初始條件對網絡滲流變換的影響

王潤禎，楊 春，陳 全，付傳技，高雅純，賈 嘯，李嘉陽

(1.電子科技大學數學科學學院 成都 611731；2.電子科技大學資源與環境學院 成都 611731；3.電子科技大學物理電子學院 成都 610054；4.四川師范大學物理與電子工程學院 成都 610101)

滲流是描述非平衡態系統相變的基礎性模型[1-2]。為描述流體在多孔介質中的流動行為，文獻[3]首次引入了滲流概念。文獻[4-5]研究了隨機網絡模型(經典ER滲流模型)：初始系統由N個完全孤立的頂點組成，以完全隨機的方式在任選的兩頂點間逐步添邊。結果表明：1)序參量隨添邊密度的演化行為是連續相變過程；2)在相變點附近，分支尺度分布服從冪律分布；3)敏感度在相變點滿足著名的居里-外斯定律。

經典ER滲流模型是研究真實系統(如多孔巖石[1]、森林火災[6]、電阻網絡[7]、疾病傳播[8]、社會網絡[9]等)突變行為的重要理想模型。由于其規則的簡單性，對用數學與統計物理方法研究自然界中廣泛存在的相變現象有著重要指導意義。文獻[10]對經典ER滲流模型進行簡單修改，發現了有趣“爆炸滲流”現象，引起了人們對網絡滲流的廣泛興趣，獲得了許多研究成果[11-12]。

然而，目前提出的所有滲流模型中，總假定系統起始于孤立頂點和單一的演化規則。事實上，大量真實系統生長演化過程的初始狀態并不都是由孤立頂點組成的簡單系統，同時演化規則可能呈現階段性變化。因此，研究滲流現象，應該考慮不同的初始條件和混合演化規則。文獻[13-14]開始研究系統初始條件對網絡滲流的影響，在一個特定的模型上，研究了初始分支尺度分布為冪律的情況下對連續滲流和爆炸滲流的影響。結果表明：不同的初始冪律指數將對滲流的相變點、相變點處的分支尺度分布、最大分支的臨界奇異性、各種臨界指數、以及敏感度等產生影響。

該文進一步研究初始分支尺度分布為指數的情況下，初始條件對經典ER滲流過程的影響。通過解析分析和數值模擬發現: 1)滲流變換仍然屬于連續的二階相變；2)在相變點附近，分支尺度分布不再具有嚴格的冪律分布特征，出現了冪律彎曲現象；3)敏感度在相變點不再滿足居里-外斯定律。這說明網絡滲流的性質，不僅取決于模型的添邊規則，而且還取決于系統中分支尺度的初始分布狀況。對該現象的深入研究有助于深刻認識和理解復雜網絡滲流過程。

1 模型描述

設時間t表示系統中的邊數與系統總頂點數的比值，s表示系統中連通分支的尺度，序參量S(t)表示最大連通分支尺度與系統總頂點數的比值，定義P(s,t)為t時刻從系統中任取的一個頂點屬于尺度為s連通分支的概率。在t=0時刻，假定其中a0是大于零的正常數，是初始時刻分布指數。a0與~的設置需保證系統中初始時刻最大分支尺度為微觀，即S～0。同時假定滲流過程的演化規則與ER隨機規則相同。

2 序參量S(t)

在熱力學極限下，系統中分支聚集的動力學方程(斯莫羅科夫斯基凝聚方程[15])為：

為了對方程作解析分析，引入如下生成函數：

將式(2)代入式(1)，得到生成函數微分方程：

通過Hordgraph變換[16]，得到式(3)的解為：

其中，g(ρ)由分支尺度初始分布確定。

由此求出：

式(4)中，令t=0，有lnz=g(ρ)，因此得：

將(5)代入(4)，得：

由式(7)得：

圖1為序參量S(t)隨時間t變化曲線的理論值與實驗值的比較，在相變點附近理論曲線和數值實驗曲線符合得較好，其中

圖1 序參量S(t)隨時間t變化曲線的理論值與實驗值的比較

3 分支尺度分布函數P(s,t)

P(s,t)是關于t的解析函數。所以，P(s,t)在t=0的冪級數展開為：

3.1 分支尺度分布函數P(s,t)的一階近似

由演化方程式(1)得到：

將式(10)改寫并將初始分布代入得到：

特別地，當t＜＜1時，忽略高階無窮小量，得到分支尺度分布的漸進線性分布表達式：

3.2 分支尺度分布函數P(s,t)的二階近似

由演化方程式(1)得到：

將式(11)改寫為：

由此獲得了分支尺度分布的二階近似表達式為：

對于一般的系數An(s)，同樣可以計算出來，但考慮到t＜＜1，所以不再計算，只考慮分支尺度分布的一階或二階近似。

從式(12)可以看出，分支尺度分布并非指數分布，也非冪律分布。這和經典ER滲流模型中分支尺度在相變點附近服從冪律分布相違背。在圖1的參數與系統規模設置下，本文對系統在相變點附近的分支尺度分布進行了數值實驗，其中圖2a表示系統初始時刻分支尺度分布，屬于指數分布；圖2b～圖2d分別表示系統在臨界點tc左鄰域、臨界點和右鄰域中3個特定點處的分支尺度分布。從圖中不難看出，分布曲線不是標準的冪律分布曲線，而是具有冪律彎曲現象，同時也不是指數分布曲線。

圖2 在相變點附近系統分支尺度分布曲線圖

4 敏感度χ(t)

在網絡滲流中，敏感度為隨機選擇一個頂點所屬分支尺度是平均分支尺度的概率，即P(s,t)的一階矩：

由斯莫洛科夫斯基凝聚方程，可以推出χ與S的關系為：

同時，根據式(15)和式(16)，不難發現敏感度在相變點附近不滿足居里-外斯定律：這和經典ER滲流結果相違背。

對?ε>0，令t=tc+ε，即，由式(8)，得到顯然，這是關于ε的一個連續函數。當ε=0時，S=0，說明初始條件為指數分布下的經典ER滲流仍然為連續滲流。

5 結束語

網絡滲流的研究方法與結果可以為統計物理相變問題研究提供借鑒，同時，在傳播動力學、基礎設施級聯失效、網絡同步等問題的研究中有其重要應用。特別是近年來，人們在應用網絡滲流研究人腦科學、人體基因科學以及尋找復雜網絡的關鍵節點等方面都取得重要進展[17-19]。本文研究系統初始狀態對滲流變換的影響，不僅對深入認識網絡滲流的特征具有重要的理論意義，而且也具有一定的現實意義，如在疾病傳播過程中，不同的初始感染比例及病毒攜帶者在人群中的分布狀況對疾病的擴散會產生不同的影響，對其作優化控制，可以消除或減緩疾病傳播。

目前，研究各種初始狀態對網絡滲流的影響還主要停留在數值模擬層面，本文的理論分析是一個重要嘗試，如何把數值模擬與理論分析相結合，這是值得進一步探討的問題。此外，研究初始條件對不連續滲流的影響也是今后研究的一個方向。

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