區間上法蘭盤處不平衡響應隨剛度變化的關系如圖13所示。從圖中可見，前3階臨界轉速與直接利用質量剛度矩陣求解出的固有頻率對應轉速相近。但是轉子振幅在第1階臨界轉速處振幅非常明顯，導致在第2、3階臨界轉速處振幅不明顯。

圖13 法蘭盤處不平衡響應

提取圖13中第1階臨界轉速處的振幅見表5。從表中可見，隨聯接剛度（螺栓軸向、徑向剛度）的增大，臨界轉速會提高，同時振幅會有所減小，2種剛度單獨變化時對轉子第1階振幅的影響分別如圖14、15所示。

表5 第1階臨界轉速和振幅剛度變化關系

圖14 徑向剛度變化時法蘭盤處的不平衡響應

圖15 軸向剛度變化時法蘭盤處的不平衡響應

通過對比可見，振幅隨聯接剛度增大有所減小。軸向剛度變化（圖14）對第1階臨界轉速及振幅影響較大，而徑向剛度變化（圖15）對其影響較小。

4 仿真驗證

為說明數學模型的有效性，進行了仿真驗證，使用工程軟件ANSYS對圖5中的轉子進行建模，使用實體單元對結構進行精細有限元剖分；法蘭盤與軸采用剛性聯接，螺栓聯接等效為2對軸向彈簧和1對徑向彈簧。分別求解結構振型及固有頻率與前文中理論計算所得結果進行對比。在剛性聯接、大剛度聯接、徑向小剛度以及軸向小剛度時的前3階振型對比見表6。從表中可見，理論計算所得結果與ANSYS仿真結果基本一致，依然可以看出大剛度聯接時振型與剛性聯接時的一致，不同工況下也出現了徑向滑移和彎折等情況。

在不同情況下2種方法所計算的固有頻率對比見表7。從表中可見，模型雖然對轉子第2階固有頻率的預測誤差較大，但是對于第1、3階的固有頻率預測較為準確，并且2種剛度對固有頻率的影響也與前文中所得結論一致，對比結果進一步證明轉子模型的有效性。

表6 不同剛度下模擬和計算的各階振型對比

表7 固有頻率對比

5 結論

（1）在轉子系統中可以將螺栓法蘭聯接中的螺栓考慮成徑向剛度和角剛度的組合，這樣所建立的轉子模型可以較真實地反映螺栓法蘭聯接的固有特性，較準確地預測轉子的固有頻率和振型。

（2）角剛度、徑向剛度在一定范圍內的增大都會使轉子固有頻率提高，并且趨近于剛性聯接時的轉子固有頻率。同時，轉子第1階固有頻率對螺栓法蘭結構的軸向剛度變化較為敏感；第2階固有頻率對螺栓法蘭結構的徑向剛度變化較為敏感；第3階固有頻率則對螺栓法蘭結構的2種剛度變化均較為敏感。但對于螺栓聯接剛度對各階臨界轉速的影響機理還未能給出準確分析。轉子振型在聯接處剛度較大時與剛性聯接情況下的相近，并且當徑向剛度較小時在法蘭聯接處出現明顯的徑向滑移；當角剛度較小時在法蘭聯接處出現彎折。

（3）聯接結構的剛度會對轉子的不平衡響應有一定抑制作用。在聯接處的角剛度變化對轉子第1階臨界轉速處的振幅影響較為明顯。