從泡利矩陣解析量子力學中的幾類典型計算問題*

王麗華

(山西大同大學物理與電子科學學院 山西 大同 037009)

量子力學不僅是物理學中的重要基礎理論之一，而且在材料學、化學、宇宙學和生物學等有關學科和眾多近代技術中也得到了廣泛應用[1]. 本文利用泡利矩陣解析了量子力學中的幾類典型計算問題，較好地理解和詮釋了量子力學中的一些基本概念和原理.

1 求算符的本征值和所屬的本征函數

解析：設

其本征值為λ，本征函數為

即

移項得

上式是一個線性齊次代數方程組，它有非零解的條件是系數行列式等于零，即

解得

λ=±1

把λ=1代入本征值方程

解得

a=b

即

利用波函數的歸一化條件

得到

即

把λ=-1代入本征值方程

解得

-a=b

即

利用波函數的歸一化條件

得到

即

同理可得

其本征值為±1，對應的本征函數為

設

其本征值為±1，對應的本征函數為

求解算符的本征值和所屬的本征函數問題的一般步驟為：

(2)將等號右邊部分移至左邊，得到一個線性齊次代數方程組

式中克羅內克δ符號(Kronecker delta symbol)δmn具有下面的性質：

(3)這個線性齊次代數方程組有非零解的條件是系數行列式等于零，即

detFmn-λδmn=0

上式稱為久期方程. 求解久期方程可以得到一組λ值：λ1,λ2,…,λn,…,它們就是F的本征值. 把求得的λi分別代入線性齊次代數方程組就可以求得與這λi對應的本征矢φi(i=1,2,…,n,…).

2 求算符的對角化矩陣及使其對角化的么正變換矩陣

解析：對角化的矩陣為

對應的本征函數為

由上題可知，在σz表象

對應的本征函數為

其中

故

本題體現了量子力學中的一個重要結論：算符在其自身表象是一個對角矩陣，對角元素為其本征值，且算符的表象變換不改變它的本征值.

求解算符的對角化矩陣及使其對角化的么正變換矩陣的一般步驟為：

(1)將算符的本征值λii=1,2,…依次排列為矩陣的對角元素，其他非對角元素全部為零；

(2)將算符的本征值λi對應的本征矢量φ1,φ2,…,φn并列就可得到么正變換矩陣S.

3 算符和波函數的表象變換

試在σx表象中，求σz的本征態.

解析：在σz表象

σx的本征值與本征態為

將φ1，φ2并列得到由σz表象到σx表象的么正變換矩陣

在σx表象，σz的矩陣為

λ=1

λ=-1

本題運用了量子力學中力學量和態的表象變換公式

F′=S-1FS=S+FS

b=S-1a=S+a

滿足S-1=S+的矩陣稱為么正矩陣，由么正矩陣所表示的變換稱為么正變換. 所以由一個表象到另一個表象的變換是么正變換.

解這類型題直接代公式就可以.

4 求力學量的期望值及可能取值的概率

(2) 求t>0時，電子自旋沿負y方向的概率[2, 3].

方程的解為

因此任意t時刻的波函數為

由

得到

令

ψt=a1ψ++a2ψ-

其中

t>0時，電子自旋沿負y方向的概率為

式中cn與x無關，本征函數φnx的這種性質稱為完全性.cn可以由ψx和φnx求得

即

假設任一函數ψx已歸一化，可得

另外，本題還用到了力學量期望值的計算公式

解這類型題只需直接代公式.

1 周世勛. 量子力學教程.北京：高等教育出版社, 2016. 174 ～ 177

2 陳鄂生. 量子力學習題與解答.北京：科學出版社, 2012. 401 ～ 404

3 史守華，謝傳梅. 量子力學考研輔導.北京：清華大學出版社, 2015. 13 ～ 20