線振動MEMS陀螺結構振動非線性特性研究*

茍元東， 王學鋒， 莊海涵， 邢朝洋

(北京航天控制儀器研究所，北京 100039)

0 引 言

基于微機電系統(micro-electro-mechanical system,MEMS) 技術的陀螺(MEMS陀螺)，具有小體積、低功耗、易于批量生產、低成本等特點而得到廣泛應用。實現高精度的微機械陀螺儀，就必須增大其驅動振幅，從而降低布朗噪聲水平和角度隨機游走等[4]。但實驗結果表明，當驅動振幅超過某個臨界值時，陀螺驅動軸將發生非線性遲滯，導致其頻率響應曲線發生突變，即陀螺的幅頻特性曲線不再連續而出現明顯的突變，嚴重影響了陀螺的穩定性，制約了其性能的提高。目前，針對MEMS諧振器的非線性研究大多集中于定性分析，如振動非線性造成系統諧振頻率漂移[5]，導致閉環諧振電路的不穩定性[6,7]，影響閉環自激系統的實現[8]等。但關于諧振器振動非線性系數的測量方法，非線性振動下振幅閾值的計算評估等，國內外鮮有報道。

本文針對一種線振動MEMS陀螺驅動軸的振動非線性問題開展研究，采用理論分析、仿真模擬和實驗數據擬合相結合的方法確定模型中的非線性系數，并根據模型推導計算非線性遲滯效應消失點的臨界振幅和激勵值，為陀螺結構設計提供了理論參考。

1 陀螺驅動軸振動非線性分析

影響MEMS陀螺的非線性因素主要有2方面：機械非線性和電容值非線性。針對電容值非線性，可以通過梳齒變面積設計大幅減小電容值非線性的影響；而微納米雙端固支梁的動態響應卻常常表現出明顯的非線性特征[9]。因此，本文從諧振梁的角度出發，對線振動MEMS陀螺驅動軸的振動非線性問題開展研究。

1.1 諧振梁剛度非線性理論分析

考慮如圖1所示的雙端固支梁結構，梁的橫向振動導致其中性面的非線性伸長。

根據彈性理論，梁因橫向振動而產生的縱向伸長量ΔL為[10]

圖1 梁軸向的附加伸長

(1)

式中L為梁的長度；w為梁的橫向振動位移；x為梁的縱向位置；t為時間。梁伸長引起梁能量U的變化為

(2)

式中E為梁材料的楊氏模量；A為梁的橫截面積。

一般地，梁的橫向位移w可以簡化成一個與位置x相關的函數β(x)和一個與時間t相關的函數q(t)的乘積，β(x)可取梁的陣型函數。令ε=x/L，將ΔU對當地撓度q(t)進行微分，得到梁的附加軸力Fe

(3)

將諧振梁的尺寸參數代入式(3)，即可以得到梁的非線性剛度系數。

1.2 梁結構有限元仿真

利用有限元建模(finite element modeling,FEM)軟件ANSYS計算諧振梁的剛度非線性，其中，諧振梁的尺寸參數設置：梁長為1 938 μm，梁寬為30 μm，梁高為60 μm，楊氏模量為130 GPa，泊松比為0.18。

獲得諧振梁的有限元模型，梁兩端固支，中心點施加橫向驅動力，求解時打開大變形選項，對應不同的驅動力F可以獲得相應的梁中點位移x。

為了得到梁的線性和非線性剛度系數，將得到的仿真數據進行多項式擬合[11]

F(x)=k1x+k3x3

(4)

式中F為加載的外力；x為梁中心點的橫向位移。

圖2為諧振梁仿真結果，根據擬合結果，可以求得諧振梁的剛度非線性系數。

圖2 諧振梁驅動力—位移非線性

1.3 陀螺結構FEM仿真

利用有限元軟件ANSYS模擬MEMS陀螺結構的剛度非線性，如圖3所示。

圖3 陀螺結構的ANSYS模型簡圖

圖3中，陀螺結構的4個錨點固支，為了更有效地模擬實際情況，將驅動力沿驅動軸方向施加在驅動梳齒上，以陀螺結構中心質量塊沿驅動軸方向的偏移量作為位移，求解時打開大變形選項，對應不同的驅動力可以獲得相應的位移，將式(4)用于分析結構的剛度非線性，擬合結果如圖4。

圖4 陀螺結構驅動力—位移非線性

將諧振梁的尺寸參數值代入式(3)，得到陀螺驅動軸剛度非線性如表1所示。

表1 梁的非線性剛度

將仿真值分別與理論值相比較，其誤差均較小，由此驗證了理論計算的正確性。

2 實驗對比分析

2.1 非線性系數測定原理

MEMS陀螺的驅動軸可以簡化成二階諧振子系統，引入當陀螺驅動軸方向的等效質量m和等效線性剛度k1時，達芬方程可用于描述陀螺驅動軸方向的非線性動力學特性，則陀螺驅動軸的工作諧振頻率可以近似表示為[12]

(5)

式中ω0=k1/m為陀螺驅動軸方向的固有圓頻率；α=k3/m為陀螺驅動軸方向的非線性系數；kcv為陀螺儀表CV電路的 CV系數，表征單位振幅的檢測輸出電壓變化量；Vout為陀螺驅動軸在不同激勵下的諧振峰值。

由式(5)知，在非線性振動的條件下，系統的諧振頻率是一個與振幅相關的拋物線。可以根據式(5)，進行曲線擬合，獲得MEMS諧振器的固有頻率f0和對應的非線性系數α，實現對MEMS諧振器非線性系數的表征。

2.2 實驗數據處理

實驗選取2只同批次的陀螺，對其驅動軸進行正弦掃頻測試，掃描頻率變化范圍在陀螺的諧振區域。實驗中，逐漸增大陀螺的驅動激勵，在幅值未發生突變前，測得一系列不同激勵下的的諧振峰值以及對應的諧振圓頻率。表2為實驗測得的部分數據，不難發現，陀螺的諧振頻率隨振幅的增大而增大。

表2 諧振峰值及其對應的頻率值

為了從實驗數據中擬合出陀螺驅動軸方向的振動非線性系數，結合式(5)，采用最小二乘法進行擬合處理，曲線擬合結果如圖5所示。

圖5 陀螺驅動軸幅頻響應曲線

陀螺儀表的CV系數kcv=1.957×105V/m，驅動軸的等效質量m=1.127×10-7kg，結合式(3)和式(5)，得到的2只陀螺驅動軸的非線性系數α如表3所示。

表3 陀螺驅動軸方向非線性系數

2只陀螺的非線性系數α值與理論值相比，誤差較小，充分證明了本文測量方法的正確性。

3 陀螺驅動軸的激勵閾值

假設陀螺驅動軸非線性遲滯效應消失的臨界點是其幅頻曲線的多值現象的消失點，即響應幅值與頻率是一一對應的關系，則該推導轉變為使得右半段幅頻曲線的斜率一直小于0的條件求解。基于達芬方程，陀螺驅動軸右半邊幅頻特性曲線的數學表達式為

(6)

式中ω0為固有圓頻率；α為非線性系數；ζ為阻尼比；P為等效簡諧力；ω為簡諧力的頻率；A為振幅。

若使得dω/dA≤0，有

(7)

因此，系統激勵閾值P和系統振動閾值A分別為

(8)

(9)

陀螺驅動梳齒產生的驅動力可近似計算[13]，以陀螺1為例，實驗中，陀螺驅動軸驅動梳齒的直流偏置電壓為10 V，實驗測得的自然頻率為15.117 kHz，阻尼比ζ=1.602 5×10-5，要使得陀螺非線性遲滯效應消失，則要求交流激勵幅值電壓Vac≤ 0.056 9 V。

圖6為激勵交流幅值在0.05 V左右的掃頻實驗數據，當交流電壓幅值為0.044 V時，陀螺驅動軸的振動特性雖然表現出比較明顯的非線性振動特性，但其頻率特性曲線依然連續，并未出現幅值突變現象，但當交流電壓幅值等于0.056 V時，陀螺驅動軸的幅頻和相頻曲線均產生比較明顯的突變。這與理論計算結果相吻合。

圖6 陀螺驅動軸正弦掃頻曲線

4 結 論

針對線振動MEMS陀螺驅動軸的振動非線性問題展開研究，重點討論了諧振梁的非線性系數，基于達芬方程，利用其諧振頻率曲線擬合得到陀螺驅動軸的非線性系數。結果表明：實驗值和理論推導值相吻合。

從穩定性出發，推導計算得到陀螺的激勵閾值和振幅閾值，為陀螺結構設計提供了參考。結果表明：非線性跳躍現象消失點的理論值與實驗結果相吻合。陀螺驅動軸的非線性系數降低100倍，其振幅閾值增大10倍。

本文僅討論了系統的結構非線性，并未涉及其他方面的非線性的討論，有待進一步的研究。

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