誤差理論在楊氏模量實驗數據處理中的應用

鄭 穎 張軍朋

(華南師范大學物理與電信工程學院 廣東 廣州 510006)

物理學是一門以實驗為基礎的自然科學.學生通過實驗測量，會得到與實驗相關的數據.而科學的數據處理和分析是大學物理實驗中一個至關重要的環節.對同一組實驗數據引入不同的處理方法不僅可以起到讓學生掌握多種數據處理方法的作用，而且能夠使學生對所學的誤差基本理論知識有更加深入的理解.在教學中，教師可以結合具體的實驗，引導學生采用多種方法來進行實驗數據處理.本文以拉伸法測定金屬絲的楊氏彈性模量為例，基于誤差理論，用合成不確定度和擴展不確定度兩種方式來表示金屬絲直徑的測量結果，并以統計的方法對金屬絲直徑測量過程中是否存在隨機誤差、系統誤差以及粗大誤差進行鑒別；同時，采用逐差法和用最小二乘法進行線性回歸兩種方法求解楊氏模量，以期給大學物理實驗的教學以及學生在處理實驗數據時提供一定的參考.

1 拉伸法測定金屬絲的楊氏彈性模量

1.1 實驗原理

(1)

比例系數Y是該材料的楊氏彈性模量，簡稱為楊氏模量，它在數值上等于產生單位應變的應力.在SI制中楊氏彈性模量Y的單位為N/m2.楊氏模量是描述金屬材料抗彈性形變能力的物理量，它與物體所受外力的大小和物體的形狀無關，只決定于材料的性質.

實驗中，在外力F的拉伸下，金屬絲的伸長量ΔL是一個微小變量，一般難以測量.本實驗采用的是光桿杠法來測量金屬絲微小長度的變化.

如圖1所示，金屬絲為原長時，與望遠鏡中叉絲橫線重合的標尺讀數為x0，當金屬絲伸長ΔL時，光杠桿后足就隨之移動ΔL，鏡面也要繞前足連線轉動一個微小角度φ，與望遠鏡叉絲橫線重合的標尺讀數x0相應地變為x1.由光的反射定律可知，∠x1Ox0=2φ.設光杠桿的后足到兩前足連線的垂直距離為K，鏡面到標尺的垂直距離為D，x1與x0的距離為Δx

Δx=|x1-x0|

圖1 光桿杠測量原理圖

在金屬絲長度變化ΔL很小的情況下

有

(2)

由式(2)可知，金屬絲長度的微小變化量ΔL，經光杠桿轉變為角度的微小變化量φ，再經過望遠鏡和標尺把它轉變為較大的標尺讀數變化量Δx.其作用就像杠桿一樣起到放大的作用，所以稱為光杠桿法[1].

比值

就是光杠桿法的放大倍數.將式(2)代入式(1)，得

(3)

設金屬絲直徑為d，則其截面積

又

F=mg

代入式(3)后整理得

(4)

1.2 數據記錄表

實驗數據如表1和表2所示.

表1加砝碼和減砝碼時標尺的讀數

imi/kg増荷x′i/cm減荷x″i/cmxi/cm00．0000．490．510．5011．0000．960．980．9722．0001．421．441．4333．0001．891．911．9044．0002．342．362．3555．0002．822．802．8166．0003．293．303．29577．0003．763．773．765

表2 金屬絲的直徑和其他長度測量結果

2 金屬絲直徑測量的實驗數據處理

2.1 測量值的誤差判斷

為獲得盡可能精確的結果,實驗時往往要根據誤差的性質來選擇數據處理方法以及誤差計算與評定方法等.根據誤差的性質，誤差可分為隨機誤差、系統誤差和粗大誤差.誤差是不確定度的基礎，計算不確定度首先要研究誤差的性質、規律，才能夠更好地估計不確定度分量.因此，測量的實踐要求對不同性質的測量誤差做出確切的區分.

2.1.1 正態性檢驗

正態分布統計檢驗常用的檢驗方法有夏皮羅-威爾克檢驗、偏態系數檢驗、峰態系數檢驗.這里我們使用夏皮羅-威爾克檢驗，又稱為W檢驗[2].該檢驗對樣本容量雖沒有要求，但主要適用于小樣本，3≤n≤50時檢驗效果最佳，并且計算簡便.

假設金屬絲直徑測量的10個數據均服從統一概率分布，且檢驗數據符合正態性分布，具體步驟如下：

(1)將樣本的觀測值由小到大排列成為

d1=0.587≤d2=0.588≤……≤d10=0.592

(2)計算檢驗統計量

式中，a(i，n)由夏皮羅-威爾克系數表查出，分別為

a(1,10)=0.573 9a(2,10)=0.329 1

a(3,10)=0.214 1a(4,10)=0.122 4

a(5,10)=0.039 9

計算得到W=0.943.

(3)查表.給定顯著性水平α=0.01，查出夏皮羅-威爾克值W(10，0.01)=0.784.

(4)判斷.因為W=0.943>W(10，0.01)=0.784，故接受正態性檢驗.

2.1.2 判斷系統誤差

按隨機誤差的統計規律做出某種統計法則，看測量數據系列是否與之相符，若不相符合則說明該測量數列包含系統誤差.這類方法很多(包括殘差校核法、阿貝-赫梅特判別法、殘差總和判別法、標準差比較法、數據比較法等)，適應性各有差異.由于較少涉及測量本身具體內容，僅針對測量數據即可做出判斷，因而便于掌握和使用.

根據判斷方法的適應性，采用殘差校核法和標準差比較法[3]進行判斷.

(1)殘差校核法

(2)標準差比較法

按貝塞爾公式計算

得

s1=0.001 713

按彼得斯公式計算

得

s2=0.001 849

則

所以測量列中不存在系統誤差.

2.1.3 判斷粗大誤差

判斷粗大誤差時，首先要準確找出可疑測量值.一般測量列中，殘余誤差絕對值最大者即為可疑值.它是測量列中最大測得值或最小測得值之一.其次，可根據測量準確度要求和測量次數選擇判別準則(包括拉伊達準則、格拉布斯準則、狄克遜準則、肖維勒準則等).

因為測量次數為10，在3≤n<25這個范圍內，故用格拉布斯準則[4](取顯著性水平α=0.01)來判別可疑數據.

(1)將測量值從小到大排序，找到最小值

d(1)=0.587

最大值

d(10)=0.592

(2)由上面的結果可知該測量數據服從正太分布且

(3)計算

故先懷疑G(1)是否含有粗大誤差.

(4)取顯著性水平α=0.01，查表得臨界值G(0)(10,0.01)=2.41.

(5)判斷，因為G(1)

2.2 金屬絲直徑測量結果的表示

測量結果可以分為合成標準不確定度表示方式和擴展不確定度表示方式[5].

2.2.1 合成標準不確定度表示方式

d的算術平均值

任何一次測量值的標準偏差

測量值d的不確定度A類分量

uA=σd=0.001 713 mm

因為螺旋測微計的Δ儀=0.004 mm，所以B類分量

不確定度

測量結果

d=(0.590±0.003) mm

2.2.2 擴展不確定度表示方式

算術平均值的標準差

±3.25×0.000 541 698 2 mm=

0.001 8 mm≈0.002 mm

最后測量結果

(p=0.99)

3 楊氏模量的求解

3.1 逐差法

當自變量為等間距變化，且兩物理量之間又呈線性關系時，為充分利用實驗測量中采集的數據，達到對數據取平均(即保持多次測量的優越性，減少偶然誤差) 的效果，通常采用逐差法來處理實驗數據[6].

代入數據得

代入數據得

鋼絲楊氏彈性模量的平均值

代入數據得

鋼絲的楊氏彈性模量標準值

Y′=2.00×1011N/m2

百分差

估算楊氏模量的不確定度

代入數據得

測量結果

Y=(2.06±0.02)×1011N/m2

3.2 用最小二乘法進行線性回歸

最小二乘法是一種數學原理，它在誤差的數據處理中作為一種數據處理手段.用此原理可以獲得最可信賴的測量結果，使各測量值殘余誤差的平方和為最小[7].而回歸分析作為最小二乘法的一個應用特例，是處理變量間函數或相關關系的一種數理統計方法，其基本思想也是應用數學的方法，對大量的觀測數據進行處理，從而得出比較符合事物內部規律的數學表達式[8].

3.2.1 外加張力與金屬絲長度變化關系的線性回歸方程

相關數據如表3所示.

表3 回歸系數計算表[8]

續表3

∑7i=0mi=28kgm-=3．5kg∑7i=0xi=17．02cmx-=2．13cmlmm=∑7i=0(mi-m-)2=42kg2 lxx=∑7i=0(xi-x-)2=9．0867cm2lmx=∑7i=0(mi-m-)(xi-x-)=19．535kg·cm

計算線性回歸系數b和回歸常數b0：

故得回歸方程數學表達式

x=0.503+0.465m

3.2.2 回歸方程的方差分析和顯著性檢驗

回歸方程的方差分析表如表4所示.

表4 方差分析表[8]

查F分布表，得F0.01(1,8)=11.26

3.2.3 求解楊氏模量

由楊氏模量公式得

4 結論

對于拉伸法測定金屬絲的楊氏彈性模量實驗，除了傳統的用合成標準不確定度和逐差法的實驗數據處理方法外，本文也運用誤差的性質、擴展不確定度、最小二乘法和線性回歸等理論進行誤差分析和數據處理，提出了新的數據處理思路，讓學生更好地理解誤差理論與數據處理的基本概念和基本方法.從教學角度講，教師在掌握了各種實驗數據處理方法特點的基礎上，可以通過具體實驗的教學，在實驗數據處理中培養學生仔細認真、一絲不茍的科學態度.

1 張昌莘，王德明，方運良.三級物理實驗教程.北京：化學工業出版社，2010

2 馬宏，王金波.儀器精度理論.北京：北京航空航天大學出版社，2009

3 丁振良.誤差理論與數據處理.哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2002

4 熊艷艷，吳先球.粗大誤差四種判別準則的比較和應用.大學物理實驗，2010(1)：66～68

5 沙定國.誤差分析與測量不確定度評定.北京：中國計量出版社，2003

6 向澤英，羅浩，鄧先金，等.以Excel逐差法為例實現初學者數據處理方式的轉變.大學物理實驗，2016(1)：108～111

7 方彥軍，程繼紅.檢測技術與系統.北京：中國電力出版社，2006

8 錢政，賈果欣.誤差理論與數據處理.北京：科學出版社，2013