基于Copula函數的導彈多性能退化可靠性評估

戴宗亮， 李小兵， 王慧杰

(空軍工程大學 防空反導學院，陜西 西安 710051)

0 引 言

導彈在整個壽命周期中，絕大部分時間處于貯存狀態[1]。在長期貯存過程中，導彈必然會受到周圍各種環境應力的影響，難免引起設備性能參數的變化，導致整個系統功能異常或可靠度降低[2]，目前，常用的解決多性能退化參數可靠性評估的方法有2種: 1)假設多個性能參數之間相互獨立，可以按照串聯系統的方法進行處理，具有簡單快速的優點，但分析不夠全面，評估結果誤差較大; 2)充分考慮性能參數之間的相關性，如聯合概率密度法和狀態空間法[3,4]，優點是充分考慮了參數之間的相關性，但在特征參數較多時存在計算量大和建模困難。Copula函數[5,6]作為一種靈活、穩健的相關性分析函數，在分析變量間相關性時具有諸多的優點。

本文提出了基于Copula函數的多性能退化可靠性評估模型。

1 多性能參數退化數據可靠性模型

根據導彈的退化機理[7]，導彈性能的退化是m個退化參數直接影響的結果，其可靠度為

R(t)=P{Y1(t)≤D1,Y2(t)≤D2,…,Ym(t)≤Dm}

ym(t)dy1dy2…dym

(1)

式中f(y1(t),y2(t),…,ym(t))為y1(t),y2(t),…,ym(t)的聯合概率分布。由式(1)可知，只要知道聯合概率密度函數f(y1(t),y2(t),…,ym(t))，根據已知的失效閾值，即可求得多退化模型的可靠度R(t)。要知道這些性能參數在統計學上的相關性，通常可以通過性能參數間的協方差運算獲得其相關性。其方差—協方差矩陣可表示為

(2)

當cov(yi(t),yj(t))=0，表示第i和第j個性能參數獨立,i,j=1,2,…,m。當V的非對角線元素均為零，則可認為產品性能參數均相對獨立，可將其等效成串聯系統，可靠度為

R(t)=P{Y1(t)≤D1,Y2(t)≤D2,…，Ym(t)≤Dm}

=P{Y1(t)≤D1}·P1{Y2(t)≤D2}·…·

(3)

當V的非對角線元素非全零，則可認為產品性能參數不全相對獨立，則要求出其聯合概率密度函數f(y1(t),y2(t),…,ym(t))，以此求得可靠度。因此，建立多性能參數產品的可靠性模型的關鍵是建立求取各性能參數的聯合概率密度函數f(y1(t),y2(t),…,ym(t))。

如果性能參數退化量Y1(t),Y2(t),…,Ym(t)的邊緣分布均服從為正態分布，則多性能參數產品性能參數退化量的聯合分布密度函數為

(4)

式中Y=(Y1(t),Y2(t),…,Ym(t));μ和Σ分別為Y的均值和協方差矩陣。

綜上可得，該模型主要有兩個難點:聯合概率密度f(y1(t),y2(t),…,ym(t))的確定，對于參數邊緣分布不同的情況，理論推導其聯合分布十分繁瑣；在多退化性能相關的條件下，可靠度的計算，協方差矩陣V的大規模積分計算量較大。

2 基于Copula函數的多性能退化模型

2.1 Copula函數[8]

定義1m維Copula函數是一個定義域為[0,1]m，值域為[0,1]的函數，即函數C：[0,1]m→[0,1]，且滿足條件

1)C對于每個變量遞增；

2)對[0,1]m中任意uk=0,k≤m，滿足C(u1,…,uk,…,um)=0；

3)對[0,1]m中任意vk∈[0,1],k≤m，滿足C(1,1,…vk,…,1,1)=vk；

4)對[0,1]m中所有的ak,bk∈[0,1]m,k=1,2,…,m，且ak≤bk,k=1,2,…,m，有

(5)

對于二元Copula函數，任意u1,u2,v1,v2∈[0,1]，令u1≤u2,v1≤v2，則

C(u2,v2)-C(u1,v2)-C(u2,v1)+C(u1,v1)≥0

(6)

定義2 若?(u1,u2,…,um)∈Im,C1(u1,u2,…，um)≤C2(u1,u2,…,um)，則稱Copula函數C1

m維Copula函數的Freche-hoeffding上、下界分別為

(7)

Sklar定理：一個聯合分布函數H(y1,y2,…,ym)可分解為m個邊緣分布函數F1(y1),F2(y2),…,Fm(ym)和一個Copula函數，即

H(y1,y2,…,ym)=Cm(F1(y1),F2(y2),…,Fm(ym))

(8)

式中Cm(·)為一個m維的Copula 函數。如果F1(y1),F2(y2),…,Fm(ym)是連續的，則Copula函數唯一確定；否則要根據RandF1×RandF2×…×RandFm確定。相反，如果F1(y1),F2(y2),…,Fm(ym)為分布函數，那么函數H(y1,y2,…,ym)為一個聯合分布函數，其邊緣分布為F1(y1),F2(y2),…,Fm(ym)，通過Copula函數的密度函數cm(·)和邊緣分布函數F1(y1),F2(y2),…,Fm(ym)，可以方便地求出m維分布函數的密度函數如下

h(y1,y2,…,ym)=cm(F1(y1),F2(y2),…,

(9)

2.2 可靠性評估模型

根據Copula函數的理論基礎，將Copula函數引入到多性能退化量的可靠性評估模型，不難得出多性能參數產品的聯合密度函數為

f(y1,y2,…,ym)=cm(F1(y1),F2(y2),…,

(10)

聯合分布函數為

H(y1,y2,…,ym)=Cm(F1(y1),F2(y2),…,Fm(ym))

(11)

假設Ω=(v1,v2,…,vm,θ)為Copula 函數的參數向量，其中v1,v2,…,vm為各個性能參數的邊緣分布函數F1(y1),F2(y2),…,Fm(ym)的參數向量，θ為Copula函數的相關系數。根據精確極大似然估計[9]得似然函數為

(12)

將L(Ω)關于參數向量Ω極大化，得極大似然估計為

(13)

式(13)可以同時求得邊緣分布函數F1(y1),F2(y2),…,Fm(ym)的參數v1,v2,…,vm和θ，但當維數較高時計算十分復雜，為了簡化問題，采用邊際分布的函數推斷方法(function inference method,FIM)對上式進行參數估計，即二步極大似然估計法。首先利用最大似然估計法對各邊緣分布的參數v1,v2,…,vm進行估計，并對參數θ進行估計，其步驟如下：

1)對v1,v2,…,vm進行估計得

(14)

Fm(ymj;vm);θ)

(15)

則可由Copula函數推出產品可靠度為

R(t)=Cm(F1(D1;v1),F2(D2;v2),…,Fm(Dm;vm);θ)

(16)

綜上，基于Copula函數的多性能退化模型的步驟為:

1)獲取或求取m組數據的邊緣分布函數；

2)選擇適當的Copula函數形式并求取參數估計值；

3)根據產品可靠度公式求得產品可靠度。

3 實例應用

以某型地空導彈為例，通過MATLAB仿真軟件進行仿真計算。已知該型導彈可靠性評定主要由參數X1及參數X2共同決定，在自然條件下連續進行20次測量的數據如表1。

表1 各參數的連續測試數據

其中參數X1的失效閾值為2.5 Ω，參數X2的失效閾值為10 Ω。為確定參數X1,X2的分布類型，首先給出其頻率直方圖如圖1。

從圖1難以準確看出參數X1,X2的分布類型，但參數均類似于正態分布，對參數進行正態檢驗，引入正態分析圖對參數進行檢驗的圖2所示。

圖1 參數頻率直方圖

從圖2可以看出:參數X1及X2服從正態分布，且求得X1～N(2.2,0.004)，X2～N(42,8)。參數X1及參數X2的二元頻率直方圖，如圖3所示。

圖3 X1及X2的二元頻率直方圖

根據圖3及參數X1,X2之間的相關性，選取二元正態Copula[10]作為其連接函數，有

C(u1,u2;ρ)=Φρ(Φ-1(u1),Φ-1(u2))

(17)

C(u1,u2;ρ)=Φρ(Φ-1(u1),Φ-1(u2))=

(18)

將ρl=0.952 3代入式(18)可得各時刻的導彈可靠性數據如圖4所示。其隨著時間而降低，符合實際規律，同時表明模型的有效性。

圖4 導彈各時刻的可靠度

4 結 論

本文提出了基于Copula函數的多性能退化可靠性評估模型，以較高的準確度描述了導彈多性能指標間的關系及系統的可靠性退化特征。模型在確保評估結果準確的基礎上，大幅減小了計算量，為導彈多性能退化可靠性模型研究提供了一種新方法，具有較高的推廣性和實用性。

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