探究求解帶電粒子在磁場中運動問題的方法

2018-03-27 07:38:08陳俊昆成金德

物理通報 2018年4期

關(guān)鍵詞：磁場方向

陳俊昆成金德

(義烏市第二中學(xué) 浙江義烏 322000)

帶電粒子在磁場中運動的問題既與物理學(xué)中的洛倫茲力、圓周運動、牛頓運動定律的知識相結(jié)合，還與數(shù)學(xué)中的平面幾何、三角函數(shù)的知識相聯(lián)系，是一類綜合性強、能力要求高的物理問題.這類問題能很好地考查學(xué)生掌握知識的水平和綜合運用知識的能力，正因如此，這類問題往往成為高考的熱點問題，同時也成為學(xué)生學(xué)習(xí)中難度較大的問題.筆者認為，要有效地解答帶電粒子在磁場中運動的問題，必須做好“過五關(guān)，斬六題”.

1 過五關(guān)

1.1 知識關(guān)

帶電粒子在磁場中運動的問題所涉及的物理知識主要是洛倫茲力的特點和勻速圓周運動的特征.

(1)洛倫茲力.帶電粒子在勻強磁場中運動時，洛倫茲力的大小f=qvBsinθ，其中θ是運動方向與磁場方向間的夾角，當θ=90°時，洛倫茲力的大小f=qvB.

(2)洛倫茲力的方向.洛倫茲力的方向總與運動方向和磁場方向垂直，三者方向滿足左手定則.

(3)帶電粒子垂直于磁場方向射入勻強磁場時，若帶電粒子只受洛倫茲力作用，則帶電粒子將做勻速圓周運動.根據(jù)牛頓第二定律可得

則帶電粒子運動的半徑為

帶電粒子運動的周期為

1.2 數(shù)學(xué)關(guān)

求解帶電粒子在磁場中的運動問題，在確定半徑時，數(shù)學(xué)知識起決定性作用.其中常用的數(shù)學(xué)知識有如下3個方面.

(1)三角函數(shù).主要是三角函數(shù)的定義式、和差化積、半角和倍角公式等.利用三角函數(shù)知識的目的是求解圓周運動的半徑.

(2)平面幾何.在求解帶電粒子在磁場中運動的問題時，平面幾何中的三角形知識和圓的知識有著廣泛的應(yīng)用.運用數(shù)學(xué)知識是構(gòu)建帶電粒子運動的物理學(xué)模型的關(guān)鍵.

(3)圓心角α與弦切角的關(guān)系.利用圓心角α與弦切角的關(guān)系，可求出帶電粒子在磁場中的運動時間.運動時間t和轉(zhuǎn)過的圓心角α之間的關(guān)系為

或

1.3 圓心關(guān)

確定帶電粒子在磁場中做圓周運動的圓心是解題的關(guān)鍵環(huán)節(jié).一般說來，確定圓心有如下幾種常見方法：

(1)已知兩點及速度方向.在兩點上分別作速度方向的垂線，兩垂線的交點即為圓軌跡的圓心，如圖1所示.

圖1 已知兩點及速度方向確定圓心

(2)已知兩點及某點的速度方向.在已知速度方向的點作速度方向的垂線，同時畫出兩點連線的中垂線，兩垂線的交點即為圓軌跡的圓心，如圖2所示.

圖2 已知兩點及某點的速度方向，確定圓心

(3)已知某點的速度方向及半徑R.在該點作速度方向的垂線，垂線上距該點R處的點即為圓軌跡的圓心(利用左手定則判斷圓心在已知位置的哪一側(cè))，如圖3所示.

圖3 已知某點的速度方向及半徑，確定圓心

(4)已知3點.若已知帶電粒子經(jīng)過磁場中的3點A,B,C，則可先做AB的中垂線，再做BC的中垂線，兩條線相交點，即為圓心O.

(5)已知入射方向和出射方向及半徑.延長粒子兩速度方向所在的直線，作兩直線的角平分線，在角平分線上找到與兩直線距離為R的點，該點即為圓心，如圖4所示.

圖4 已知入射方向和出射方向及半徑，確定圓心

1.4 規(guī)律關(guān)

帶電粒子進入磁場做圓周運動時，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識得到的一些規(guī)律，應(yīng)該熟記并適時應(yīng)用，有時可使問題大大簡化.

規(guī)律1：如果帶電粒子沿著具有直線邊界的磁場進入，則它的運動具有對稱性，如圖5所示.

圖5 帶電粒子沿具有直線邊界的磁場進入

規(guī)律2：射向圓形勻強磁場中心的帶電粒子，都好像是從勻強磁場中心射出來，如圖6所示.

圖6 帶電粒子射向圓形勻強磁場中心

規(guī)律3：若帶電粒子在磁場中的運動軌跡半徑等于圓形磁場半徑，則沿任意方向射入的帶電粒子，出射時的速度方向必與過入射點O的圓形磁場的切線平行，如圖7所示.

圖7 帶電粒子軌道半徑等于圓形磁場半徑

1.5 方法關(guān)

(1)基本方法.求解和分析帶電粒子在磁場中的運動問題，基本的方法包含以下3個方面.

1)畫軌跡.根據(jù)題給條件，畫出帶電粒子在磁場中運動的軌跡圓，并確定圓心位置，這是解題的關(guān)鍵步驟.

3)用規(guī)律.應(yīng)用牛頓第二定律和圓周運動的規(guī)律，再結(jié)合周期公式和半徑公式，列方程求解.

(2)輔助方法.分析帶電粒子在磁場中運動的問題時，常常運用一些輔助方法，以幫助建立物理模型，尋找解題的突破口.其中以下2種方法最為實用.

1)舒張手指圓法(放大圓法)

如圖8所示，一束帶負電的粒子垂直射入勻強磁場，若初速度方向相同，大小不同，所有粒子運動軌跡的圓心都在垂直于初速度方向的直線上，軌道半徑隨速度增大而增大，通過舒張手指圓法可以方便地找出與右邊界相切的臨界軌跡.

圖8 舒張手指圓法情境圖

舒張手指圓法是指由兩只手的大拇指和食指構(gòu)成一個圓，如圖9所示，調(diào)整手指重疊部分的多少，可以獲得半徑不同的圓，從而有效確定臨界圓.這種方法既方便，又隨時可用.

圖9 舒張手指圓法展示圖

2)滾動手指圓法(旋轉(zhuǎn)圓法)

圖10 滾動手指圓法情境圖

2 斬六題

要掌握求解帶電粒子在磁場中運動問題的方法，就必須深刻理解和正確把握以下6種題型的解題技巧和方法.

題型1:極值問題

帶電粒子在磁場中運動的問題，常出現(xiàn)諸如求最大速度、最短時間、最長距離等極值問題.求解時需弄清產(chǎn)生極值的條件，再應(yīng)用相應(yīng)的物理知識和數(shù)學(xué)知識.速度的極值根據(jù)臨界圓的半徑判斷，半徑越大速度越大.時間的極值根據(jù)臨界軌跡的圓心角判斷，圓心角越大時間越長.

【例1】如圖11所示，某空間存在著兩個勻強磁場，其分界線是半徑為R的圓，兩側(cè)的磁場方向相反且垂直于紙面，磁感應(yīng)強度大小都為B.現(xiàn)有一質(zhì)量為m,電荷量為q的帶正電離子(不計重力)從A點沿OA方向射出.求：

(1)離子在磁場中做勻速圓周運動的周期；

(2)若向外的磁場范圍足夠大，離子自A點射出后在兩個磁場不斷地飛進飛出，最后又能返回到A點，求其返回到A點的最短時間及對應(yīng)離子的速度;

(3)若向外的磁場是有界的，分布在以O(shè)點為圓心、半徑為R和2R的兩圓之間的區(qū)域，上述離子仍從A點沿OA方向射出，且離子仍能返回A點，求其返回A點的最短時間.(可能用到的三角函數(shù)值：sin 37°=0.6，cos 37°=0.8)

圖11 例1題圖

分析：(1)由于離子在磁場中做勻速圓周運動，根據(jù)牛頓第二定律得

由周期公式知

解以上兩式可求出離子在磁場中做勻速圓周運動的周期為

(2)畫出離子在磁場中運動的軌跡圖，由于軌跡有多種可能，這里僅畫出兩種情況，如圖12和圖13所示.

顯然，離子從A點射出后，按如圖12所示的運動，即離子只有一次進出向里的磁場返回A時所用的時間最短.

由對稱性和幾何關(guān)系可得，最短時間為

由幾何關(guān)系可知離子做圓周運動的半徑為

由牛頓第二定律得

解以上各式得

圖12 離子在磁場中運動的軌跡圖1

圖13 離子在磁場中運動的軌跡圖2

(3)離子從A點射出后，要使離子回到A處的時間最短，則離子射入外磁場時所做的圓周運動的半徑必須最大，由此作出如圖14所示的軌跡圖.由幾何關(guān)系可知離子運動軌跡不超出邊界的條件為

解得

圖14 離子從A點射出后的軌跡圖

由對稱性和幾何關(guān)系得

即

解得

n≥4.86

由于n必須取整數(shù)，因此，當n=5時，離子從A點出發(fā)到返回A的時間最短.

由離子軌跡得

題型2:有界磁場問題

帶電粒子進入有邊界的磁場時，由于邊界條件的不同，將會產(chǎn)生臨界問題和多解問題.此類問題綜合性較強，難度較大.解答這類問題既要熟練應(yīng)用洛倫茲力、圓周運動的知識，又要正確選用平面幾何和三角函數(shù)知識，還要特別注意弄清邊界條件和臨界條件.

圖15 例2題圖

分析：電子在磁場中做勻速圓周運動，根據(jù)牛頓第二定律得

求得半徑

當r>L時，根據(jù)電子受力情況和磁場的邊界條件，畫出電子運動的軌跡圖，如圖16所示.

圖16 r>L時電子的軌跡圖

由幾何關(guān)系知

則磁場左邊界距坐標原點的距離為

x1=b-L-a-r1-cosθcotθ

解得

當r

解得

所以，磁場的左邊界距坐標原點的可能距離為

或

圖17 r

題型3:臨界問題

帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動時，由于磁場邊界的存在及速度大小和方向、磁感應(yīng)強度的大小和方向的不確定性，往往引起粒子運動的臨界問題.解決臨界問題的關(guān)鍵是畫出“臨界軌跡”，注意利用帶電粒子剛好穿出磁場邊界的條件，即帶電粒子在磁場中運動的軌跡圓與邊界必相切.

【例3】如圖18所示，正方形abcd區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強磁場，O點是cd邊的中點.一個帶正電的粒子(重力忽略不計)若從O點沿紙面以垂直于cd邊的速度射入正方形內(nèi)，經(jīng)過時間t0剛好從c點射出磁場.現(xiàn)設(shè)法使該帶電粒子從O點沿紙面以與Od成30°的方向(如圖中虛線所示)，以各種不同的速率射入正方形內(nèi)，那么下列說法中正確的是( )

A.該帶電粒子不可能剛好從正方形的某個頂點射出磁場

B.若該帶電粒子從ab邊射出磁場，它在磁場中經(jīng)歷的時間可能是t0

圖18 例3題圖

分析：帶正電的粒子從O點沿紙面以垂直于cd邊的速度射入正方形內(nèi)，并剛好從c點射出磁場時，帶電粒子的運動軌跡正好是半個圓，即它的運動周期T=2t0.

當帶電粒子從O點沿紙面以與Od成30°角的方向，以各種不同的速率射入正方形內(nèi)，帶電粒子將在磁場中做半徑不同的圓周運動.

應(yīng)用舒張手指圓法，可畫出幾個具有臨界條件的軌跡圓(圖中只畫出軌跡圓在磁場中的部分)，即如圖19中的②③④圖線.顯然，帶電粒子不可能剛好從正方形的某個頂點射出磁場，選項A正確.

結(jié)合幾何關(guān)系，先求出帶電粒子分別過B,D,F3點的時間為

從cd邊射出的粒子，在磁場中運動的軌跡圓弧所對應(yīng)的圓心角都相等，都等于300°，在磁場中運動的時間均為

所以，選項D正確.

圖19 應(yīng)用舒張手指圓法畫例3軌跡圖

題型4：多解問題

帶電粒子在磁場中做圓周運動時，由于帶電粒子的電性、速度方向和磁場方向的不確定性，由于臨界狀態(tài)不唯一和帶電粒子運動的周期性等因素，造成多解情況.求解時必須認真分析產(chǎn)生多解的原因，弄清出現(xiàn)多解的各種因素，以便準確無誤地求出各種結(jié)果.

【例4】如圖20所示，一個質(zhì)量為m,電荷量為q的正離子，從A點正對著圓心O以速度v射入半徑為R的絕緣圓筒中.圓筒內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應(yīng)強度的大小為B.要使該正離子與圓筒內(nèi)壁碰撞多次后仍從A點射出，求正離子在磁場中運動的時間t.設(shè)離子與圓筒內(nèi)壁碰撞時無能量和電荷量損失，不計離子的重力.

圖20 例4題圖

分析：由于離子與圓筒內(nèi)壁碰撞時無能量損失和電荷量損失，根據(jù)離子在有界磁場中的運動特點可知，每次碰撞后離子的速度方向都沿半徑方向指向圓心，并且離子運動的軌跡是對稱的，這樣可畫出離子與圓筒內(nèi)壁碰撞的各種情形，如圖21所示是碰撞2次的情形，如圖22所示是碰撞3次的情形，依次可畫出碰撞多次的情形(這里未畫出).

圖21 碰撞兩次的軌跡

圖22 碰撞3次的軌跡

離子運動的周期為

根據(jù)牛頓第二定律得

所以離子在磁場中運動的時間為

題型5:變化磁場問題

帶電粒子在變化磁場(最為典型的是交變磁場)中運動時，由于運動情況不僅與磁場的變化規(guī)律有關(guān)，還與粒子進入磁場的時間有關(guān)，所以，這是一類集復(fù)雜性和綜合性于一身的難題.解題時一定要從粒子的受力分析入手，弄清帶電粒子在不同時間間隔內(nèi)的運動情況，抓住運動特征(往往具有周期性和對稱性)，熟練巧妙地運用相關(guān)規(guī)律.

(2)粒子從開始時刻起經(jīng)多長時間到達y軸;

(3)粒子是否還可以返回原點,如果可以，則經(jīng)多長時間返回原點.

圖23 例5題圖

分析：(1)帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，由洛倫茲力提供向心力有

則半徑為

根據(jù)周期公式得

圖個運動周期內(nèi)粒子在磁場中運動的軌跡圖

第一段時間末，粒子的坐標為

y=R+O1Asin 30°=0.6 m

故運動時間為

圖25 3個時間段內(nèi)的運動軌跡

(3)根據(jù)磁場的變化情況，畫出帶電粒子在磁場中的運動軌跡，如圖26所示.顯然，帶電粒子在磁場中做周期性運動，根據(jù)對稱性和周期性可知，其中圓心O2,O6,O10構(gòu)成一個正三邊形.帶電粒子在磁場中一共運動了6個大圓弧和6個小圓弧，故從原點出發(fā)至回到原點的總時間為

圖26 粒子在磁場中的運動軌跡

題型6: 組合磁場問題

求解帶電粒子在組合磁場中的運動問題時，不僅要弄清帶電粒子在各個磁場中的運動情況，還要注意應(yīng)用組合磁場連接處的邊界條件，最后注意準確應(yīng)用有關(guān)規(guī)律建立方程.

【例6】為了使帶正電粒子經(jīng)過一系列的運動后，又以原來的速率沿相反方向回到原位，可設(shè)計如下的一個磁場區(qū)域,如圖27所示,區(qū)域Ⅰ(梯形PQCD)內(nèi)有垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B；區(qū)域Ⅱ(三角形APD)內(nèi)的磁場方向與Ⅰ內(nèi)相同，但是大小可以不同，區(qū)域Ⅲ(虛線PD之上、三角形APD以外)的磁場與Ⅱ內(nèi)大小相等、方向相反.已知等邊三角形AQC的邊長為2l，P和D分別為AQ和AC的中點.帶正電的粒子從O點以某一速度v0射入?yún)^(qū)域Ⅰ，再從P點垂直AQ射入?yún)^(qū)域Ⅲ，又經(jīng)歷一系列運動后返回O點.(粒子重力忽略不計)求：

(1)該粒子的比荷；

(2)粒子從O點出發(fā)再回到O點的整個運動過程所需時間.