線性不可逆熱力學框架下一個無限尺寸熱源而有限尺寸冷源的制冷機的性能分析?

張榮 盧燦燦 李倩文 劉偉 白龍

(中國礦業大學物理科學與技術學院,徐州 221116)

1 引 言

當前,能源的存儲和利用已經成為全世界所面臨的一個重要問題.由于不可再生能源的日益枯竭(例如:石油,煤炭,天然氣等),有效利用不可再生和可再生能源已經成為節約能源和維持社會可持續發展的重要途徑之一.熱機作為一種將熱能轉換為機械能的裝置,自發明以來一直在人們的工農業生產和生活中發揮著重要作用.值得注意的是,熱機(包括制冷機)的效率η(制冷系數ε)會受到卡諾定理的限制,即η≤ηC=1?Tc/Th[ε≤εC=Tc/(Th?Tc)],這里Th和Tc分別是高低溫熱源的溫度,ηC和εC分別是卡諾效率和卡諾制冷系數.然而,由于卡諾熱機(制冷機)的工作過程是準靜態過程,導致其輸出(輸入)功率為零,這使得基于卡諾循環的熱設備的使用受到了極大制約.20世紀50—70年代,Yvon,Chambadal,Novikov,Curzon和Ahlborn等研究了工質與高低溫熱源接觸滿足有限時間的熱轉移過程[1,2],并給出了有限時間條件下的熱機在最大功率時的效率,即所謂CA效率他們的先驅性工作標志著有限時間熱力學的誕生.隨后,有限時間熱力學與線性不可逆熱力學的等價性被證明[3],這進一步豐富了有限時間熱力學的科學內涵.目前,有限時間熱力學因其理論的實用性已經成為熱力學研究的一個活躍領域[4?12].

眾所周知,人們對于熱機(制冷機)的研究通常是假設熱源的尺寸無限大(或者高低溫熱源的溫度保持不變)的條件下進行的.而事實上,這種理想化的條件使得對于熱機(制冷機)的性能優化缺乏一定的工程實用性.基于有限時間熱力學方法,一些研究表明高低溫熱源的尺寸對于熱機性能有著重要影響[13?16].高低溫熱源均為有限尺寸情況下的熱機研究給出了一個內可逆循環熱機性能的優化關系[17].基于線性不可逆熱力學方法,高溫熱源尺寸有限而冷源尺寸無限情況下的研究表明:在緊耦合條件下熱機的最大輸出功為有效能的一半,相應的效率也是基于輻射能定義的最大熱力學效率的一半[18].一個關于高低溫熱源均為有限尺寸的熱機性能的系統性研究給出了熱機工作在線性響應和非線性響應區域的優化途徑[19,20].因此,熱源有限尺寸的熱設備的性能研究因其具有工程實踐性價值已經成為有限時間熱力學研究領域的一個重要課題。

然而,目前人們更多關注有限尺寸熱源(或冷源)熱機的性能優化問題,而對于高溫熱源尺寸無限而冷源尺寸有限的制冷機的性能研究較少,其實該制冷過程對應于一個有限尺寸的物體(冷源)被冷卻到一個指定的目標溫度而外部環境(熱源)溫度保持不變的一個熱力學過程,這也是在工程實踐中的常見過程.本文基于線性不可逆熱力學理論,結合有限時間熱力學方法,研究了一個有限尺寸低溫熱源的制冷機(保持高溫熱源無限)的工作執行,解析性地給出了該制冷機在緊耦合條件下的輸入功率和制冷系數的表達式,并且進一步討論了該制冷機的性能優化問題.本文的研究結果有助于人們深入理解制冷機的實際工作過程.

2 物理模型和公式

本文的制冷機模型如圖1所示,假設該制冷機冷源的初始溫度為Tc0,制冷的目標溫度為Tcf,Th為高溫熱源的溫度(保持不變),T是冷源在制冷過程中的溫度,CV=CV(T)為冷源的等體熱容量.當外界輸入無限小功dA時,工質從冷源吸收的無限小熱量為dQc,則該制冷機在工作過程中外界的輸入功A為

其中,εT是制冷系數,為對應該過程的卡諾制冷系數.一個閉合的熱力學系統與其外界周圍環境構成一個復合熱力學系統,外界對這個復合熱力學系統所做的最小功就是制冷機的輻射能.因此,外界輸入制冷的最小功(也稱輻射能)E為

這里Ui(Si)(i=c0,cf)是冷源在初態和末態的內能(熵).在計算過程中使用了如下定義:

這樣,制冷系數ε可以表示為

其中,εmax是工程上的最大熱力學制冷系數.當CV→∞時(對應于一個等溫過程),則(Uc0?Ucf)/Tc0=Qc/Tc0=Sc0?Scf,這樣,εmax即為卡諾制冷系數εC=Tc0/(Th?Tc0).

圖1 無限尺寸熱源(溫度為Th)而有限尺寸冷源的制冷機示意圖 這里,T為t時刻冷源的溫度,CV為冷源的等體熱容量Fig.1.Schematic plot of a refrigerator with an in fi nitesized hot reservoir(temperature Th)and a fi nite-sized cold one.Here,T is the temperature of the cold reservoir at time t,and CVis a heat capacity at constant volume.

基于局域平衡假設的線性不可逆熱力學是一個較為完備的理論,能夠描述近平衡態情況下宏觀熱力學系統的非平衡演化過程.因此,利用線性不可逆熱力學方法,本文研究的制冷機的熱力學流和力之間的關系可以表示為:

Lij(i,j=1,2)是Onsager系數,并且L12=L21.表示粒子流密度,為工質從冷源吸收的熱流,“˙”表示對時間的導數.整個系統的熵產生率為

根據熱力學第二定律,Onsager系數滿足如下條件:

其中,q2為耦合系數

則流入高溫熱源的熱流J3可以表示為

從初始時刻(t=0)到最終時刻(t=τ)的整個制冷過程中,外界輸入的總功可寫為

這里利用了如下公式:

最后,外界輸入的平均功率(P)和制冷系數(ε)分別表示為

3 結果與討論

從方程(15)和(16)可以看出,在制冷時間(τ)固定的情況下,對制冷機的性能優化可以轉化為對于積分項的研究.在制冷機過程中,冷源內能的變化可以表示為

結合方程(9),J1(t)可以表示為

將方程(18)代入方程(11),J3(t)可以寫為

優化制冷機的目的就是使外界輸入功最小,進而達到提高制冷系數的目的.這一過程就是使積分項最小化,并滿足A＞0.根據歐拉-拉格朗日方程:

可以得到如下表達式

這里我們用到了緊耦合條件q2=1.因為在線性不可逆熱力學中,廣義流與廣義力滿足線性關系,熱力學系統的重要信息反映在Onsager系數中,并且Onsager系數之間的關系可以通過耦合因子q2反映出來[見方程(10)],而緊耦合條件通常也是熱機工作的最佳條件[3,21,22].

方程(21)可以進一步寫為

積分方程(22),可以得到

α為積分常數.對方程(23)積分,可以得到

將方程(25)代入方程(15)和(16),平均功率和制冷系數可以表示為：

從方程(26)可以看出,平均功率P隨著時間的增加呈現單調遞減趨勢,不存在平均功率P關于時間τ的最優值.這與文獻[8]所述的高溫熱源無限而低溫熱源有限的熱機情況不同,在那里最優功為輻射能的一半.當τ→∞時,則P→0(對應于準靜態過程),此時ε=εmax=εC.實際上,對于一個真實的制冷過程,要求τ＞0且為有限值,利用方程(26)并且令Σ=Thβ2,可以得到

將方程(28)代入方程(27)并利用方程(4),可以得到制冷系數ε與功率P的關系為

關系(29)式為進一步認識制冷系數與平均功率以及輻射能之間的關系提供了有力工具.為了能夠更直觀地反映制冷系數ε與P之間的關系,考慮到制冷機真實的工作過程,我們選擇則一組參數:εmax=3,Σ=30 kJ·s,τ=30 s.給定輻射能(E)后,可以根據方程(26)和(27)粗略地估算出P的最小值和(Uc0?Ucf)的最大值.這樣,不同輻射能(E)條件下,制冷系數(ε)隨著平均功率(P)的演化行為清晰地反映在圖2中.從圖2可以看出,隨著P的增加,ε呈現出明顯的單調遞減的特征.同時注意到,E的增加導致了制冷系數ε的增強.這樣的行為可以理解如下:當P較小時,意味著時間τ很大,整個制冷過程趨近于準靜態過程,制冷系數ε處于較大值,特別是當P→0時,ε→εmax(如圖2所示).P的增加意味著τ的減少,制冷過程逐漸遠離準靜態過程而接近于不可逆的真實過程,這導致制冷系數呈現出逐漸減小的特征.與之相反,輻射能的增加使得ε呈現出增加的特征.從(26)式可以看出,當平均功率P保持不變時,E的增大意味著τ的增加,這導致制冷過程的進程緩慢,表現出越來越趨近于準靜態行為,因此ε呈現出增加行為.從上述分析可以看出,對于一個低溫熱源有限的制冷過程,必須根據周圍環境的實際情況和熱設備的具體參數來設計制冷方案,以合適的輸入功率達到較佳的制冷目的.

圖2 E取不同值時制冷系數ε與功率P的關系 其中,εmax=3,Σ =30 kJ·s,τ =30 sFig.2. The coefficient of performance ε versus the power P for different E.Here,εmax=3,Σ =30 kJ·s,τ=30 s.

4 結 論

工作在有限尺寸的高低溫熱源之間的熱設備的性能優化是有限時間熱力學領域中的一個重要研究課題.本文提出了一個高溫熱源保持不變而低溫熱源為有限尺寸的制冷機模型,結合有限時間熱力學和線性不可逆熱力學理論詳細地分析了該制冷機的特性.我們解析性地給出了在制冷目標溫度一定情況下的外界輸入功率和制冷系數表達式,并且進一步討論了這種較為真實的熱力學過程.發現在環境(高溫熱源)溫度不變而冷源溫度變化的情況下,外界的輸入功率與制冷時間的關系不存在明確的優化關系,這是與高溫熱源尺寸有限而冷源尺寸無限的熱機工作過程的一個顯著區別.進一步發現制冷系數隨著輸入功率的增加呈現出單調減小的特征,而輻射能的增加導致了制冷系數的增強.這種輸入功率與制冷系數的變化關系是不可逆過程和準靜態過程相互競爭的反映.本文的研究結果不僅有助于深入理解高溫熱源尺寸無限而冷源尺寸有限的制冷機的工作過程,而且對于在工程熱力學上如何根據具體情況來設計熱裝置進而達到優化制冷也有幫助.本文的方法也可以應用到熱泵性能的研究.另外,時間反演破壞會導致緊耦合條件不再成立,更多的物理內容有待進一步研究.

[1]Curzon F,Ahlborn B 1975Am.J.Phys.43 22

[2]Vaudrey A,Lanzetta F,Feidt M 2014J.Non-Equil.Therm.39 199

[3]van den Broeck C 2005Phys.Rev.Lett.95 190602

[4]Andresen B 2011Angew.Chem.Int.Ed.50 2690

[5]Ding Z M,Chen L G,Wang W H,Sun F R 2015Sci.Sin.Technolog.45 889(in Chinese)[丁澤民,陳林根,王文華,孫豐瑞2015 中國科學:技術科學45 889]

[6]Bi Y H,Chen L G 2017Optimal Peformamnce of Gas Heat Pumps With the Framework of Finite-time Thermodynamics(Beijing:Science Press)pp1–20(in Chinese)[畢月虹,陳林根2017 空氣熱泵性能有限時間熱力學優化(北京:科學出版社)第1—20頁]

[7]Gordon J M,Huleihil M 1991J.Appl.Phys.69 1

[8]Bejan A 1996J.Appl.Phys.79 1191

[9]Lu C C,Bai L 2017Acta Phys.Sin.66 130501(in Chinese)[盧燦燦,白龍 2017物理學報 66 130501]

[10]Johal R S 2017Phys.Rev.E96 012151

[11]Yan H,Guo H 2012Phys.Rev.E86 051135

[12]Sheng S,Tu Z C 2014Phys.Rev.E89 012129

[13]Ondrechen M J,Rubin M H,Band Y B 1983J.Chem.Phys.78 4721

[14]Ondrechen M J,Andresen B,Mozurkewich M,Berry R S 1981Am.J.Phys.49 681

[15]LeffH S 1987Am.J.Phys.55 701

[16]Andresen B,Berry R S,Ondrechen M J,Salamon P 1984Acc.Chem.Res.17 266

[17]Yan Z,Chen L X 1997J.Phys.A:Math.Gen.30 8119

[18]Izumida Y,Okuda K 2014Phys.Rev.Lett.112 180603

[19]Wang Y 2014Phys.Rev.E90 062140

[20]Wang Y 2016Phys.Rev.E93 021120

[21]de Cisneros B J,Arias-Hernández L A,Hernández A C 2006Phys.Rev.E73 057103

[22]Izumida Y,Okuda K,Roco J M M,Hernández A C 2015Phys.Rev.E91 052140