二維情況下兩組分帶電囊泡形變耦合相分離的理論模擬研究?

段華 李劍鋒 張紅東

(復旦大學高分子科學系,聚合物分子工程國家重點實驗室,上海 200433)

1 引 言

兩親性脂質分子、表面活性劑以及嵌段共聚物等在溶液中易自發組裝成各種形態,例如:片狀膜、膠束、囊泡等.囊泡乃兩親性雙分子層通過卷曲形成的一種內部包含溶劑分子的封閉膜泡.雖然囊泡結構極其簡單,但由于其物理上與生物體系中細胞結構存在共性,故可結合經典彈性膜理論[1]、用囊泡物理模型解釋一些生命現象,例如紅細胞的雙凹碟狀[1],紅細胞的SDE序列轉變[2,3]等.然而,真實的生物膜十分復雜,為多組分且通常帶一定電荷,故研究帶電多組分囊泡具有重要的生物學意義.此外,多年來人們感到不解,生物膜一般為多組分,通常多組分聚集體都容易出現同種組分團聚現象,過分的團聚行為必定影響其生理功能的實現,那么生命體是如何克服這種團聚現象的呢?人們猜測靜電相互作用或許可幫助增加不同生物分子間的相溶性,而具體機理人們并不非常清楚.因此有必要對帶電多組分囊泡的相分離現象進行細致的理論模擬研究[4?11].

然而,目前的研究要么只針對多組分囊泡,要么只針對帶電囊泡,極少將兩者結合起來.

其中多組分囊泡相關的研究已經比較多.例如,J?rgensen等[12,13]通過將實驗數據與蒙特卡羅模擬相結合的方法研究了兩組分的非平衡有序化過程對局部和整體側向膜結構的影響,提出非平衡態效應會影響微相區的形成;Suni-Kumar等[14]采用動態三角網格劃分的蒙特卡羅方法研究了兩組分囊泡相分離的形變動力學,他將出芽的過程分為膜內區域的形成和生長、形成許多小芽、小芽融合再長大三個階段,并給出了后期凸芽生長動力學隨時間的標度關系;之前,我們采用球冠模型與耗散動力學方法系統研究了兩組分囊泡的相分離和出芽的過程,發現組分的自發曲率及相區界的界面能會影響出芽的數目以及出芽的方式,增加其中一個組分的自發曲率會增加出芽的數目,并給出了一個相對完整的相圖[5];此外,耗散粒子動力學模型[15,16]以及時間依賴的Ginzburg-Landau(TDGL)[17]動力學等方法也被用于研究多組分囊泡中的相分離微相區的生長.

單組分帶電囊泡的模擬研究則較少報道,主要存在數值計算困難,難以模擬大變形及靜電作用較強時的情形,導致大多研究不成系統性.Sinha和Thaokar[18]認為我們之前的工作[19]是目前僅有關于單組分帶電囊泡的系統研究工作,在這篇報道中我們給出了不同帶電量不同約化體積條件下的三維帶電囊泡平衡態形狀.

關于帶電多組分囊泡的系統性研究則更少,目前只有分子動力學相關的粒子模擬[20].主要是因為首先帶電囊泡的影響因素較多,很難進行系統性研究,其次理論和模擬中處理多組分和處理靜電相互作用都存在一定的困難,現在兩個困難疊加,使得模擬計算極不穩定.本文希望離散空間變分法[21]與耗散動力學方法[17]結合可用于克服這些困難,為簡單起見,只考察二維兩組分帶電囊泡的形變耦合相分離行為,希望二維的初步研究可給出較為系統的研究結果,并重點考察靜電相互作用對不同組分的相溶性的影響.

2 模型與方法

2.1 理論模型

本文的模型為二維兩組分帶電囊泡.假設其周長L固定,且局部近似不可壓縮,故線元亦假設固定不變.該囊泡由兩種不同磷脂組成,組分A帶負電,組分B電中性.由于這兩種組分在囊泡上可以自由遷移,故若相容性不佳時則會產生相分離,導致組分的分布變化及囊泡形變,如圖1所示.

圖1 兩組分帶電囊泡的形變耦合相分離示意圖(a)相分離之前組分分布均勻;(b)相分離之后分成若干相區;其中紅色部分為帶負電荷的組分A,藍色部分為電中性的組分BFig.1.Schematic diagram of the phase separation of the twocomponent charged vesicle:(a)The components are evenly distributed before the phase separation;(b)the phases are separated and divided into several phase regions.The red part is composed of the negatively charged component A while the blue denotes the electrically neutral component B.

2.2 模擬方法

本文主要結合離散空間變分方法[21]和耗散動力學方法[17]研究兩組分帶電囊泡.求解一個物理模型的動力學過程時,離散空間變分方法首先對這個模型的物理空間坐標進行離散,然后得到在離散空間坐標下的自由能泛函,再對離散的自由能做變分,直接得到已經離散好的差分方程,最后再利用這些差分方程去模擬具體的物理模型[21?23].Li等[24]將此方法引入生物膜的理論研究,并將其應用于二維囊泡的相關模擬,得到了與其他參考文獻報道相同的結果.此外,離散空間變分法與耗散動力學結合還可用于模擬三維囊泡[25].該方法的優點主要有:1)數值穩定性強、計算速度快,且得到的囊泡形狀光滑;2)不需要提前假設囊泡對稱性,因此可得到非軸對稱的中間演化態以及較大的形變等.

據上述模型,該體系的自由能主要由兩部分組成(F=F1+F2),其中第一部分為

F1表示除去靜電能以外囊泡自身的能量,右端第一項為Helfrich彎曲自由能[26],第二項為Ginzburg-Landau自由能[17],第三項中的拉格朗日乘因子λ(s)用于保證二維囊泡線元不可壓縮.這里κ0為膜的彎曲剛性;H(s)代表膜上離散點s處的平均曲率;?=?A(s)? ?B(s)為組分序參量,?A(s)和?B(s)分別為組分A和組分B在離散點s處的體積分數;和a4為大于0的唯象系數,其中a2與溫度相關,而a4本文中通常設置為0.2;b1/2正比于相界面寬度.

自由能的第二部分為靜電相互作用,依據Debye-Huckel近似[18],靜電排斥能F2為

式中R為囊泡的初始半徑,K0為0階第二類修正Bessel函數;屏蔽長度λD可表示為λD=,其中ε為介電常數,e為單位電荷,n是溶液中電解質的濃度;ρA為帶電組分A的電荷密度,囊泡所帶的總電量Q=ρA〈?A〉L.

當靜電屏蔽長度λD比較大(λD≥100 a,a為相鄰兩個離散點距離)時,靜電能可簡化為

為簡單起見和減少計算量,只考慮靜電屏蔽長度λD較大的情況.

體系中的總自由能為F=F1+F2,囊泡形變和A/B兩組分的相分離可分別由下面的耗散動力學方程和TDGL方程描述[5,17]:

模擬過程中,上述兩個動力學系數Lr和L?皆設成1.0,時間步長通常為0.01.囊泡周長L=200 a離散成200個離散點,相鄰兩個離散點相距為a.初始形狀皆為圓形,膜局部的A/B組分比等于平均組分比.

與前人的分子動力學的粒子模擬[20]相比較,上述方法具有以下優勢和劣勢:首先,相比之粒子模擬其計算量更小,容易得到系統性的模擬結果;其次,之前的分子動力學模擬一般主要用于考察形變動力學過程,而本文方法主要用于考察其平衡態形態;最后,上述方法存在其目前仍是一個二維模型的不足.

3 結果與討論

3.1 典型動力學演化過程

圖2給出了兩組分帶電囊泡一個典型的動力學演化過程,它分別展示了不同時刻囊泡形狀以及A組分濃度分布.囊泡形態圖中的紅色代表帶電組分(A)富集區,藍色代表B富集區.具體參數設置見圖例.

從圖2可見,t=0時,帶電組分A和組分B大致均勻分布于囊泡(各個離散點處?A=?B=0.5),故帶電組分含量分布線呈現一條直線,此時囊泡呈圓形.由于此時初始組分濃度處于相圖spinodal線之內,若不帶電將發生spinodal decomposition相分離,從圖2(b)—(d)發現,在此電量條件下,靜電相互作用并沒有完全改變相分離動力學的類型,動力學仍然沿spinodal decomposition進行.往后逐漸發生相區融合增長,最終囊泡形成了(6+6)個相區(圖2(i)),即6個A組分富集區和6個B組分富集區,注意這些相區將不再繼續融合,故由于靜電的長程相互作用,使得兩組分帶電囊泡相分離呈現微觀相分離.易發現,帶電的組分A主要集中在彎曲的部分,而不帶電的B組分膜顯得平直.組分A集中在彎曲部分并不是因為帶電導致A組分膜剛性變小了,相反因為靜電排斥作用其表觀剛性變大了;它彎曲是相對于組分B變得平直而言,而B組分變平直主要是因為不同帶電A相區間的靜電排斥作用所致,只有B組分變平直才可能使不同的帶電A相區相互遠離對方,以降低體系的自由能.

3.2 溫度影響與相圖

在Ginzburg-Landau自由能里,唯象系數a2與體系溫度T有關(比如a2=c(T?Tc)),一般溫度越高a2越小.我們通過改變a2研究溫度對相行為的影響.

圖3中藍色曲線為電中性兩組分囊泡上兩組分序參數?與唯象系數a2所組成的有序-無序相邊界線,可由混合自由能密度對?求極小得到.中間的U型區域為相分離形成的有序相區域,在此相區域囊泡通過宏觀相分離分成兩相;兩邊類似三角的區域為不發生相分離的無序相區域.觀察藍色的曲線可以得出如下結論:當a2較小時或溫度較高時,兩組分互溶性較好,無相分離發生;a2較大時或溫度較低時發生分相.

圖3中紅色曲線為帶電兩組分囊泡模型中的有序-無序相分離邊界線.由于電荷的引入,囊泡自身的靜電排斥作用使囊泡上的電荷難以聚集,因此不利于相分離現象的發生,所以帶電囊泡的有序相區域變窄了;相反地,靜電相互作用增加兩種組分間的互溶性.例如當a2=0.3時,對于非帶電兩組分囊泡而言,兩組分的序參量(?=?A(s)??B(s))處于[?0.86,0.86]之間可以發生分相,而對于帶電兩組分囊泡而言,兩組分的序參量處于[?0.67,0.67]之間才能分相.注意,與中性兩組分相圖不同,紅色曲線左右并不完全對稱(見3.3節討論).

圖2 帶電兩組分囊泡相分離隨時間的演化過程(參數設置為L=200 a,a2=a4=0.2,κ=0.1kBT,ρA=?1.0 e/a2,〈?A〉= 〈?B〉=0.5,Q= ?100 e/a)Fig.2.The dynamical evolution of phase separation of a two-component charged vesicle.Parameter setting:L=200 a,a2=a4=0.2,κ =0.1kBT,ρA= ?1.0 e/a2,〈?A〉= 〈?B〉=0.5,Q= ?100 e/a.

圖3 非帶電兩組分囊泡與帶電兩組分囊泡的相圖(參數設置:a4=0.2,L=200 a,κ=0.1kBT,ρA= ?1.0 e/a2)Fig.3.The phase diagram of two-component electricalneutral vesicle and charged vesicle.Parameter setting:a4=0.2,L=200 a,κ=0.1kBT,ρA= ?1.0 e/a2.

圖4給出了帶電組分含量〈?A〉=0.5(即序參量?=0),a2分別為0.2,0.4,0.6,0.8和1.0時囊泡的相分離情況.囊泡上相區的數目隨著a2的增加而增加.當a2為0.2時囊泡上分為(6+6)個相區;當a2為0.4時囊泡上分為(14+14)個相區;當a2為0.6時囊泡上分為(18+18)個相區;當a2為0.8時囊泡上分為(21+21)個相區;當a2為1.0時囊泡上分為(23+23)個相區.囊泡形狀下方為囊泡所對應的帶電組分的分布情況.當a2較小時,囊泡上的相區數目較少;隨著a2的增加,囊泡上相區數目逐漸增多,相區尺寸變小.即溫度的降低,使得相分離越來越呈現微相分離的趨勢.

圖4 不同唯象系數a2或溫度對帶電兩組分囊泡相分離的影響(參數設置:a4=0.2,L=200 a,κ=0.1kBT,ρA= ?1.0 e/a2,〈?A〉= 〈?B〉=0.5,Q= ?100 e/a)(a)–(e)a2 分別為0.2,0.4,0.6,0.8和1.0Fig.4.In fluences of phenomenological coeffcient a2or temperature on the final con figurations of the two-component charged vesicle.Parameter setting:a4=0.2,L=200 a,κ =0.1kBT,ρA= ?1.0 e/a2,〈?A〉= 〈?B〉=0.5,Q=?100 e/a.a2from(a)to(e)is set to 0.2,0.4,0.6,0.8 and 1.0,respectively.

圖5 不同帶電組分含量〈?A〉對兩組分帶電囊泡相分離的影響(參數設置:L=200 a,κ=0.1kBT,ρA= ?1.0 e/a2,a2=a4=0.2,Q= ?100 e/a)(a)–(j)〈?A〉分別為0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9和1.0Fig.5.In fluence of the charged concentration 〈?A〉on the phase separation.Parameter setting:L=200 a,κ=0.1kBT,ρA=?1.0 e/a2,a2=a4=0.2,Q=?100 e/a,〈?A〉from(a)to(j)is set to 0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9 and 1.0,respectively.

3.3 帶電組分含量〈?A〉的影響

影響囊泡相分離的因素較多,例如:體系的溫度、囊泡兩組分含量之比、兩相界面之間的線張力、自發曲率等.在圖3相圖中發現序參量?絕對值越大(兩組分的含量差越大)越難發生相分離.為進一步細致探究該因素影響,圖5(a)—(j)分別考察囊泡中兩組分含量之比分別為1:9,2:8,3:7,4:6,5:5,6:4,7:3,8:2,9:1和10:0的情形.

帶電組分含量較低時(圖5(a)和圖5(b)),囊泡不發生相分離,所有的組分依然均勻地混合在一起;當兩組分的比例為3:7時(圖5(c)),囊泡開始發生相分離,此時生成(3+3)個相區域;當帶電組分含量繼續增加時,囊泡所形成的相區也越來越多,當帶電組分含量與非帶電組分含量相等(圖5(e))時囊泡分為了(6+6)個相區;隨著囊泡帶電組分含量的繼續增加,囊泡所形成的相區又相應地減少(圖5(f)和圖5(g));當帶電組分的含量大于等于0.8時,囊泡便不再發生相分離行為.

注意到分相行為并不完全關于〈?A〉=0.5或組分比例(5:5)對稱,比如當組分比例為4:6時呈現(6+6)相區,而在其對稱組分比6:4則只有(4+4)相區.

3.4 帶電組分電荷密度的影響

帶電組分的電荷密度ρA也是影響兩組分帶電囊泡相分離的一個重要因素.相同帶電組分含量的情況下,帶電組分的電荷密度越大,囊泡上所帶的總電量也就越大.表1列出了不同電荷密度下囊泡上的相區數目,表1中的編號(a)—(e)對應于圖6(a)—(e).

表1 不同電荷密度ρA時囊泡的相分離情況Table 1.In fluence of charge densities.

圖6 不同電荷密度下囊泡相分離的情況(參數設置為:L=200 a,κ=0.1kBT,a2=a4=0.2,〈?A〉= 〈?B〉=0.5,Q=?100 e/a)(a)–(e)ρA分別為?1.0 e/a2,?1.5 e/a2,?2.0 e/a2,?2.5 e/a2和?3.0 e/a2Fig.6.Phase separation of vesicles with different charge densities.Parameter settings:L=200 a, κ =0.1kBT,a2=a4=0.2,〈?A〉=〈?B〉=0.5,Q= ?100 e/a,ρAfrom(a)to(e)is set to?1.0,?1.5,?2.0,?2.5 and?3.0 e/a2,respectively.

如圖6所示,隨著囊泡上帶電組分電荷密度的增加,囊泡相分離形成的相區數目越多.但是在上述條件下,每個相區的帶電組分含量(圖6(f)—(j))有所降低.這是因為在相同帶電組分含量時,隨著電荷密度的增加,囊泡自身所帶的電量越大,囊泡上自身的靜電排斥作用也就越強,因此更傾向于形成更多的相區來減小自身的靜電排斥作用.由于囊泡整體的帶電組分含量不變,因此每個區域的帶電組分含量也有所減小,所以帶電組分含量的分布峰的高度隨著電荷密度的增加(相區的增多)而有所降低.

4 結 論

本文用離散空間變分法結合耗散動力學對二維兩組分帶電囊泡相分離進行了系統的研究.主要考察了靜電相互作用對兩種組分表觀相溶性的協調機制.發現當兩種組分原本略微不相溶、但仍會發生同組分團聚或相分離現象時,靜電相互作用可完全抑制相分離,避免同種組分的團聚;而當兩種組分原本就較不相溶或溫度較低時,靜電相互作用會顯著增加相區數目,使其呈微觀相分離,從而避免了同種組分大范圍的團聚.此研究結論定性地適用于三維兩組分帶電囊泡,并對理解一些生命現象有重要啟發.

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