反比例函數的圖象是雙曲線的證明

李俊平 趙生初

摘 要：教師在課堂上有目的地培養(yǎng)學生的問題意識，首先需要結合教材內容為學生準備一些具備探索價值、學生愿意思考且經過一定努力可以獲得實效的問題。教師處于課堂教學的主導地位主要就表現在善于根據學情靈活追問，引導學生自覺運用已有認知解決新問題，從而獲得新知識。這個過程中學生核心素養(yǎng)的發(fā)展就能得到自然落實。

關鍵詞：旋轉變換；反比例函數；雙曲線

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1009-010X（2018）02-0041-03

教師在課堂上有目的地培養(yǎng)學生的問題意識，首先需要結合教材內容為學生準備一些具備探索價值、學生愿意思考且經過一定努力可以獲得實效的問題。教師處于課堂教學的主導地位主要就表現在善于根據學情靈活追問，引導學生自覺運用已有認知解決新問題，從而獲得新知識。這個過程中學生核心素養(yǎng)的發(fā)展就能得到自然落實。

一、提出問題

初中要求學生記住反比例函數y=（其中k≠0）的圖象就是“雙曲線”，但它的表示與高中所學的雙曲線標準方程-=1或-=1在形式上有很大差別.為什么形狀相似的圖形之間，解析式卻相差如此之大呢？這是一個能夠引起學生認知沖突，引發(fā)其深入思考的解析幾何問題，且就高中生的知識儲備程度和能力培養(yǎng)水平來說這個問題他們完全可以自主解決。因此，“反比例函數圖像性質的驗證”是一個值得教師在課堂上投入時間，引導學生展開探究拓展活動的好題材。

二、分析問題

（一）直觀猜想

圖1-a、圖1-b分別是k=1和k=-1時反比例函數y=的圖像，如果反比例函數的圖象是雙曲線的話，從圖1-a和1-b來看，它們只可能是漸近線互相垂直的“等軸雙曲線”；圖2-a、圖2-b是當a=b=時等軸雙曲線-=1和-=1的圖象.從上述四個圖象直觀推測，圖1-a和圖2-a及圖1-b和l圖2-b的圖象可經由圍繞原點O旋轉45°來實現二者之間的相互重合。如果此猜想正確，可知過去為學生所“熟悉”的反比例函數y=圖象是雙曲線，且它的很多數學性質都可以用新學的解析幾何知識來重新解讀。

（二）探究與論證

1.尋求理論支持

依據初中數學中有關圖形旋轉的知識，可知一個圖形從一個位置繞某點旋轉一定角度后所得到的新圖形與原圖形在形狀、大小上均保持不變。即經旋轉變換，雙曲線依然是雙曲線；不僅保持雙曲線的形狀不變，而且還使得旋轉前后雙曲線的實軸長、虛軸長、焦距等幾何量也保持不變。

2.觀察客觀規(guī)律

猜想的證明是問題分析階段的核心，即保證每一個個案都能在猜想中得到驗證。為此，教師可以引導學生先討論平面直角坐標系xOy下任意一點P（x，y）繞原點O逆時針旋轉θ到P′（x′，y′）后（如圖3），兩點的橫縱坐標之間的變化規(guī)律。

根據旋轉變換的性質有|OP′|=|OP|，另一方面若設OP與x軸之間的夾角為φ，不僅有x=|OP|cosφ、y=|OP|sinφ，而且還有x′=|OP′|cos（θ+φ）=|OP′|（cosθcosφ-sinθsinφ）=xcosθ-ysinθ、y′=|OP′|sin（θ+φ）= |OP′|（sinθcosφ+cosθsinφ）=xsinθ+ycosθ.即，P（x，y）繞原點O逆時針旋轉θ到P′（x′，y′）后前面兩點的橫縱坐標之間的變化規(guī)律是x′=xcosθ-ysinθy′=xsinθ+ycosθ.

（三）論證具體問題

借助上述坐標變換公式來討論圖1-a的圖象如何旋轉變?yōu)閳D2-a中的圖象。從反比例圖形的“漸近線”直觀看，圖1-a的圖象繞原點順時針旋轉45°或-rad后也可以和圖2-a中的圖象重合；圖2-a中的圖象繞原點逆時針旋轉45°或rad后也可以和圖2-a中的圖象重合。

當θ=-45°或-rad 時，

有x′=xcos（-）-ysin（-）y′=xsin（-）-ycos（-），

即x′=（x+y）y′=（-x+y）；

進而在此基礎上可得x=（x′-y′）y=（x′+y′）.

若點P（x，y）是y=的圖象上的點，則xy=1，即[（x′-y′）]·[（x′+y′）]=1，

展開可得-=1.

這就可以印證y=的圖象的任意點P（x，y）繞原點O順時針旋轉45°或-rad后的對應點P′（x′，y′）正好在雙曲線-=1的圖象上，故y=的圖象繞原點O順時針旋轉45°或-rad后都在雙曲線-=1的圖象上.反之，雙曲線-=1繞原點O逆時針旋轉45°或rad后所得到的圖象也都落在函數y=的圖象上.而順時針、逆時針旋轉45°互為相反映射，所以兩個圖形的點是一一對應的。綜上所述， y=的圖象就是由雙曲線-=1旋轉得到的.

一般地，當k>0時，反比例函數y=的圖象繞原點O順時針旋轉45°或-rad后所對應的是雙曲線-=1的圖象；當k<0時，反比例函數y=圖象繞原點O順時針旋轉45°或-rad后所對應的是雙曲線-=1的圖象.

三、解決問題

經過孩子們的努力，問題獲得了圓滿解決。深度探究不僅能調動學生求知的欲望，而且也能調動學生通過自身努力去尋找問題解決的策略或方法的積極性；深度探究不僅能進一步豐富了學生的數學活動經驗，而且也能較好地促進學生的創(chuàng)新意識或創(chuàng)新能力的發(fā)展，增強學生運用數學方法或數學知識解決數學問題的能力，值得倡導，值得實踐。這也說明深度探究不僅可能，而且可行。