基于糾纏見證的路徑糾纏微波檢測方法?

朱浩男 吳德偉 李響 王湘林 苗強(qiáng) 方冠

(空軍工程大學(xué)信息與導(dǎo)航學(xué)院,西安 710077)

1 引 言

近年來,國內(nèi)外對量子領(lǐng)域的研究和探索取得了豐碩的成果[1?4].量子理論逐步走向成熟,大量理論成果都已經(jīng)在試驗(yàn)中得以驗(yàn)證,并且部分技術(shù)已經(jīng)能夠在工程中得以應(yīng)用,最具代表性的是我國于2016年8月份成功發(fā)射的“墨子”號量子科學(xué)實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星,用于研究基于糾纏光的量子保密通信技術(shù);量子計(jì)算、量子雷達(dá)[5,6]等顛覆性技術(shù)的研究也在穩(wěn)步進(jìn)行中.目前,比光頻段頻率更低的微波頻段受到關(guān)注,開展了研究微波頻段的量子現(xiàn)象[7?9],并且已經(jīng)取得了初步的成果,國外一些研究小組已經(jīng)在實(shí)驗(yàn)中產(chǎn)生了空間分離的連續(xù)變量糾纏微波信號[10?13],實(shí)現(xiàn)了路徑糾纏.

最常見的糾纏是光學(xué)中的糾纏光子對,屬于兩體糾纏,常見的有光子數(shù)糾纏和光子偏振糾纏.但光頻光子在傳播過程中受外部環(huán)境影響大,而微波信號的波長比光信號長,具有光信號所不具備的繞射能力以及能夠在復(fù)雜環(huán)境下傳播距離更遠(yuǎn)的優(yōu)勢.一個(gè)微波光子所具有的能量要遠(yuǎn)低于光頻光子,對單個(gè)微波光子的探測要更加困難一些,通常對糾纏微波的探測是通過對大量微波光子群疊加形成的電磁場進(jìn)行測量來完成的.

對于所制備出的兩路微波信號,如何驗(yàn)證其處于糾纏態(tài)成為一個(gè)很重要的問題,本文提出一種基于糾纏見證的糾纏微波信號探測方法,通過構(gòu)造出探測糾纏態(tài)的糾纏見證(entanglement witness)算符[14?16],并應(yīng)用微波分束器[17]在物理上實(shí)現(xiàn),進(jìn)行路徑糾纏微波的探測.

2 路徑糾纏微波簡介

2.1 雙模壓縮微波光子對的糾纏形式

量子糾纏是量子力學(xué)中的一種奇特現(xiàn)象,糾纏粒子之間能夠表現(xiàn)出非定域的關(guān)聯(lián)性質(zhì).路經(jīng)糾纏微波信號是在微波頻段內(nèi)的量子糾纏,指分布在空間上處于分離狀態(tài)的兩個(gè)傳播路徑上,且能夠保持糾纏狀態(tài)沿著各自的路徑傳播到信息系統(tǒng)的任意兩個(gè)部件的糾纏微波場信號,這一現(xiàn)象也可以被認(rèn)為是微波光子群之間的糾纏.在工程上使用路徑糾纏微波就是對微波光子群組成的電磁場的場強(qiáng)測量而非對微波光子的直接探測,這區(qū)別于糾纏光的使用.這里對路徑糾纏微波進(jìn)行理論研究和特性分析時(shí),仍然可以在微波光子數(shù)態(tài)[18]下進(jìn)行.

制備非經(jīng)典的微波雙模壓縮態(tài),其中一種常見方法是使用約瑟夫森參量放大器(Josephson parametric ampli fier,JPA)實(shí)現(xiàn),約瑟夫森參量放大器實(shí)現(xiàn)的哈密頓量相互作用可以作為參量下轉(zhuǎn)換哈密頓量,真空態(tài)在約瑟夫森參量放大器的作用下產(chǎn)生雙模壓縮真空態(tài)[19].

可以定義電磁場模式的正交分量為

式中Xa,Pa分別代表a模電磁場的正交振幅分量和正交相位分量;Xb,Pb分別代表b模電磁場的正交振幅分量和正交相位分量.

當(dāng)抽運(yùn)作用在電磁場和頻率為νa+νb時(shí),在約瑟夫森混合器的雙模壓縮作用下產(chǎn)生a模和b模的雙模孿生光子對,這對糾纏微波光子輸入輸出的正交分量有如下的關(guān)系:其中分別代表輸入端a模和b模的正交振幅分量;分別代表輸入端a模和b模的正交相位分量;分別代表輸出端a模和b模的正交振幅分量,分別代表輸入端a模和b模的正交相位分量.

由于輸入為真空態(tài),因此對上等式兩邊求二階期望得到:

可見輸出a,b模的X分量是正相關(guān),P分量是反相關(guān)的.由于a,b模微波光子的相位為

因此也可以認(rèn)為這對糾纏微波光子的相位是共軛的.

根據(jù)上面對雙模壓縮產(chǎn)生的孿生光子對的分析,雙模壓縮態(tài)產(chǎn)生a模和b模孿生微波光子對有著相互共軛的相位;當(dāng)單獨(dú)測量a模光子時(shí)它的相位是完全隨機(jī)的,因此對a模微波光子進(jìn)行測量會使得其依概率隨機(jī)塌縮至任意相位,則與之糾纏的b模微波光子會同時(shí)塌縮到共軛的相位,使得正交分量的測量結(jié)果在X分量是正關(guān)聯(lián),P分量是反關(guān)聯(lián)的.并且,這種相位上的糾纏屬于連續(xù)變量糾纏,可以表述為

對大量的微波光子構(gòu)成的電磁場來說,由于場強(qiáng)是大量光子矢量的疊加,雖然對于大量a或b模光子,由于隨機(jī)起伏的正交分量是矢量線性疊加的,導(dǎo)致它們正交分量幅度出現(xiàn)隨機(jī)的變化,但a,b模光子群正交分量的關(guān)聯(lián)性不變,起伏幾乎完全一致,使得總體的電磁場的X分量正相關(guān),P分量反相關(guān).

2.2 路徑糾纏微波的制備方式

路徑糾纏微波的制備方式目前有利用約瑟夫森參量轉(zhuǎn)換器的制備方案、利用微波頻段HOM效應(yīng)的制備方案、利用威爾金森功分器的制備方案、利用約瑟夫森參量轉(zhuǎn)換器的制備方案和利用超導(dǎo)180°混合環(huán)的制備方案等.制備路徑糾纏微波的關(guān)鍵就是制備壓縮態(tài)的微波信號和用微波分束器對壓縮態(tài)微波中的微波糾纏光子對進(jìn)行分離.上面提到的超導(dǎo)180°混合環(huán)、威爾金森功分器，基于約瑟夫森結(jié)的約瑟夫森混合器等[17]均可作為制備路徑糾纏微波的微波分束器.

下面以采用超導(dǎo)180°混合環(huán)制備糾纏微波方案為例，對使用微波分束器分離糾纏光子對來制備路徑糾纏微波的方法進(jìn)行簡單介紹。如圖1所示，約瑟夫森參量放大器產(chǎn)生的壓縮態(tài)信號[20]和50 ?負(fù)載產(chǎn)生的熱態(tài)作為超導(dǎo)180°混合環(huán)的兩路輸入信號，超導(dǎo)180°混合環(huán)有四個(gè)端口，其中兩個(gè)為輸入端，兩個(gè)為輸出端。兩路輸入信號分別從輸入端口進(jìn)入混合環(huán)，在其內(nèi)部產(chǎn)生干涉效應(yīng)[21]，通過調(diào)節(jié)超導(dǎo)環(huán)周長，使兩路輸入信號在端口A,C處產(chǎn)生相消干涉，而端口B,D處產(chǎn)生相長干涉，進(jìn)而在兩個(gè)輸出端口得到兩路路徑糾纏微波信號[17]，其輸入輸出關(guān)系為：

圖1 超導(dǎo)180°混合環(huán)產(chǎn)生路徑糾纏微波示意圖Fig.1.Schematic diagram of using superconducting 180 degree hybrid ring to generate path-entangled microwave signals.

3 兩種常見糾纏形式糾纏見證的構(gòu)造

在制備出路徑糾纏微波以后,要驗(yàn)證所得到的兩路信號是否為糾纏態(tài)成為一個(gè)關(guān)鍵的問題,這顯然是對兩體糾纏的探測.已有的糾纏探測判據(jù)中,比較著名的有糾纏見證[14]和部分轉(zhuǎn)置正定(positive partial transpose,PPT)判據(jù)[22].

糾纏見證是一種可以在物理上直觀實(shí)現(xiàn)的糾纏探測方式,糾纏見證算符W滿足以下三個(gè)條件:1)至少有一個(gè)負(fù)本征值;2)對所有純直積態(tài)都具有非負(fù)期望值;3)Tr(W)=1.假如量子態(tài)ρAB是可分態(tài),那么它具有非負(fù)平均值Tr[WρAB]≥0;假若量子態(tài)ρ為糾纏態(tài),其可以被W探測,得到Tr[WρAB]＜0.

PPT判據(jù)由Asher Peres于1996年提出,對于一個(gè)包含兩個(gè)子系統(tǒng)的量子系統(tǒng)ρAB,若對其中一個(gè)子系統(tǒng)做部分轉(zhuǎn)置后得到的矩陣仍然是一個(gè)密度矩陣,即有非負(fù)本征值,則這個(gè)量子態(tài)為可分態(tài);而對于糾纏態(tài),對其中一個(gè)子系統(tǒng)做部分轉(zhuǎn)置后得到的矩陣是非正定的,有負(fù)本征值.

下面將根據(jù)PPT判據(jù),分別對常見的兩種2?2糾纏進(jìn)行糾纏見證算符的構(gòu)造,并給出它們對應(yīng)的糾纏見證算符形式.

3.1 |ψ〉=A|01〉+B|10〉形糾纏見證算符的構(gòu)造

下面將結(jié)合PPT判據(jù)來構(gòu)造2?2量子態(tài)的糾纏見證算符,據(jù)此探測兩路信號是否糾纏.一種常見的兩比特糾纏態(tài)為

其中|ψ〉=A|01〉+B|10〉,A,B為復(fù)系數(shù)即概率幅,且|A|2+|B|2=1.

此量子態(tài)是部分轉(zhuǎn)置非正定的,是一個(gè)糾纏態(tài).因此密度矩陣的部分轉(zhuǎn)置ρT?I就有負(fù)的本征值,并且設(shè)其對應(yīng)的歸一化本征態(tài)為|e?〉,即

因此有

由糾纏見證算符的定義,顯然|e?〉〈e?|T?I可作為糾纏態(tài)ρ=|ψ〉〈ψ|的糾纏見證,糾纏見證算符W為

在上述過程中,我們可以得到:

由此得到負(fù)本征值對應(yīng)的本征態(tài)為

設(shè)在上述糾纏態(tài)中,系數(shù)A,B的相位差為φ,因此W的形式如下:

我們發(fā)現(xiàn),若上述相位差φ=π時(shí),即系數(shù)A,B反相時(shí),糾纏見證算符W就等效于一個(gè)厄米交換(SWAP)算符V,其表述如下:

其中|x〉,|γ〉分別表示兩個(gè)量子態(tài).

3.2 |ψ〉=A|00〉+B|11〉形糾纏見證算符的構(gòu)造

對于另一種常見的兩比特糾纏態(tài)為

其中|ψ〉=A|00〉+B|11〉,且|A|2+|B|2=1. 其部分轉(zhuǎn)置矩陣ρT?I矩陣為

可以得到負(fù)本征值對應(yīng)的本征態(tài)為

同樣的上述糾纏態(tài)中,當(dāng)系數(shù)A,B的相位差?=π時(shí),因此糾纏見證W′的形式如下:

綜上,兩種不同糾纏態(tài)糾纏見證算符是有所差異的,同時(shí)彼此之間也有一定的聯(lián)系,第一種糾纏態(tài)的糾纏見證W可以用一個(gè)受控SWAP門[23]來實(shí)現(xiàn),在受控SWAP門之前再添加一個(gè)量子門I?X,使得I?X門和受控SWAP門的串聯(lián)線路等效于W′作為第二種糾纏態(tài)的探測線路,其本質(zhì)是先將第二種糾纏轉(zhuǎn)化為第一種糾纏形式,然后用受控SWAP門來實(shí)現(xiàn)糾纏探測,其線路圖如圖2所示.

圖2 第二種糾纏轉(zhuǎn)化為第一種糾纏的量子線路Fig.2.A quantum circuits to convert the second type entanglement into the fi rst one.

4 應(yīng)用微波分束器進(jìn)行路徑糾纏微波信號的探測

4.1 路徑糾纏微波的糾纏見證

路徑糾纏微波的糾纏是屬于兩體連續(xù)變量糾纏,并且糾纏形式為空間分離的糾纏微波光子對相位上的共軛,假如其中一個(gè)微波光子塌縮至α相位,那么與之相糾纏的微波光子必然塌縮至相位α?.由于在制備糾纏微波時(shí),雙模壓縮真空態(tài)的壓縮幅度會受到實(shí)驗(yàn)設(shè)備和外部環(huán)境等因素的限制而不會達(dá)到無窮大,所以糾纏微波光子對所塌縮的相位并不會完全精確地共軛,而是會有很小的誤差.因此實(shí)際中所制備糾纏微波的糾纏態(tài)維度并不會達(dá)到無窮大,可以把它看作是兩體多維的糾纏態(tài):

其中r,t分別表示糾纏微波光子對空間分離后傳播的兩個(gè)不同路徑;N為糾纏的維度,會受到雙模壓縮真空態(tài)壓縮幅度的影響,壓縮幅度越大,N也就越大.

接著對路徑糾纏微波態(tài)做進(jìn)一步的整理,根據(jù)前面的討論,單獨(dú)一路中路徑微波光子的相位為α∈[0,2π),令相位βi=α?i,則路徑糾纏微波的糾纏形式可以重新表述為

通過上式的表述,利用共軛相位的對稱性可以將微波糾纏態(tài)分解為無限維的(|01〉+|10〉)形2?2糾纏的疊加態(tài).(|01〉+|10〉)形糾纏的糾纏見證算符為:

因此上述糾纏見證算符也能夠作為大量(|01〉+|10〉)形糾纏疊加構(gòu)成的路徑糾纏微波地探測.

4.2 應(yīng)用微波分束器構(gòu)造糾纏見證

使用微波分束器作為干涉儀構(gòu)造SWAP門,可以實(shí)現(xiàn)上述的糾纏探測方法,此方法能夠在物理上進(jìn)行直觀觀察.微波分束器不僅可以用來進(jìn)行路徑糾纏微波的制備,同樣可以用來進(jìn)行路徑糾纏微波的探測和驗(yàn)證.其主要的過程為將兩路糾纏的微波信號通過兩個(gè)端口送入微波分束器后,然后對兩個(gè)輸出端口進(jìn)行微波光子符合計(jì)數(shù),通過符合計(jì)數(shù)率來觀察兩路信號是否糾纏.

下面在微波光子數(shù)態(tài)表象下進(jìn)行理論上的推導(dǎo),介紹利用微波分束器構(gòu)造糾纏見證算符的具體過程.

1)首先將兩路量子態(tài)微波信號分別從兩個(gè)入口輸入微波分束器,所輸入的量子態(tài)可以表示為

其中r,t分別表示兩個(gè)輸入路徑.

2)兩路路徑糾纏微波信號送入微波分束器后,經(jīng)過微波分束器的作用,把兩個(gè)輸出信號路徑設(shè)為u,d,可以得到如下的輸出態(tài):

3)接下來對u,d兩端口輸出的信號進(jìn)行微波光子的符合計(jì)數(shù),符合計(jì)數(shù)是當(dāng)兩路的計(jì)數(shù)器同時(shí)有光子計(jì)數(shù)時(shí),進(jìn)行一次微波光子計(jì)數(shù).在這里通過微波光子的符合計(jì)數(shù),目的在于去除路徑為u,u和d,d部分的信號,即(23)式中

部分,而只留下傳輸路徑為u,d和d,u的信號,得到的量子態(tài)為

最終得到輸出的末態(tài)為

兩路信號經(jīng)過微波分束器和微波光子符合計(jì)數(shù)的過程,末態(tài)中出現(xiàn)了厄米交換算符V.

圖3 應(yīng)用微波分束器進(jìn)行路徑糾纏微波檢測示意圖Fig.3.Schematic diagram of using microwave beam splitter to detect path entangled microwave signals.

接下來對上述末態(tài)密度矩陣進(jìn)一步分析,由于在最后符合計(jì)數(shù)過程中沒有對輸出信號進(jìn)行偏正測量,因此符合計(jì)數(shù)的結(jié)果就正比于末態(tài)|ψf〉密度矩陣的跡.末態(tài)密度矩陣為

對密度矩陣ρ′求跡可以得到

可見通過微波分束器可以得到厄米交換算符V作用在微波量子態(tài)密度矩陣上得到Tr[Vρ]的值,而根據(jù)前面分析,算符V是(|01〉?|10〉)形糾纏的糾纏見證算符,因此通過微波分束器就能夠在物理上實(shí)現(xiàn)對此形式糾纏的探測.根據(jù)Tr[Vρ]實(shí)部的正負(fù)可以判斷所輸入的量子態(tài)是否(|01〉?|10〉)形糾纏,能夠看出若兩路量子態(tài)是可分態(tài)或不是此類形式的糾纏,則Re{Tr[Vρ]}≥ 0使得Tr[ρ′]小于或等于1;若信號糾纏是這一形式糾纏,則Re{Tr[Vρ]}＜0使得Tr[ρ′]大于1,并且兩路信號的糾纏度越大,則Tr[ρ′]越大,導(dǎo)致微波光子的符合計(jì)數(shù)率越高.直接得到Re{Tr[Vρ]}的正負(fù)信息比較困難,可以通過先后輸入兩路功率相同的糾纏態(tài)和標(biāo)準(zhǔn)直積態(tài)微波信號,在輸出端使用進(jìn)行微波光子符合計(jì)數(shù),通過對微波光子計(jì)數(shù)率進(jìn)行對比來判斷Re{Tr[Vρ]}的正負(fù),即觀察輸出端兩路是否發(fā)生微波光子計(jì)數(shù)率的翻轉(zhuǎn),來判別所制備的量子態(tài)是否為(|01〉?|10〉)形糾纏態(tài).

在實(shí)際的工程中,單個(gè)微波光子的能量很弱,導(dǎo)致很難對微波光子進(jìn)行單光子計(jì)數(shù).為了解決這一問題,需要改變對量子態(tài)微波的測量方式.我們知道光子的符合計(jì)數(shù)率正比于二階關(guān)聯(lián)函數(shù)〈Ir(t)It(t)〉, 這里Ir(t),It(t)分別為r,t兩路的瞬時(shí)光強(qiáng),瞬時(shí)光強(qiáng)又正比于這一時(shí)刻場強(qiáng)的平方.這樣對同一時(shí)刻兩路信號場強(qiáng)的平方做互相關(guān),兩路信號場強(qiáng)平方的互相關(guān)值的大小就正比于兩路微波光子的符合計(jì)數(shù)率的大小.這樣就把較為困難的微波光子數(shù)測量轉(zhuǎn)化為對場強(qiáng)的測量,減小了處理難度.

目前,已有研究者應(yīng)用上述類似方法在光學(xué)上進(jìn)行了偏振糾纏態(tài)的檢測[24];國外研究者通過構(gòu)造的驗(yàn)證矩陣是否含有負(fù)特征值進(jìn)行了糾纏微波的檢測[10].

4.3 路徑糾纏微波的糾纏見證的物理實(shí)現(xiàn)

在前面的分析中,應(yīng)用微波分束器可以構(gòu)造出(|01〉?|10〉)形糾纏的糾纏見證算符V.而路徑糾纏微波的糾纏形式為

這是N/2個(gè)(|01〉+|10〉)形糾纏的疊加,所以微波分束器并不能夠直接作為糾纏微波的探測.這就需要其他的量子器件與微波分束器結(jié)合起來實(shí)現(xiàn)路徑糾纏微波的檢測,通過觀察可以發(fā)現(xiàn),若能夠把糾纏微波的糾纏形式變?yōu)?/p>

則成為多個(gè)(|01〉?|10〉)形二維糾纏的疊加態(tài),這樣就能夠應(yīng)用微波分束器來進(jìn)行糾纏探測了.

實(shí)現(xiàn)這一轉(zhuǎn)換過程需要對路徑t的微波量子態(tài)進(jìn)行連續(xù)變量量子邏輯操作,使t路徑微波光子相位在[0,π),即微波光子的Pb分量大于零時(shí),對微波光子進(jìn)行反相操作,其余情況下不做變化.這個(gè)過程可以認(rèn)為是連續(xù)變量的受控相位門,如何在物理上實(shí)現(xiàn)這個(gè)量子態(tài)轉(zhuǎn)換過程目前也有一定的難度,這也有待于實(shí)現(xiàn)量子計(jì)算的器件進(jìn)一步發(fā)展.綜上所述,利用連續(xù)變量受控相位門與微波分束器的串聯(lián)量子線路,就能夠在物理上實(shí)現(xiàn)路徑糾纏微波的探測.

5 總結(jié)與展望

本文介紹了利用約瑟夫森混合器制備非經(jīng)典雙模壓縮態(tài)微波的原理,并通過諧振器或微波分束器將糾纏的光子對分離產(chǎn)生路徑糾纏微波的方法.接著結(jié)合PPT判據(jù)和糾纏見證的定義,推導(dǎo)了兩種2?2糾纏態(tài)的糾纏見證算符的形式.然后將連續(xù)變量糾纏的微波糾纏態(tài)進(jìn)行分解,把糾纏微波看作多個(gè)2?2糾纏疊加的糾纏態(tài),并由此證明利用連續(xù)變量受控相位門與微波分束器的組合電路能夠在物理上構(gòu)造路徑糾纏微波的糾纏見證算符,用于路徑糾纏微波的檢測方法,并對試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了理論上的分析.本文提出的糾纏微波檢測方法相比于量子態(tài)重構(gòu),態(tài)估計(jì)等糾纏檢測方法更加簡便直觀,一定程度上減少了計(jì)算操作,并有更大的容許誤差.

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