關于最速運動問題的探討

■ 李澤昊

山東省泰安第一中學 山東泰安 271000

引言

在一些競技運動中，如果是以時間長短決定勝負，沿著最快路徑將獲得更大的優勢。最快到達最高速度對于建造過山車也有巨大的指導意義，那些造過山車的工程師總要絞盡腦汁在有限的垂降距離里，盡快達到最高速。我們現在對最速運動問題進行探討，做出一些假設，來進行驗證。

作出假設

方案1：兩點之間直線距離最短，更短的距離或許會用時更短。

方案2：先讓小球豎直下落，再讓小球以很大的速度水平到達B點，更高的速度或許會用時更短。

方案3：沿擺線下落，起始近乎垂直加速，讓物體獲得了快速通過后半程水平位移的能力，平均速度最快。

擺線描述的是某個圓上的一點，在圓沿直線運動時候的滑過的軌跡。如圖1。

圖1

圖2

方案3用時：

首先建立坐標系，可以已知擺線會經過坐標A點（0,0）和B點（1,1）

則方案3用時為0.424

通過以上結果對比可以知道擺線下降時間最短，擺線也稱為最速曲線，有時候也被稱之為“等時曲線”，你可以把物體放在“等時曲線”的任何位置上，它們都將以相同的時間滑落到同一個位置，位置越高的物體，將以更快的速度，和位置較低的物體一起通過最低點。

針對以上結論，通過模擬實驗，我們同樣可以進行驗證。

尋找一種平面曲線，若按這種曲線的形狀做成光滑的軌道，那么從軌道上不同位置處同時靜止釋放的小球，會同時下滑到軌道底部，如圖2所示。

A、B、C同時靜止釋放，同時下滑到最低點O。

由于簡諧運動的周期與振幅無關，因此，只要物體沿著軌道的方向上做簡諧運動，即可使不同位置同時靜止釋放的小球同時到達平衡位置O。

這里所述的簡諧運動，并不是嚴格意義上的簡諧運動，因為運動不在同一直線上，而是沿著軌道表面。

我們在計算機中按照簡諧運動要求設置模擬運動軌跡，進行運動模擬實驗。

從不同位置的起點釋放，經過運動，到達軌跡最低點，當物體同時運動的時候，會發現不論位置高低，將會同時經過最低點。如圖3所示。然后經過最低點后，根據能量守恒定律達到對稱位置，相同高度。

圖3

圖4

總之，最速運動路線的形成必須是在確定的速度場中，而確定的速度場的形成又必須是在保守的力場中。在非保守力（如摩擦力）場中是絕對不行的。保守場的方向和強度分布不同，最速運動路線的類型也就不同。它可能是滾擺線（也叫旋輪線），但也完全可能是別種線。所以滾擺線未必總是最速線，它必須在特定的情況下才能成為最速線。

結束語：

最速運動路線的研究與發現，在物理學和幾何學上都有著重大的意義，它填補了人類科研史上的一項空白。物體是沒有思想的，更不可能想那么長遠，使自己能沿著用時最少的路線運動。不僅保證自己在每個微分段用時最少，還能保證在整體上也用時最少。但是如果給它一個合適的機制，那么就能使它走出用時最省的路線，這不難理解。對于這一問題的研究，人們曾走了許多彎路，耗費了無數人的精力；可現在我們所得到的運動制約竟是如此簡單，真是出人預料，令人嘆奇！