彈塑性力學在橋梁中的應用與研究

李家穩 劉思勤

(北方工業大學，北京 100144)

彈塑性力學在橋梁中有著重要的應用意義，因為基于彈塑性力學，當橋梁遇到地震時，能夠有效地減少地震所造成的傷害，大大地保護好橋梁。所以橋梁設計者應當加強對彈塑性力學的研究，并且加強彈塑性力學在橋梁設計中的運用。

1 經典塑性力學在巖土類材料應用上的問題

1.1 巖土類的塑性應變量不遵守傳統的塑性勢理論

經典的塑性力學一般只適用于金屬材料，當將其用于巖土材料時，會導致一些不符合實際情況的問題出現，導致理論計算和實際試驗結構存在矛盾，通過大量的試驗，經典塑性力學在巖土類材料中應用會存在幾點問題。首先，根據經典塑性力學的塑性勢理論分析，關于塑性的應變增量應當只是取決于應力的狀態，和應力的增量無關，但是在實際的試驗當中，發現巖土的塑性應變增量不僅和應力的狀態相關，還和應力的增量有著密切的關系。巖土類的塑性應變增量不僅和應力的狀態相關，更是與應力增量相關。

1.2 經典塑性力學沒有考慮應力主軸旋轉，難以適應巖土工程

通過相關學者的試驗證明，盡管巖土類的塑性主應力相同，但是如果塑性的應力主軸發生旋轉，其方向變化也會發生塑性變形，但是如果是按照經典塑性力學理論，是無法算出這種塑性變形的，所以由此表明經典塑性力學如果應用到巖土類材料當中，是沒有充分考慮到主軸的旋轉，因此不應用于巖土工程。

2 彈塑性力學的內容

2.1 應力分析

彈塑性力學主要是對線彈性體以及理想彈塑性體進行研究，對這兩種線體進行關于應力的分析、應變的分析。所以彈塑性力學的主要研究內容是應力分析和應變分析，我們可以通過使用理論方法分析以及試驗的方法對彈塑性力學進行分析研究。應力分析主要是對彈塑性體內的任一點的應力狀態以及微元體的平衡條件進行分析。所以一般來說，關于彈塑性力學的應力分析，主要包括有以下的內容：1)對任一斜截面上的正應力和剪應力進行分析；2)對任一單元體的主應力、最大剪應力以及主平面進行分析；3)對等傾面上的正應力和剪應力進行分析，并且分析建立應力偏量和應力強度以及應力狀態特征角的關系；4)在應力空間中進行應力lode參數的研究；5)對應力張量進行分解分析；6)對平衡微分方程進行分析。

2.2 應變分析

關于彈塑性力學的應變分析，主要是對彈塑性體內任一點的應變狀態以及物體的幾何方程進行分析研究。所以彈塑性力學應變分析的內容主要包括有六點，分別是：1)對任一斜截面上的正應變和剪應變進行分析；2)對任一單元體的主應邊和最大剪應變進行分析；3)對等傾面上的正應變和剪應變進行分析，并且分析建立應變偏量和應變強度以及應變狀態特征角的關系；4)在應變空間中進行lode參數的研究；5)對應變張量進行分解分析；6)對幾何方程及應變協調方程進行分析。

2.3 應力和應變的關系

彈塑性力學除了研究應力分析和應變分析外，還包括對應力和應變之間關系的分析，關于彈塑性力學中針對于應力和應變關系的分析內容主要有五點，具體如下：1)通過對材料拉壓曲線的研究中得出常用的簡化彈塑性力學模型；2)對彈性應力應變關系進行分析說明，彈塑性力學的應力應變關系也稱之為廣義的胡克定律；3)彈塑性力學中研究應力和應變關系的常用塑性屈服準則主要有Tresca屈服準則和Mises屈服準則；4)關于彈塑性應力和應變的關系，主要是增量型和全量型；5)對德魯克公設以及伊柳辛理論進行說明。

德魯克公設是指德魯克根據強化的材料單向拉伸，使之進入到塑性的變形狀態后，然后在加載和卸載的應力循環過程當中，附加外力橫來做正功的性質以及有關熱力學的規律所提出的彈塑性材料強化假設。

3 彈塑性力學中的簡化問題

3.1 材料的簡化

關于工程中彈塑性力學的計算是非常復雜和困難的，所以要計算彈塑性力學時，可以對問題進行簡化處理，首先，需要對材料進行簡化處理。因為在進行彈塑性力學計算過程中，常常需要進行一些假設才能進行計算，而這些假設則是對問題的簡化，有利于幫助學者更加解決問題，提高解決效率。比如，在進行彈塑性力學過程中，一般會將物體假設成是連續性的，因為只有將物體假設成為連續性的才能保證物體內的應力和應變都是連續性的變化，才能更好地用函數以及坐標來表示。其次，對于物體的形狀也假設是均勻的，并且具有向同性的，這樣當物體處于無初始應力的時候，就可以將物體各個部位的彈塑性都假設是相同的，并不會隨著物體位置的改變而發生改變，更有利于解答問題。在實際的彈塑性力學計算當中，常常會作出小變形假設，也就是假設物體在受到外力的作用下，物體中各個點的變形都要小于物體的尺寸，所以在計算過程中，就可以忽略由于物體變形所引起的物體位置以及尺寸的變化，簡化計算。

3.2 對應力和應變關系的簡化

關于應力和應變的關系，可以結合實驗的資料來將其進行簡化，因為在研究物體應力和應變關系的時候，其計算的基本依據是物體是單向拉伸曲線的，所以就要簡化物體的單向拉伸曲線，簡化的前提是保證物體要比較好，應力和應變之間的數學關系表達式也比較簡單。一般情況下，研究人員會采用簡化后的應力和應變關系模型進行分析探討，常用的簡化模型主要有7種，分別是線彈性模型、非線性彈性模型、理想彈塑性模型、線彈性線性強化模型、剛塑性模型、冪強化模型以及脆塑性模型，線彈性力學模型在彈性力學中的應用是最為廣泛的。因為在線彈性力學模型當中，此時的應力和應變之間的關系遵循胡克定律，所以彈性的常數不會跟著應力或者應變數據大小的變化而發生改變，這樣就比較符合小變形假設，有利于進行問題的簡化，提高問題解答的效率。相反，非線性彈性力學，由于其變形比較大，不能忽略其變形的影響，所以解答問題的方法非常復雜，因此至今所能夠解答的問題是非常少的。

3.3 求解彈塑性力學問題的方法簡化

關于彈塑性力學問題的計算方法簡化可以分成兩個方面進行研究，分別是對線彈性力學問題的求解以及對彈塑性力學問題的求解。首先，在彈塑性力學當中，為了保證能夠從已知的數據當中求解出應力、應變等數據，所以在分析計算過程中需要結合問題的靜力學、幾何學以及物理學進行綜合分析，從而建立滿足彈性力學方程的要求條件。比如在幾何學方面就假設物體在變形前后都是連續的，在靜力學方面就假設物體是處于平衡的，在物理學方面就要建立好應力和應變之間的關系，比如在線彈性體當中，應力和應變之間的關系就成線性關系。如果要解決平面問題，就比較簡單，要解答線彈性力學當中的平面問題，比如有3個應力分量、3個應變分量以及2個位移分量，也就是說一共有8個未知數據，而已知的條件則有8個，分別是2個平衡方程、3個幾何方程以及3個物理方程，所以在解答問題的時候則需要聯立解答5個微分方程以及3個代數方程。如果此時使用應力函數來解決彈性力學中的平面問題，則可以通過找取一個函數，這個函數要滿足一些線彈性模型的假設條件，比如要滿足平衡條件、要滿足變形條件以及物理條件。而此時該函數所表示的應力則是要解答出來的應力，然后就可以通過應力應變關系式來計算出應變數值，然后再計算出位移數值。

其次，要解決彈塑性力學問題，因為彈塑性力學的關系研究非常復雜，在彈塑性力學領域當中，應力和應變之間的關系不再是一一對應的關系，比如應變的大小變化不僅和荷載相關，還和物體變形的歷史相關，所以計算難度大大地增加。因此，在進行塑性力學問題解答時，需要對屈服函數進行簡化，當主應力的大小次序都是已知條件的時候，就可以選用特雷斯卡屈服條件，當最大正應力滿足屈服條件的時候，就會大大地簡化計算過程。常用的而且比較成功塑性力學簡化方法主要有兩個，分別是靜定問題求解法以及界限法。

4 彈塑性力學在橋梁中的應用

4.1 纖維單元

彈塑性力學在橋梁中有著重要的應用，特別是當橋梁遇到地震時，彈塑性力學發揮著重要的作用。橋梁中彈塑性力學所使用的纖維單元可以將梁單元截面分割成為多個只有軸向變形的纖維模型，在使用該纖維模型的時候可以將纖維材料中的應力和應變直觀的關系以及截面應變的分布形狀都假設成為比較準確的截面彎矩—曲率關系，所以應當加強由于軸力所引起的纖維單元中和軸的變化。運用到橋梁中的彈塑性力學中的纖維模型主要有三種假設，分別是：第一，纖維的截面變形能夠維持平截面的狀態，并且和構件的軸線保持垂直的狀態；第二，該纖維模型不考慮鋼筋和混凝土之間存在的滑移；第三，該纖維模型中的梁單元截面形心的連線呈直線。所以在該纖維模型當中，每個纖維的軸向變形都能夠和截面的軸向變形和彎曲變形相對應，纖維的應力狀態由纖維應變狀態來決定，而且可以通過纖維的應力狀態來計算出纖維截面的軸力和彎矩大小。

4.2 彈塑性動力時程反應分析

當橋梁遇到地震時，可以根據彈塑性動力時的反應關系式來計算出等效塑性鉸長度，等效塑性鉸長度和懸臂墩的高度、塑性鉸截面到反彎點的距離、橋梁縱向的鋼筋抗拉強度標準值以及縱向鋼筋的直徑有著密切的關系。為了加強對地震情況下橋梁中的彈塑性力學變化的研究，可以通過構建彈塑性纖維單元模型來進行研究，所構建的模型所采用的是雙折線型的隨動硬化模型，當橋梁預應力小箱梁結構橫橋箱是框架墩結構的時候，當出現橫橋向地震時，橋梁的結構墩底則會和墩頂進入到塑性的工作狀態，當出現順橋向地震時，就會在橋梁的墩底出現彈塑性狀態，所以橫橋向和順橋向地震時，橋梁的塑性狀態所處的位置會有所不同。

總的來說，彈塑性力學的計算是非常復雜的，而且所包含的關系也是非常復雜，但是將彈塑性力學運用到橋梁當中，可以有效減少地震時對橋梁造成的損害，大大地保護好了橋梁，所以我們應當加強彈塑性力學在橋梁中的應用。